Элементы операционного исчисления. Как решить дифференциальное уравнение методом операционного исчисления

Как решить дифференциальное уравнение
методом операционного исчисления?

На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления . Снова и снова избавляю вас от предубеждения, что материал немыслимо сложный и недоступный. Забавно, но для освоения примеров можно вообще не уметь дифференцировать, интегрировать и даже не знать, что такое комплексные числа . Потребуется навык применения метода неопределённых коэффициентов , который детально разобран в статье Интегрирование дробно-рациональных функций . Фактически краеугольным камнем задания являются обычные алгебраические действия, и я уверен, что материал доступен даже для школьника.

Сначала сжатые теоретические сведения о рассматриваемом разделе математического анализа. Основная суть операционного исчисления состоит в следующем: функция действительной переменной с помощью так называемого преобразования Лапласа отображается в функцию комплексной переменной :

Терминология и обозначения:
функция называется оригиналом ;
функция называется изображением ;
заглавной буквой обозначается преобразование Лапласа .

Говоря простым языком, действительную функцию (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию (изображение). Стрелочка обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа , которое мы рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно.

Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал:

Зачем всё это нужно? В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов к изображениям , поскольку в этом случае решение задания значительно упрощается (шутка). И как раз одну из таких задач мы и рассмотрим. Если вы дожили до операционного исчисления, то формулировка должна быть вам хорошо знакома:

Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .

Примечание: иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным: , для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях.

И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения , кроме того, начальные условия строго имеют вид («иксы» равны нулям).

К слову, об «иксах». Уравнение можно переписать в следующем виде:
, где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. Я не случайно об этом говорю, поскольку в рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы:

То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека»)

Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек.

Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом:

Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .

Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы.

Как решить данную задачу методом операционного исчисления?

Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений . Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ».

С помощью таблицы оригиналы и необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение.

Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму.

Пример 1

, ,

Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону .

Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности , поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией и её производными.

По табличной формуле №1 превращаем функцию:

По формуле №2 , учитывая начальное условие , превращаем производную:

По формуле №3 , учитывая начальные условия , превращаем вторую производную:

Не путаемся в знаках!

Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами.

Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен . В силу того же правила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно.

Смотрим на первое слагаемое: – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование:

Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения: , а к единице применить преобразование:

Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения с помощью таблицы найдены соответствующие изображения:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий:

Для начала раскрываем скобки в левой части:

Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап:

Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака:

В левой части выносим за скобки операторное решение , в правой части приводим выражение к общему знаменателю:

Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение:

Таким образом:

Сбрасываем в знаменатель правой части:

Цель достигнута – операторное решение выражено через одну дробь.

Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов , операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:

Если возникли затруднения с , пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции и Как решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи.

Итак, коэффициенты найдены: , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде:

Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем . А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок:

Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений .

Возможно, не всем понятно преобразование . Здесь использована формула пункта №5 таблицы: . Если подробнее: . Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать: . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом.

После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается на блюдечке с голубой каёмочкой:

Было:

Стало:

Ответ: частное решение:

При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, которая уже рассматривалась на уроке Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка . Повторим:

Проверим выполнение начального условия :
– выполнено.

Найдём первую производную:

Проверим выполнение второго начального условия :
– выполнено.

Найдём вторую производную:

Подставим , и в левую часть исходного уравнения :

Получена правая часть исходного уравнения.

Вывод: задание выполнено правильно.

Небольшой пример для самостоятельного решения:

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Наиболее частный гость в дифференциальных уравнениях, как многие давно заметили, экспоненты, поэтому рассмотрим несколько примеров с ними, родными:

Пример 3

, ,

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа (левая часть таблицы) перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям.

Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Там отсутствует первая производная. Ну и что из того? Отлично. Работы поменьше. Учитывая начальные условия , по табличным формулам №№1,3 находим изображения:

Теперь смотрим на правую часть: – произведение двух функций. Для того чтобы воспользоваться свойствами линейности преобразования Лапласа, нужно раскрыть скобки: . Так как константы находятся в произведениях, то на них забиваем, и, используя группу №5 табличных формул, находим изображения:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение:

Напоминаю, что дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через единственную дробь.

