Почему метод рунге кутта точнее. Пример решения в среде MATLAB

Суть метода Эйлера заключается в переходе от бесконечно малых приращений в уравнении к конечным: (1)

т.е. в замене производной приближенным конечно-разностным отношением:

где h = ∆х - шаг интегрирования.

Отсюда (3)

Рассматривая приближенное решение в точке как новые начальные условия, можно по формуле (3) найти значение искомой функции у(х) в следующей точке. В общем случае формула Эйлера имеет вид: (4)

Метод Эйлера может быть интерпретирован геометрически следующим образом: функцию у(х) заменяют ломаной, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Метод Эйлера

Достоинствами метода Эйлера являются его простота и наглядность, недостатками - относительно невысокая точность (он имеет первый порядок точности) и систематическое накопление ошибки. Точность и устойчивость решения в значительной степени зависят от величины шага интегрирования. Для оценки погрешности и выбора шага может быть применена формула Рунге .

Методы Рунге-Кутта второго порядка

Методы Рунге-Кутта второго порядка основаны на разложении функции у(х) в ряд Тейлора и учете трех его первых членов (до второй производной включительно).

Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом реализуется по формуле:

Его геометрическая интерпретация (рис. 6.1.) заключается в следующем:

1. Приближенно вычисляют значение функции в точке x i +h по формуле Эйлера и наклон интегральной кривой в этой точке

2. Находят средний наклон на шаге h:

3. По этому наклону уточняют значение y i +1 по формуле (6.1.).

Формула метода Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом имеет вид

Метод Рунге - Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге - Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения

y" (t ) = f (t, y (t ))

с начальным условием y (t 0) = y 0.

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h = и построим сетку с системой узлов t i = t 0 + ih, i = 0, 1, …, n.

Обозначим через y i приближенное значение искомого решения в точке t i .

Приведем расчетные формулы метода Рунге - Кутта четвертого порядка точности :

y i+ 1 = y i + h (k + 2k + 2k + k ),

k = f (t i , y i ),

k = f (t i + , y i + k ), (6.17)

k = f (t i + , y i + k ),

k = f (t i +h, y i + hk ),

i = 0, 1, …, n.

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге - Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R |y- y |. (6.18)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y , i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

R |y- y | < . (6.19)

Приближенным решением будут значения y , i = 0, 1, …, n.

Пример 6.4.

Методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке следующей задачи Коши.

y" (t ) = 2ty , y (0) = 1. (6.20)

Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n = = 10.

В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:

y i+ 1 = y i + h (k + 2k + 2k + k ),

k = 2t i y i ,

k = 2(t i +)(y i + k ), (6.21)

k = 2(t i +)(y i + k ),

k = 2(t i +h )(y i + hk ),

i = 0, 1, …, 10.

Задача (6.20) имеет точное решение: y (t ) = e , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями i = | y (t i ) - y i |.

Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения y i и их погрешности i представлены в таблице 6.5:

Таблица 6.5

t i	y i		t i	y i

Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”

Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного задания, s = log 10 (1 +), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, … Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.

1. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения

4(1 - x 2) - e x = s с точностью = 10 -3 .

2. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью =10-3.

6.2+s 2.2+s 1.2+s 16.55+s

A = 2.2+s 5.5+s -1.5+s , b = 10.55+s .

1.2+s -1.5+s 7.2 +s 16.80+s

3. Найти приближение функции f (x ) = e sx на отрезке многочленом Тейлора с точностью = 10 -3 . Вычислить e s .

4. Вычислить приближенно по формуле средних прямоугольников интеграл при n = 4 и оценить погрешность результата.

5. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши

y " = 2sy ; y (0) = 1, на отрезке с шагом h = 0.2.

Сравнить с точным решением.

Наиболее популярными среди классических явных одношаговых методов являются методы Рунге - Кутты. Методы Эйлера, Эйлера - Коши и усовершенствованный метод Эйлера можно рассматривать как простейших представителей этого класса методов.

1. Вывод расчетных формул.

Поясним вывод расчетных формул метода Рунге-Кутты. Пусть (как и в § 14.5) решение

дифференциального уравнения удовлетворяющее условию Запишем равенство (14.58) в следующем виде:

Если бы входящий в это равенство интеграл можно было вычислить точно, то получилась бы простая формула, позволяющая последовательно вычислить значения решения в узлах сетки. Поскольку в действительности это невозможно, попробуем получить приближенную формулу, заменив интеграл квадратурной суммой (см. гл. 13).

