Вычисление интегралов от рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.

Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .

Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

1) , 2) , 3) , 4) .

Выясним, каким образом они интегрируются.

3) (изучен ранее).

Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).

Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

Пример 1.

Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:

Пример 2.

Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:

Пример 3.

Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:

Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:

1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.

2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.

3. комбинированный метод.

Пример 5. Разложить дробь на простейшие.

Решение:

Найдем коэффициенты А и В.

1 способ - метод частных значений:

2 способ – метод неопределенных коэффициентов:

Ответ:

Интегрирование рациональных дробей.

Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S (x ) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

Пример 1. Найти интеграл

Одним из важнейших классов функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, является класс рациональных функций.

Определение 1. Функция вида где
- многочлены степеней n и m называется рациональной. Целая рациональная функция, т.е. многочлен, интегрируется непосредственно. Интеграл от дробно-рациональной функции можно найти путем разложения на слагаемые, которые стандартным образом преобразуются к основным табличным интегралам.

Определение 2. Дробь
называется правильной, если степень числителя n меньше степени знаменателя m . Дробь, у которой степень числителя больше или равна степени знаменателя, называется неправильной.

Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления многочлена на многочлен «столбиком», подобно делению чисел.

Пример.

Представим дробь
в виде суммы многочлена и правильной дроби:

x - 1

3

3

3

Первое слагаемое
в частном получается как результат деления старшего члена
, делимого на старший членх делителя. Затем умножаем
на делительх-1 и полученный результат вычитаем из делимого; аналогично находятся остальные слагаемые неполного частного.

Выполнив деление многочленов, получим:

Это действие называется выделением целой части.

Определение 3. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:

I.

II.
(K=2, 3, …).

III.
где квадратный трехчлен

IV.
где К=2, 3, …; квадратный трехчлен
не имеет действительных корней.

а) разложить знаменатель
на простейшие действительные множители (согласно основной теореме алгебры это разложение может содержать линейные двучлены вида
и квадратные трехчлены
, не имеющие корней);

б) написать схему разложения данной дроби на сумму простейших дробей. При этом каждому сомножителю вида
соответствуетk слагаемых видов I и II:

каждому сомножителю вида
соответствует е слагаемых видовIII и IV:

Пример.

Записать схему разложения дроби
в сумму простейших.

в) выполнить сложение полученных простейших дробей. Записать равенство числителей полученной и исходной дробей;

г) найти коэффициенты соответствующего разложения:
(методы решения будут рассмотрены ниже);

д) найденные значения коэффициентов подставить в схему разложения.

Интегрирование всякой правильной рациональной дроби после разложения на простейшие слагаемые сводится к нахождению интегралов одного из типов:

(k и e =2, 3, …).

Вычисление интеграла сводится к формулеIII:

интеграла - к формулеII:

интеграл можно найти по правилу, указанному в теории интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен;- путем преобразований, показанных ниже в примере 4.

Пример 1.

а) разложим знаменатель на множители:

б) напишем схему разложения подынтегральной функции на слагаемые:

в) выполним сложение простейших дробей:

Запишем равенство числителей дробей:

г) для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C существуют два метода.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х , поэтому можно составить соответствующую систему уравнений. В этом заключается один из методов решения.

Коэффициенты при

свободные члены (коэф. при ):4А=8.

Решив систему, получим А=2 , В=1 , С= - 10 .

Другой метод - частных значений будет рассмотрен в следующем примере;

д) подставим найденные значения в схему разложения:

Подставляя под знак интеграла полученную сумму, и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем:

Пример 2.

Тождество есть равенство, справедливое при любых значениях входящих в него неизвестных. На этом основан метод частных значений. Можно придавать х любые значения. Удобнее для вычислений брать те значения, которые обращают в нуль какие-либо слагаемые в правой части равенства.

Пусть х = 0 . Тогда 1 = А  0(0+2)+В  0 (0-1)+С  (0-1)(0+2).