В левой части оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим в правую часть. Заодно в правой части начинаем потихоньку приводить дроби к общему знаменателю:

Слева выносим за скобки, справа приводим выражение к общему знаменателю:

В левой части получен неразложимый на множители многочлен . Если многочлен не раскладывается на множители, то его, бедолагу, сразу нужно сбросить на дно правой части, забетонировав ноги в тазике. А в числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Наступил самый кропотливый этап: методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:


Таким образом:

Обратите внимание, как разложена дробь: , скоро поясню, почему именно так.

Финиш: перейдем от изображений к соответствующим оригиналам, используем правый столбец таблицы:

В двух нижних преобразованиях использованы формулы №№6,7 таблицы, и дробь предварительно раскладывалась как раз для «подгонки» под табличные преобразования.

В результате, частное решение:

Ответ: искомое частное решение:

Похожий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.

Краткое решение и ответ в конце урока.

В Примере 4 одно из начальных условий равно нулю. Это, безусловно, упрощает решение, и самый идеальный вариант, когда оба начальных условия нулевые: . В этом случае производные преобразуются в изображения без хвостов:

Как уже отмечалось, наиболее сложным техническим моментом задачи является разложение дроби методом неопределенных коэффициентов , и в моём распоряжении есть достаточно трудоёмкие примеры. Тем не менее, монстрами запугивать никого не буду, рассмотрим ещё пару типовых разновидностей уравнения:

Пример 5

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия :

С правой частью тоже никаких проблем:

(Напоминаю, что константы-множители игнорируются)

Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выполняем стандартные действия, которые, я надеюсь, вы уже хорошо отработали:

Константу в знаменателе выносим за пределы дроби, главное, потом про неё не забыть:

Думал, выносить ли ещё дополнительно двойку из числителя, однако, прикинув, пришел к выводу, что данный шаг практически не упростит дальнейшего решения.

Особенностью задания является полученная дробь. Кажется, что её разложение будет долгим и трудным, но впечатление обманчиво. Естественно, бывают сложные вещи, но в любом случае – вперёд, без страха и сомнений:

То, что некоторые коэффициенты получились дробными, смущать не должно, такая ситуация не редкость. Лишь бы техника вычислений не подвела. К тому же, всегда есть возможность выполнить проверку ответа.

В результате, операторное решение:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Таким образом, частное решение:

Лекция 2.

Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям

где
- заданные числа.

Будем считать, что искомая функция
вместе с ее производными до– го порядка и функция
являются оригиналами.

Обозначим:
и
. Пользуясь свойством дифференцирования оригинала и свойством линейности, перейдем в дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям:

Полученное алгебраическое уравнение, линейное относительно изображения, называют операторным (или уравнением в изображениях). По найденному из него изображению
, можно найти оригинал
, используя таблицу и свойства преобразования Лапласа.

Пример 1. Операционным методом решить задачу Коши

,
,
.

Решение. Пусть
. Тогда ,

По таблице оригиналов и изображений

.

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

.

Разрешим его относительно
, получим

.

Найдем оригинал для каждого слагаемого в правой части полученного равенства.

.

Дробь
нужно представить в виде суммы простейших дробей.

Рациональная дробь
называется правильной, если степень
многочлена
меньше степенимногочлена
,т.е.
. Если дробь неправильная, то можно разделить числитель на знаменатель и выделить многочлен и правильную дробь. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби вида

;
;

.

Условие
означает, что многочлен
имеет комплексные корни.

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей .

Если знаменатель представлен в виде разложения

где и- кратности соответствующих вещественных и комплексных корней, то разложение правильной рациональной дроби на простейшие будет иметь вид

(5)

Коэффициенты разложения
находят методом частных значений или методом неопределенных коэффициентов.

Дробь
представим в виде суммы простейших дробей

.

Умножив обе части последнего равенства на
, получим

Чтобы найти неопределенный коэффициент , подставим в это уравнение
. Тогда
, или
.

Приравнивая коэффициенты при ,ив обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений

,

из которой можно найти остальные неопределенные коэффициенты и. Из первого уравнения этой системы
, из второго уравнения
. Следовательно,

Таким образом,

.

Пример 2. Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями

,
,
.

Пусть
.Тогда
.

Так как
, то система операторных уравнений примет вид
.

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений
и
:

.

Найдем решение системы по формулам Крамера. Вычислим определитель системы
и вспомогательные определители
,
.

Тогда
,
.

Частные решения
и
являются оригиналами для вычисленных изображений. Чтобы найти
, разложим дробь
на сумму простейших:
.

Из этого следует, что

В последнем равенстве положим
. Тогда
, или
. При
:
, значит
. При
:
, откуда
. Следовательно,

Таким образом,
.

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями с помощью интегралов Дюамеля

Если
- решение уравнения

при нулевых начальных условиях

,
, …,
, (7)

то решением уравнения

при тех же начальных условиях является функция

Доказательство.

Уравнению (6) при нулевых начальных условиях (7) соответствует операторное уравнение

, (10)

где
,- характеристический многочлен уравнения (6).

Уравнению (8) при нулевых начальных условиях (7) соответствует операторное уравнение

(11)

где
, а
.

Из (10) и (11) найдем

Воспользуемся результатами для изображения по Лапласу интегралов Дюамеля

(13)

Положим в формуле (13)
,
и учтем, что
. Тогда получим решение дифференциального уравнения (8) при нулевых начальных условиях в виде

Формула (14) позволяет находить решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изображения правой части этого уравнения.

Типовой расчет

1. По данному графику оригинала найти изображение:

Решение. Найдем аналитическое выражение для функции, график которой представлен на рисунке. Прежде всего запишем уравнение прямой, проходящей через точки
и
, и уравнение прямой, проходящей через точки
и
. Как известно, уравнение прямой, проходящей через точки с координатами
и
имеет вид
. В данном случае независимая переменная, поэтому уравнение прямой примет вид
. Подставляя в это уравнение координаты точек А и В получим после упрощения уравнение в виде
, подставляя в уравнение координаты точек В и С, получим после упрощения уравнение в виде
. Тогда функция
имеет вид

(15)

Эту функцию можно записать с помощью функции Хевисайда

(16)

Построим график функции
и убедимся, что он совпадает с исходным заданным графиком

Нужно преобразовать функцию
к такому виду, чтобы аргументы отдельных слагаемых, за исключением постоянных, совпадали с аргументами функций Хевисайда, содержащихся в этих слагаемых. Здесь нужно подвергнуть преобразованию только последнее слагаемое.

Изображение этой функции построим с помощью таблицы, используя теорему запаздывания

(19)

Решим теперь эту задачу с помощью Mathcad. Функция Хевисайда в этом пакете обозначается греческой буквой
, комплексный аргумент изображения обозначается буквой(т.е.
).

Полученный результат совпадает с (17).

2. Найти оригинал по заданному изображению:

Решение. Для решения этой задачи необходимо представить дробь
в виде суммы простейших дробей.

Разложение дроби
на простейшие имеет вид

, (20)

поскольку многочлен
имеет два комплексно сопряженных корня, так как
. Приведем сумму дробей в правой части (20) к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби в левой части (20). Тогда получим равенство числителей

Для определения коэффициентов разложения в (20), воспользуемся вначале методом частных значений. Положим в (21)
, тогда получим
.

Для того, чтобы определить коэффициенты
и
, используем метод неопределенных коэффициентов: приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхив левой и правой частях равенства (21).

. Отсюда найдем
,
.

Следовательно,
.

Выделим полный квадрат в знаменателе
:

(22).

Теперь с помощью таблицы по заданному изображению можно восстановить

оригинал

Для изображения
с учетом теоремы запаздывания получим из таблицы оригинал

Следовательно,

Приведем решение данной задачи с помощью Mathcad. Для каждого из слагаемых изображения получим оригиналы

Отсюда для исходного изображения оригинал имеет вид

Этот результат совпадает с (23).

3. Найти решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиямy(0) = y"(0) = 0.

Для решения данной задачи используем интеграл Дюамеля. Найдем вначале решение
дифференциального уравнения
. Соответствующее операторное уравнение для изображения
имеет вид

или
. Отсюда найдем

. Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей
. Найдем коэффициенты
. Для этого приведем дроби в правой части к общему знаменателю и получим равенство числителей

Для нахождения коэффициентов вначале воспользуемся методом частных значений. Положим
. Тогда получим
. Положим
. Тогда получим
. Для определения значенияприравняем коэффициенты при степенислева и справа в (24):
. Следовательно,
. Следовательно, изображение имеет вид
. По таблице найдем соответствующий оригинал
.. Отсюда

. (25)

В соответствии с формулой (13) решение исходного дифференциального уравнения
представляет собой интеграл

, (26)

- (27)

правая часть исходного уравнения. Отметим, что в (26) использовано свойство симметрии свертки двух функций.

Подставляя (25) и (27) в (26), получим

Следовательно,

. (28)

Приведем решение данной задачи с помощью Mathcad

Обозначим
через
(напомним, что вMathcad комплексная переменная обозначается через)

Найдем оригинал
, затем положим
и найдем производную поот функции

Вычислим
, где
- правая часть исходного уравнения.

Правую часть можно упростить

В результате дальнейшего упрощения получим

Этот результат совпадает с выражением (28), полученным ранее.

Учитывая, что свертка двух функций не зависит от порядка их следования, можно также провести расчет
по формуле (26) в виде

В результате получилось довольно громоздкое выражение. Приведем подобные члены в этом выражении и упростим результат

Этот результат также приводится к виду (28)

4. Операционным методом решить задачу Коши:

(29)

(30)

Решение. Учитывая, что,,

,

получим операторное уравнение в виде

Отсюда изображение

(31)

Многочлен
имеет корни
,
, поэтомуи выражение для
после упрощения суммы первой и последней дробей преобразуется к виду

(32)

Для того чтобы получить оригинал
для изображения
, нужно дроби, входящие в (32), разложить на простейшие. Найдем это разложение с помощьюMathcad

Операционное исчисление применяется при нахождении как частных, так и общих решений линейных дифференциальных уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами, при этом правая часть уравнения на различных интервалах может быть задана различными аналитическими выражениями, а также может иметь точки разрыва. Операционный метод используется для решения однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений, причем правые части неоднородных систем также могут быть заданы на различных интервалах различными аналитическими выражениями и иметь точки разрыва.

Операционное исчисление широко применяется для решения задач электротехники и теории автоматического регулирования, в частности позволяет найти установившийся ток в колебательном контуре при периодическом и непериодическом внешнем напряжении. Операционные методы позволяют рассчитывать процессы в сложных электрических цепях при произвольном внешнем напряжении. Операционные методы позволяют также находить решения уравнений в частных производных, которые появляются в задачах математической физики, например при решении задачи о колебательном движении струн и стержней, о распространении тепла в стержне, плоских пластинах и пространственных телах, о распространении электрических колебаний вдоль длинных цепей.

Операционное исчисление строится на основе преобразования Лапласа.

Преобразованием Лапласа или изображением по Лапласу функции вещественной переменнойназывается функция
комплексной переменной
, определяемая несобственным интегралом

. (1)

Интегралом Лапласа называется интеграл в правой части (1).

Оригиналом называется функция вещественной переменной
, которая удовлетворяет условиям:

1)
при
,

2)
кусочно-непрерывна при
; (2)

3)
при любом, где
некоторые постоянные числа. Числоназывается показателем роста функции
илиабсциссой сходимости интеграла Лапласа.

Функция
может иметь на каждом отрезке при
лишь конечное число точек разрыва первого рода.

Иногда преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала
к изображению
. Соответствие между
и
записывается в виде
.

Если функция
является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно на комплексной полуплоскости
.

Доказательство. Пусть
, и
. Тогда

.

Отсюда следует, что интеграл Лапласа сходится абсолютно при
, так как он мажорируется абсолютно сходящимся интегралом. Если же
, то
,где в правой части неравенства получено число. Следовательно, интеграл Лапласа сходится равномерно при
.

Преобразование Лапласа устанавливает связь между оригиналами
и их изображениями. Определенным действиям, производимым над оригиналами соответствуют некоторые действия, производимые над их изображениями, причем действия над изображениями оказываются более простыми, чем над оригиналами. В частности, дифференциальному уравнению относительно оригинала соответствует алгебраическое уравнение относительно изображения. Если решить это алгебраическое уравнение и затем найти оригинал полученного решения, то тем самым будет получено решение исходного дифференциального уравнения.

Единичной функцией Хевисайда называется функция
. График функции Хевисайда имеет вид

Пример 1 . Найти изображение единичной функции Хевисайда.

,

(3)

Условимся в дальнейшем под функцией
понимать функцию, которая равна нулю при
, т.е.
.

Пример 2. Найти изображение показательной функции
.

для
.

(4)

Пример 3. Найти изображение степенной функции
,
и
,
.