Введем на отрезке вспомогательных узлов , Заметим, что Заменяя входящий в равенство (14.66) интеграл квадратурной суммой с узлами получаем приближенное равенство

Однако воспользоваться равенством (14.67) для вычисления нельзя, так как значения функции у в точках для неизвестны. Чтобы найти эти значения, запишем равенства

аналогичные равенству (14.66). Заменяя для каждого входящий в формулу (14.68) интеграл соответствующей ему квадратурной формулой с узлами придем к приближенным равенствам

позволяющим последовательно вычислять приближения к значениям

Обозначим теперь через вспомогательные величины, имеющие смысл приближений к значениям пусть приближение к значению углового коэффициента к в точке Тогда расчетные формулы примут вид

Часто из этих формул исключают вспомогательные величины и записывают формулы так:

Заметим, что выведенные формулы задают явный одношаговый метод вида где для вычисления значений функции используются значения правой части вспомогательных точках. Поэтому этот метод называют явным -этапным методом Рунге-Кутты.

Выбор конкретных значений параметров осуществляется исходя из различных соображений. Естественно, что одним из основных является желание сделать порядок аппроксимации максимально возможным.

2. Устойчивость и сходимость.

Следующая теорема позволяет в дальнейшем называть методы Рунге-Кутты, имеющие порядок аппроксимации, методами порядка точности.

Теорема 14.7. Пусть правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условию Тогда всякий явный -этапный метод Рунге-Кутты устойчив на конечном отрезке

Следствие. Пусть выполнено условие Тогда если явный -этапный метод Рунге-Кутты имеет порядок аппроксимации, то он сходится с порядком точности.

Справедливость следствия вытекает из теоремы 14 4.

3. Семейство явных двухэтапных методов.

Выведем расчетные формулы семейства явных двухэтапных методов Рунге-Кутты второго порядка точности. Запишем формулы явного двухэтапного метода

Параметрами этого метода являются величины Представим погрешность аппроксимации

Решение дифференциального уравнения в виде разложения по степеням Формула Тейлора

с учетом равенств дает формулу

(аргументы у функции и ее частных производных опускаем).

Представим значение функции в точке используя формулу Тейлора для функции двух переменных с центром в точке

Таким образом,

Если потребовать, чтобы выполнялись условия (что эквивалентно выбору то первые два слагаемых в формуле для обратятся в нуль, и поэтому метод будет иметь второй порядок аппроксимации.

Итак (с учетом следствия из теоремы 14.7), можно утверждать, что при любом метод

имеет второй порядок точности.

Заметим, что при формула (14.69) дает метод Эйлера-Коши, а при усовершенствованный метод Эйлера (см. § 14.5).

4. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности.

Наиболее известным из методов Рунге-Кутты является классический -этапный метод четвертого порядка точности:

Этот метод весьма прост и, как показывает практика, довольно эффективен в обычных расчетах, когда отрезок не очень велик и нужна сравнительно невысокая точность.

Замечание. Применение метода (14.70) к решению задачи о вычислении интеграла (14.36) порождает формулу Симпсона

Таким образом, классический метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности (14.70) можно рассматривать как аналог формулы Симпсона, отвечающий решению задачи Коши.

Пример 14.15. Про демонстрируем работу метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности применительно к решению «задачи Коши (14.45). В этом случае расчетные формулы принимают вид

Найденные с шагом приближенные значения решения и их погрешности приведены в табл. 14.4.

Таблица 14.4 (см. скан)

5. Обсуждение методов Рунге-Кутты.

Методы Рунге-Кутты имеют несколько достоинств, определивших их популярность среди значительного числа исследователей. Эти методы легко программируются. Они обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости. Эти методы (как и все одношаговые методы) являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.

Увеличивая число вспомогательных точек, можно построить методы Рунге-Кутты любого порядка точности Однако уже при

Эти методы используются довольно редко. Это объясняется как чрезмерной громоздкостью получающихся вычислительных формул, так и том, что преимущества методов высокого порядка точности над методами, в которых проявляются либо в тех задачах, где нужна очнь высокая точность и используются ЭВМ высокой разрядности, либо в тех задачах, где решение очень гладкое. Кроме того, методы Рунге-Кутты высокого порядка точности часто оказываются менее эффективными по сравнению с методами Адамса того же порядка точности (см. § 14 7).