Аналогично при х = - 2 имеем 1= - 2В*(-3 ), при х = 1 имеем 1 = 3А .

Следовательно,

Пример 3.

г) сначала воспользуемся методом частных значений.

Пусть х = 0 , тогда 1 = А  1, А = 1 .

При х = - 1 имеем - 1+4+2+1 = - В(1+1+1) или 6 = - 3В , В = - 2 .

Для нахождения коэффициентов С и D нужно составить еще два уравнения. Для этого можно взять любые другие значения х , например х = 1 и х = 2 . Можно воспользоваться первым методом, т.е. приравнять коэффициенты при каких-либо одинаковых степенях х , например при и. Получим

1 = А+В+С и 4 = С + D – В.

Зная А = 1 , В = -2 , найдем С = 2 , D = 0 .

Таким образом, при вычислении коэффициентов можно сочетать оба метода.

Последний интеграл находим отдельно по правилу, указанному в методе веления новой переменной. Выделим полный квадрат в знаменателе:

положим,
тогда
Получим:

=

Подставляя в предыдущее равенство, найдем

Пример 4.

Найти

б)

д)

Интегрируя, имеем:

Первый интеграл преобразуем к формуле III:

Второй интеграл преобразуем к формуле II:

В третьем интеграле заменим переменную:

(При выполнении преобразований воспользовались формулой тригонометрии

Найти интегралы:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Вопросы для самопроверки.

Какие из данных рациональных дробей являются правильными:

2. Верно ли записана схема разложения дроби на сумму простейших дробей?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

В интегралах 1-3 качествеu принимают. Тогда, послеn -кратного применения формулы (19) придем к одному из табличных интегралов

,
,
.

В интегралах 4-6 при дифференцировании упроститься трансцендентный множитель
,
или
, который следует принять заu .

Вычислить следующие интегралы.

Пример 7.

Пример 8.

Приведение интегралов к самому себе

Если подынтегральная функция
имеет вид:

,
,
и так далее,

то после двукратного интегрирования по частям получим выражение, содержащее исходный интеграл :

,

где
- некоторая постоянная.

Разрешая полученное уравнение относительно , получим формулу для вычисления исходного интеграла:

.

Этот случай применения метода интегрирования по частям называется «приведение интеграла к самому себе ».

Пример 9. Вычислить интеграл
.

В правой части стоит исходный интеграл . Перенеся его в левую часть, получим:

.

Пример 10. Вычислить интеграл
.

4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

Определение. Простейшими правильными дробями I , II и III типов называются следующие дроби:

I . ;

II .
; (
- целое положительное число);

III .
; (корни знаменателя комплексные, то есть:
.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей.

I .
; (20)

II . ; (21)

III .
;

Преобразуем числитель дроби таким образом, чтобы выделить в числителе слагаемое
, равное производной знаменателя.

Рассмотрим первый из двух полученных интегралов и сделаем в нем замену:

Во втором интеграле дополним знаменатель до полного квадрата:

Окончательно, интеграл от дроби третьего типа равен:

=
+
. (22)

Таким образом, интеграл от простейших дробей I-го типа выражается через логарифмы,II–го типа – через рациональные функции,III-го типа – через логарифмы и арктангенсы.

4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций

Одним из классов функций, которые имеют интеграл, выраженный через элементарные функции, является класс алгебраических рациональных функций, то есть функций, получающихся в результате конечного числа алгебраических операций над аргументом.

Всякая рациональная функция
может быть представлена в виде отношения двух многочленов
и
:

. (23)

Будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.

Дробь вида (23) называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть,m < n . В противном случае –неправильной .

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:

, (24)

где
- многочлен,- правильная дробь, причем степень многочлена
- не выше степени (n -1).

Пример.