(5)

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными и непосредственно ведущими к цели средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений. В связи с этим методы операционного исчисления находят самое широкое применение в механике, электротехнике, автоматике и в других самых разнообразных отраслях науки и техники. В основе операционного исчисления лежит идея функционального преобразования: некоторой функции вещественного переменного t, определенной при положительных значениях аргумента, называемой начальной функцией или оригиналом, с помощью линейного интегрального преобразования ставится в соответствие функция другого переменного р, называемая изображением. Подобное преобразование «оригинал - изображение» можно осуществить так, чтобы операциям дифференцирования и интегрирования начальных функций соответствовали алгебраические операции в области изображений. Это дает возможность находить с помощью простейших алгебраических действий изображения решений исходных дифференциальных уравнений, затем разыскивать соответствующую начальную функцию, т. е. решение осуществляется с помощью некоторых простых правил и «каталога» наиболее часто встречающихся изображений. В более сложных задачах приходится прибегать к обратному функциональному преобразованию: изображение - оригинал. Первые сочинения, посвященные операционному исчислению, появились в середине прошлого века. Русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко в монографии «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений», вышедшей в Киеве в 1862 г., были поставлены и частично разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного. Систематическое применение операционного исчисления к решению физических и технических задач началось с появления в 1892 г. работ английского ученого О. Хевисайда. Сущность операционного исчисления можно проиллюстрировать на примере с наиболее часто встречающимся в прикладных задачах классом начальных кусочно-непрерывных функций f(t) вещественной переменной t, определенных при tt<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)| < Ме s o t , где М и s o - независимые от t числа. Если р=s+iσ - некоторое комплексное число, то при указанных ограничениях, накладываемых на функцию f(t), интеграл

существует и представляет регулярную в полуплоскости Rе р>s o функцию от р, называемую лапласовым интегралом функции f (t).
Функцию F (p), введенную по закону:

называют изображением начальной функции или оригинала f(t). Ряд свойств изображения (**), например изображения производной f’ (t):

и изображения интеграла

делают очевидным тот факт, что преобразование (*) переводит операции дифференцирования и интегрирования в операции умножения и деления на комплексное переменное р. Пользуясь основными свойствами изображения, составляются изображения некоторых простейших функций - «каталог» изображений. «Каталог» изображений простейших функций и теоремы разложения Хевисайда, дающие возможность отыскать начальную функцию, когда изображение F (р) является полиномом или отношением двух полиномов, позволяют простейшим способом найти решение большой группы обыкновенных линейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Но многочисленные задачи приводят к изображениям, не сводящимся к имеющимся в «каталоге». Существует общее средство построения начальной функции по ее изображению - так называемая формула обращения Римана-Меллина.

Мы будем изучать операционное исчисление как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.).

Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.

Таким образом, мы должны изучить следующие вопросы:

20.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу.

20.1.1. Определение. Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию f (t ) действительной переменной t , удовлетворяющую условиям:

1.f (t ) = 0 при t < 0;

2. Существуют такие постоянные M > 0 и
, что
;

3. На любом отрезке
функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).

Смысл этих условий такой.

1. Так как одно из основных приложений операционного исчисления - решение задач с начальными условиями (задач Коши), то поведение функций до начального момента
несущественно;

2. Параметр во втором условии принято называть показателем роста функции f (t ). Само второе условие означает, что скорость роста функции-оригинала не может быть больше экспоненциальной. В совокупности с третьим условием это обеспечивает существование и определенные полезные свойства функции-изображения и не является обременительным.

Приведём примеры функций-оригиналов. Для всех этих функций первое и третье свойства выполняются очевидно, поэтому будем проверять только второе свойство.

Для функции
получаем:
при
, поэтому
.

3. f (t ) = sin t .
и т.д.

Примеры функций, не являющихся оригиналами:

20.1.2. Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала f (t ) (или преобразованием Лапласа функции f (t )) называется функция комплексной переменной p , определяемая равенством

.

Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точкеp , удовлетворяющей неравенству
, где - произвольной число, такое, что
. Действительно, (так как ) = , а интеграл сходится. Таким образом, мы доказали, что изображение F (p ) определено в любой точке p , такой что
, т.е. в полуплоскости справа от прямой
. Как следствие, показатель скорости роста оригинала число часто называют абсциссой сходимости.

Заметим, что мы доказали также, что
: так как , то

. Кроме того, в оценке мы мажорировали модуль подынтегральной функции функцией, не зависящей от p , интеграл от которой сходится. Как и в теории степенных рядов, этого достаточно, чтобы сходимость интеграла была равномерной по переменной p , поэтому функцию F (p ) можно дифференцировать и интегрировать по этой переменной.