Замечай и Кроме описанных выше классических явных методов Рунге-Кутты используются и более сложные в реализации неявные -этапные методы Рунге-Кутты:

Эти методы имеют ряд преимуществ перед явными методами, однако это достигается за счет существенного усложнения вычислительного алгоритма, так как на каждом шаге необходимо решать систему нелинейных уравнений. В настоящее время неявные методы Рунге-Кутты применяются в основном для решения так называемых жестких задач (см. § 14 11).

6. Автоматический выбор шага.

Отметим, что в современных программах, реализующих методы Рунге-Кутты, обязательно используется некоторый алгоритм автоматического изменения шага интегрирования

Интуитиьно ясно, что на участках плавного изменения решения счет можно вести с достаточно крупным шагом. В то же время на тех участках, где происходят резкие изменения поведения решения, необходимо выбирать мелкий шаг интегрирования. Обычно начальное значение шага задает пользователь. Далее шаг интегрирования меняется в соответствии с величинои получаемой в ходе вычислений оценки локальной погрешности. Само по себе изменение шага для методов Рунге-Кутты (впрочем, как и для всех других одношаговых методов) не представляет сложности. Действительная проблема состоит в том, как оценить локальную погрешность и выбрать очередной шаг интегрирования.

Один из распространенных подходов состоит в использовании правила Руте (правила двойною пересчета) Пусть значение в точке

уже найдено и решение уравнения удовлетворяющее условию Обозначим через приближение к значению найденное с помощью одношагового метода

Приведут здесь к локальной погрешности

Вычитая из равенства (14.72) равенство (14.73), получим формулу

Сравнение ее с (14.73) приводит к приближенному равенству

Использование этой формулы для апостериорной оценки локальной погрешности значения (которое в дальнейшем принимается за приближенное значение решения задачи Коши в точке и называют правилом Руте. Заметим, что этот способ контроля точности приводит к увеличению времени счета примерно на 50%.

Существуют более экономичные методы оценки локальной погрешности, основанные на использовании для контроля точности двух различных методов Рунге - Кутты. В настоящее время одним из самых эффективных методов такого типа является метод Рунге-Кутты-Фельберга. В этом методе для оценки погрешности метода пятого порядка точности используются формулы метода четвертого порядка точности, причем на одном шаге требуется всего лишь шесть вычислений значений правой части

После того как тем или иным способом оценена локальная ошибка, программа принимает решение о том, оставить ли шаг интегрирования прежним, уменьшить ли его вдвое или увеличить в два раза. Это происходит примерно по той же схеме, что и в адаптивных программах, предназначенных для вычисления определенных интегралов (см. § 13.5). Известно, что при оптимальном выборе шагов интегрирования абсолютные погрешности, приходящиеся на каждый из шагов, должны быть примерно равны (см. ). Этот результат учитывается при создании стандартных программ с автоматическим выбором шага.

7. Влияние вычислительной погрешности.

Влияние погрешностей на результат вычислений с помощью явных методов Рунге - Кутты примерно таково же, как и для метода Эйлера (см. § 14.4). Однако для них Кроме того, высокая точность методов позволяет вести интегрирование со сравнительно большим шагом и поэтому влияние вычислительной погрешности обычно бывает несущественным.

И две схемы Рунге-Кутты, имеющие четвертый порядок аппроксимации:

Пример . Решить методом Рунге-Кутты четвертого порядка уравнение dy /dx = –y , y (0) = 1.

В соответствии с приведенными выше соотношениями определяем коэффициенты:

Построим последовательность значений искомой функции:

Результаты получаемого численного решения для значения аргумента x = 10 при различных шагах интегрирования приведены в табл. 15.2. Три верные значащие цифры получены для шага h = 0.25.

Сравнение таблиц 15.1 и 15.2 с решениями одной и той же задачи позволяет сделать вывод, что более высокая степень аппроксимации дифференциального уравнения разностным аналогом позволяет получать более точное решение при более крупном шаге и, следовательно, меньшем числе шагов, то есть приводит к снижению требуемых ресурсов ЭВМ.

На сегодняшний день для грубого расчета вычисления производятся методом Эйлера, для точного расчета - методом Рунге-Кутты

16. Лекция 16.
Методы прогноза и коррекции
(итерационные методы)

Изученные нами ранее методы обладали одной важной особенностью - каждому методу соответствует обычно определенный класс точности, который мы обозначали как O i . Например, метод Эйлера обладал первым классом точности O 1 . Это означало, что с уменьшением шага в 10 раз (на порядок) точность результата повышается тоже в 10 раз (на один порядок). Метод Рунге-Кутты обладает 4 порядком точности - O 4 , при уменьшении шага в 10 раз, результат улучшается в 10 000 раз. Поскольку этот метод по сравнению с методом Эйлера использует всего в 4 раза больше вычислений, то использование его более выгодно. На сегодняшний день известны методы до 8 порядка точности (например, метод Prince Dortmund), хотя одновременно стоит иметь в виду, что написание алгоритмов для них - задача достаточно трудная. Достоинством всех этих алгоритмов является то, что объем вычислений для них заранее известен.

Если требуется достичь ЛЮБОЙ точности на шаге, то следует использовать методы прогноза и коррекции. Этот подход состоит в том, что расчет траектории, задаваемой уравнением, на каждом шаге происходит многократно. А именно, сначала происходит расчет приближенного значения функции на конце шага какой-либо простой формулой (например, методом Эйлера), далее в этой точке вычисляется производная, и расчет происходит снова из начальной точки на шаге, но с уточненным значением производной. Последняя операция - уточнения производной и значения функции на конце шага - происходит МНОГОКРАТНО НА КАЖДОМ ШАГЕ , то есть до тех пор, пока вычисленные значения (функции и производной в конце шага) не перестанут меняться или будут меняться уже незначительно, меньше чем задаваемая заранее величина ε . Только тогда можно сказать, что точность ε достигнута.

Итак, за счет итерационной процедуры на каждом отдельном шаге можно достичь любой, наперед заданной точности ε . За такое достоинство метода приходится платить: к сожалению, невозможно сказать заранее, сколько итераций потребуется для достижения на шаге заданной точности ε . Поэтому такие методы нельзя, например, использовать в системах реального времени.

Рассмотрим для примера два метода из этого класса. Как и ранее задача состоит в нахождении функции y (t ) из дифференциального уравнения dy /dt = f (y , x , t ) или множества функций из системы таких уравнений.

Метод Эйлера. Усовершенствованный метод Эйлера.
Классический метод Рунге-Кутты

Не обошла стороной вычислительная математика и дифференциальные уравнения! Сегодня на уроке мы познакомимся с основами приближённых вычислений в этом разделе математического анализа, после чего перед вами приветливо распахнутся толстые-претолстые книги по теме. Ибо вычислительная математика стороной диффуры ещё как не обошла =)

Перечисленные в заголовке методы предназначены для приближённого нахождения решений дифференциальных уравнений , систем ДУ , и краткая постановка наиболее распространённой задачи такова:

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка , для которого требуется найти частное решение , соответствующее начальному условию . Что это значит? Это значит, нам нужно найти функцию (предполагается её существование) , которая удовлетворяет данному дифф. уравнению, и график которой проходит через точку .

Но вот незадача – переменные в уравнении разделить невозможно. Никакими известными науке способами. А если и возможно, то получается неберущийся интеграл. Однако частное-то решение существует! И здесь на помощь приходят методы приближенных вычислений, которые позволяют с высокой (а зачастую с высочайшей) точностью «сымитировать» функцию на некотором промежутке.

Идея методов Эйлера и Рунге-Кутты состоит в том, чтобы заменить фрагмент графика ломаной линией , и сейчас мы узнаем, как эта идея реализуется на практике. И не только узнаем, но и непосредственно реализуем =) Начнём с исторически первого и самого простого метода. …Вы хотите иметь дело со сложным дифференциальным уравнением? Вот и я тоже не хочу:)

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения , соответствующее начальному условию , методом Эйлера на отрезке с шагом . Построить таблицу и график приближённого решения.

Разбираемся. Во-первых, перед нами обычное линейное уравнение , которое можно решить стандартными способами, и поэтому очень трудно устоять перед соблазном сразу же найти точное решение:

– желающие могут выполнить проверку и убедиться, что данная функция удовлетворяет начальному условию и является корнем уравнения .

Что нужно сделать? Нужно найти и построить ломаную , которая приближает график функции на промежутке . Поскольку длина этого промежутка равна единице, а шаг составляет , то наша ломаная будет состоять из 10 отрезков:

причём, точка уже известна – она соответствует начальному условию . Кроме того, очевидны «иксовые» координаты других точек:

Осталось найти . Никакого дифференцирования и интегрирования – только сложение и умножение! Каждое следующее «игрековое» значение получается из предыдущего по простой рекуррентной формуле:

Представим дифференциальное уравнение в виде :

Таким образом:

«Раскручиваемся» от начального условия :

Понеслось:

Результаты вычислений удобно заносить в таблицу:

А сами вычисления автоматизировать в Экселе – потому что в математике важен не только победный, но ещё и быстрый конец:)

По результатам 2-го и 3-го столбцов изобразим на чертеже 11 точек и 10 отрезков, соединяющих смежные точки. Для сравнения я построю график точного частного решения :


Существенным недостатком простого метода Эйлера является слишком большая погрешность, при этом легко заметить, что погрешность имеет тенденцию накапливаться – чем дальше мы уходим от точки , тем преимущественно больше становится расхождение между приближением и истиной. Это объяснимо самим принципом, который Эйлер положил в основу своего метода: отрезки параллельны соответствующим касательным к графику функции в точках . Данный факт, кстати, тоже хорошо просматривается по чертежу.

Как можно улучшить приближение? Первая мысль – измельчить разбиение. Разделим отрезок , например, на 20 частей. Тогда шаг составит: , и совершенно понятно, что ломаная из 20 звеньев заметно точнее приблизит частное решение. С помощью того же Экселя не составит труда обработать 100-1000 и даже миллион (!) промежуточных отрезков, однако зададимся вопросом: а нельзя ли КАЧЕСТВЕННО улучшить метод?

Но перед тем как раскрыть этот вопрос, не могу не остановиться на неоднократно прозвучавшей сегодня фамилии. Читая биографию Леонарда Эйлера , просто поражаешься, как невероятно много может успеть сделать за свою жизнь человек! Сопоставимо вспомнился только К.Ф. Гаусс. …Вот и мы постараемся не потерять мотивацию к обучению и новым открытиям:))

Усовершенствованный метод Эйлера

Рассмотрим тот же самый пример: дифференциальное уравнение , частное решение, удовлетворяющее условию , промежуток и его разбиение на 10 частей
( – длина каждой части).

Цель усовершенствования состоит в том, чтобы приблизить «красные квадратики» ломаной к соответствующим «зелёным точкам» точного решения .

И идея модификации такова: отрезки должны быть параллельны касательным , которые проведены к графику функции не на левых краях , а «посерединке» интервалов разбиения. Что, естественно, улучшит качество приближения.

Алгоритм решения работает в том же русле, но формула, как нетрудно догадаться, усложняется:
, где

Плясать вновь начинаем от частного решения и сразу же находим 1-й аргумент «внешней» функции:

Теперь находим нашего «монстра», который на поверку оказался не таким уж и страшным – обратите внимание, что это ТА ЖЕ функция , вычисленная в другой точке:

Умножаем результат на шаг разбиения:

Таким образом:

Алгоритм заходит на второй круг, не поленюсь, распишу его подробно:

рассматриваем пару и находим 1-й аргумент «внешней» функции:

Рассчитываем и находим её 2-й аргумент:

Вычислим значение:

и его произведение на шаг:

Вычисления разумно провести в Экселе (растиражировав формулы по той же схеме – см. видеоролик выше) , а результаты свести в таблицу:


Числа целесообразно округлять до 4-5-6 знаков после запятой. Нередко в условии той или иной задачи есть прямое указание , с какой точностью следует проводить округление. Я подровнял сильно «хвостатые» значения до 6 знаков.

По результатам 2-го и 3-го столбцов (слева) построим ломаную , и для сравнения я снова приведу график точного решения :


Результат существенно улучшился! – красные квадратики практически «спрятались» за зелёными точками точного решения.

Однако нет пределов совершенству. Одна голова хорошо, а две – лучше. И снова немецкие:

Классический метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Его цель добиться ещё бОльшего приближения «красных квадратиков» к «зелёным точкам». Вы спросите, куда ещё ближе? Во многих, в частности физических, исследованиях бывает ПРИНЦИПИАЛЬНО важен 10-й, а то и 50-й точный знак после запятой. Нет, такой точности можно достичь и простым методом Эйлера, но на СКОЛЬКО частей придётся разбить промежуток ?! …Хотя с современными вычислительными мощностями это не проблема – тысячи кочегаров китайского космического корабля гарантируют!

И, как правильно подсказывает заголовок, при использовании метода Рунге-Кутты на каждом шаге нам придётся вычислить значение функции 4 раза (в отличие от двукратного вычисления в предыдущем параграфе) . Но задача эта вполне и вполне подъёмная если нанять китайцев. Каждое следующее «игрековое» значение получается из предыдущего – ловим формулы:
, где , где:

Готовы? Ну тогда начинаем:))


Таким образом:

Первая строка запрограммирована, и я копирую формулы по образцу:


Не думал, что так быстро разделаюсь с методом Рунге-Кутты =)

В чертеже нет смысла, поскольку он уже не показателен. Давайте лучше проведём аналитическое сравнение точности трёх методов, ибо когда известно точное решение , то грех не сравнить. Значения функции в узловых точках элементарно рассчитываются в том же Экселе – один раз забиваем формулу и тиражируем её на остальные .

В нижеследующую таблицу я сведу значения (для каждого из трёх методов) и соответствующие абсолютные погрешности приближённых вычислений:


Как видите, метод Рунге-Кутты даёт уже 4-5 верных знака после запятой по сравнению с 2 верными знаками усовершенствованного метода Эйлера! И это не случайность:

– Погрешность «обычного» метода Эйлера не превосходит шага разбиения. И в самом деле – взгляните на самый левый столбец погрешностей – там после запятых только один ноль, что и говорит нам о точности 0,1.

– Усовершенствованный метод Эйлера гарантирует точность: (смотрим на 2 нуля после запятой в средней колонке погрешностей) .

– И, наконец, классический метод Рунге-Кутты обеспечивает точность .

Изложенные оценки погрешностей строго обосновывается в теории.

Как можно ЕЩЁ улучшить точность приближения? Ответ прямо-таки философский: качеством и/или количеством =) В частности, существует и другие, более точные модификации метода Рунге-Кутты. Количественный путь, как уже отмечалось, состоит в уменьшении шага, т.е. в разбиении отрезка на бОльшее количество промежуточных отрезков. И с увеличением этого количества ломаная всё больше и больше будет походить на график точного решения и в пределе – совпадёт с ним.

В математике это свойство называется спрямляемостью кривой . К слову (небольшой оффтоп) , «спрямить» удаётся далеко не всё – рекомендую прочитать интереснейшую , в которых уменьшение «участка исследования» не влечёт за собой упрощение объекта исследования.

Так получилось, что я разобрал всего лишь одно дифференциальное уравнение и поэтому пара дополнительных замечаний. Что ещё нужно иметь в виду на практике? В условии задачи вам может быть предложен другой отрезок и другое разбиение, причём иногда встречается следующая формулировка: «найти методом… …на промежутке , разбив его на 5 частей». В этом случае нужно найти шаг разбиения , после чего придерживаться обычной схемы решения. Кстати, начальное условие должно быть такого вида: , то есть «икс нулевое», как правило, совпадает с левым концом отрезка. Образно говоря, ломаная всегда «выходит» из точки .

Безусловным достоинством рассмотренных методов, является тот факт, что они применимы к уравнениям с очень сложной правой частью. И безусловный недостаток – далеко не каждый диффур можно представить в таком виде.

Но почти всё в этой жизни поправимо! – ведь мы рассмотрели лишь малую толику темы, и моя фраза о толстых-претолстых книгах была вовсе не шуткой. Существует великое множество приближённых методов нахождения решений ДУ и их систем, в которых применяются, в том числе, принципиально другие подходы. Так, например, частное решение можно приблизить степенным рядом . Однако это уже статья другого раздела.

Надеюсь, мне удалось разнообразить скучноватую вычислительную математику, и вам было интересно!

Спасибо за внимание!