Так как интегрирование многочлена сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

В алгебре доказано, что всякая правильная дробь разлагается на сумму рассмотренных вышепростейших дробей, вид которых определяется корнями знаменателя
.

Рассмотрим три частных случая. Здесь и далее будем считать, что коэффициент при старшей степени знаменателя
равен единице=1, то есть многочлен приведенный .

Случай 1. Корни знаменателя, то есть, корни
уравнения
=0, действительны и различны. Тогда знаменатель представим в виде произведения линейных множителей:

а правильная дробь разлагается на простейшие дроби I-готипа:

, (26)

где
– некоторые постоянные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.

Для этого необходимо:

1. Привести правую часть разложения (26) к общему знаменателю.

2. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях тождественных многочленов, стоящих в числителе левой и правой частей. Получим систему линейных уравнений для определения
.

3. Решить полученную систему и найти неопределенные коэффициенты
.

Тогда интеграл дробно-рациональной функции (26) будет равен сумме интегралов от простейших дробей I-готипа, вычисляемых по формуле (20).

Пример. Вычислить интеграл
.

Решение. Разложим знаменатель на множители, используя теорему Виета:

Тогда, подынтегральная функция разлагается на сумму простейших дробей:

.

х :

Запишем систему трех уравнений для нахождения
х в левой и правой частях:

.

Укажем более простой способ нахождения неопределенных коэффициентов, называемый методом частных значений .

Полагая в равенстве (27)
получим
, откуда
. Полагая
получим
. Наконец, полагая
получим
.

.

Случай 2. Корня знаменателя
действительны,но среди них есть кратные (равные) корни. Тогда знаменатель представим в виде произведения линейных множителей, входящих в произведение в той степени, какова кратность соответствующего корня:

где
.

Правильная дробь будет разлагаться сумму дробейI–го иII-го типов. Пусть, например,- корень знаменателя кратностиk , а все остальные (n - k ) корней различны.

Тогда разложение будет иметь вид:

Аналогично, если существуют другие кратные корни. Для некратных корней в разложение (28) входят простейшие дроби первого типа.

Пример. Вычислить интеграл
.

Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей первого и второго рода с неопределенными коэффициентами:

.

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:

В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х :

Запишем систему четырех уравнений для нахождения
и. Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхх в левой и правой части

.

Случай 3. Среди корней знаменателя
есть комплексные однократные корни. То есть, в разложение знаменателя входят множители второй степени
, не разложимые на действительные линейные множители, причем они не повторяются.

Тогда в разложении дроби каждому такому множителю будет соответствовать простейшая дробь IIIтипа. Линейным множителям соответствуют простейшие дробиI–го иII-го типов.

Пример. Вычислить интеграл
.

Решение.
.

.

.

Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.

Пример 1. Шаг 2.

.

Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:

Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:

В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:

.

Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

.

Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:

Решаем полученную систему:

Итак, , отсюда

.

Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:

Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

.

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

.

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем.

Интегрирование рациональных функций Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование простейших дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей

многочлен степени n. Дробно – рациональная функция Дробно – рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Дробно – рациональная функция Привести неправильную дробь к правильному виду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида: Называются простейшими рациональными дробями типов. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Теорема: Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители: можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D … применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод рассмотрим на примере. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Представить дробь в виде суммы простейших дробей: Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Приравняем числители получившейся и исходной дробей Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx)52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Интегрирование простейших дробей Найдем интегралы от простейших рациональных дробей: Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Интегрирование простейших дробейdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Интегрирование простейших дробей Интеграл данного типа с помощью подстановки: приводится к сумме двух интегралов: Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала. Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Интегрирование простейших дробей a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1(4)1(

Общее правило интегрирования рациональных дробей Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения коэффициентов или методом частных значений переменной. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример Приведем дробь к правильному виду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

Пример Разложим знаменатель правильной дроби на множители Представим дробь в виде суммы простейших дробей Найдем неопределенные коэффициенты методом частных значений переменной xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Пример dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln