Понятие о конформном отображении. Конформные отображения с помощью элементарных функций Конформное отображение примеры

дипломная работа

1.1 Понятие конформного отображения и его основные свойства

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойством сохранения углов по величине и направлению и свойством постоянства растяжений малых окрестностей отображенных точек, называется конформным отображением.

Для обеспечения взаимной однозначности отражения выделяют области однолистности функции. Область D называется областью однолистности функции f(z), если.

Основные свойства конформных отображений:

1) постоянство растяжений. Линейное в точке одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно;

2) сохранение углов. Все кривые в точке поворачиваются на одинаковый угол, равный.

Функция отображает точки z- плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z, такой что f(z) аналитична (т.е. однозначно определена и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки) и, отображение конформно, т.е. угол между двумя кривыми, проходящими через точку z, переходит в равный по величине и направлено отсчета угол между двумя соответствующими кривыми в плоскости.

Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный бесконечно малый треугольник - плоскости; каждая сторона треугольника растягивается в соотношении и поворачивается на угол. Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении определяется якобианом отображения

в каждой точке z, где отображение конформно.

Конформное отображение преобразует линии в семейство ортогональных траекторий в w- плоскости.

Область z- плоскости, отображающаяся на всю w-плоскость функцией f(z), называется фундаментальной областью функции f(z).

Точки, где, называются критическими точками отображения.

Отображение, которое сохраняет величину, но не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или конформным отображением второго рода.

Отображение конформно в бесконечно удаленной точке, если функция конформно отображает начало в - плоскость.

Две кривые пересекаются под углом в точке, если преобразование переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом в точке.

Аналогично, конформно отображает точку конформно в точку .

Алгебраические группы матриц

Пусть и --- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, --- матрица размера. Определим отображение, полагая для любого где --- столбцы матрицы. Так как они имеют высоту...

Биекторы в конечных группах

Определение. Пусть --- группа и --- класс групп. Если и, то --- -подгруппа группы. Определение. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы, которая не содержится ни в какой большей -подгруппе. Определение...

Векторные поля

Определение ротора векторного поля: Ротором или вихрем векторного поля называется вектор с проекциями Основные свойства ротора: -- это векторная величина, которая является дифференциальной (т.е. точечной) характеристикой векторного поля...

Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек

Седловые поверхности в известном смысле противоположны по своим свойствам выпуклым поверхностям. Как и выпуклые поверхности, они могут быть определены чисто геометрически...

Китайская Теорема об остатках и её следствия

В данном параграфе мы рассмотрим целые числа, а обозначать их будем латинскими буквами. Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел...

Математические основы системы остаточных классов

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю...

Математическое моделирование технических объектов

Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта...

Определенный интеграл

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: . 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Если, то, по определению, полагаем 4...

Практическое применение квадратурных формул с весом Чебышева-Эрмита

Пусть на всей оси задана четная весовая функция. (1.1) Дифференцируя эту функцию последовательно, находим (1.2) По индукции легко доказать, что производная порядка n от функции (1.1) есть произведение этой функции на некоторый многочлен степени n...

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке...

Решение задачи обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью в кватернионах

Кватернионы были введены в математику Уильямом Роуэном Гамильтоном (William Rowan Hamilton) 1]. Они являются хорошим инструментом для решения многих задач, связанных с трехмерным пространством, и учитывают его особенности...

Статистическое моделирование

Для того чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами. 1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. М= .(22.1) Если равенство (22...

Тригонометрические функции

Циклоида

Определение циклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия -- скорости, сложения движений и т. д...

Экстремальная задача на индексационных классах

Нам понадобятся два факта из . 1. Для любого существует и единственная ФР. 2. Если, то множество одноэлементно. Если, то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие...

Электродные системы со сложными двумерными электростатическими полями могут быть рассчитаны методом конформных отображений. Основная идея этого метода состоит в замене сложных полей – простыми полями, для которых решения известны. К таким простым полям относятся поля плоского или цилиндрического конденсатора вдали от их краев. Метод конформных отображений является практическим применением теории функции комплексного переменного. Конформное отображение – это непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых (б.м.) фигур. Для конформного отображения выполняется свойство постоянство углов и постоянство растяжений. Название происходит от позднелатинского – conformis – подобный, непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур: например, б.м. круг остается б.м. кругом; углы между линиями в точке их пересечения друг с другом не изменяются. Область применения метода конформных отображений для расчета электрических полей – двумерные электростатические поля.

Конформное преобразование отображает каждую точку z =x +j×y реального расчетного поля, описывающегося комплексной плоскостью, в точку w =u +j×v другой комплексной плоскости, с более простой конфигурацией поля. Основная сложность метода – нахождение вида функции для данной реальной электродной системы. На практике, при попытках найти функцию конформного отображения, используют либо специальные каталоги конформных отображений , либо ищут ее посредством последовательных проб.

Предположим, что мы знаем вид некоторого преобразования z =f(w) или обратного преобразования w =f(z) , которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между двумя комплексными плоскостями со сложной (z ) и простой (w ) конфигурацией поля. Коэффициентом преобразования называется отношение dw/dz .

здесь использованы соотношения:

, . (2.94)

Аналогично можно записать:

. (2.95)

Два комплексных числа равны, если у них равны порознь действительные и мнимые части. Сравнивая значения коэффициента преобразования, приведенные в выражениях (2.93) и (2.95) можно записать:

Выражения (2.96) известны под названием условий Коши-Римана. Используя различные формы представления комплексных чисел, коэффициент преобразования можно записать в виде:

где - коэффициент изменения длины отрезков при преобразовании, а tg(j) = b/a (j - угол поворота отрезков при преобразовании). Из соотношений Коши-Римана, получим:

(2.99)

Из соотношений (2.97) – (2.98) следует, что коэффициент конформного преобразования М является относительной напряженностью электрического поля, а каждая из функций u и v может быть выбрана в качестве потенциала на новой комплексной плоскости w =f(u,v) . Этот вывод может быть проверен другим способом. Если функции u и v могут быть выбраны в качестве потенциала, то каждая из них должна удовлетворять уравнению Лапласа: Du =0 и Dv =0. Это можно проверить непосредственным повторным дифференцированием условий Коши-Римана. Продифференцируем первое условие по х , а второе по у ; сложим результат; перенесем в левую часть записи все значащие производные и оставим справа нуль:

; ; . (2.100)

Из полученного выражения следует, что функция u удовлетворяет уравнению Лапласа (1.25), (1.30) и может быть принята за потенциал. Продифференцируем 1-е условие по у , а 2-е - по х :

; ; , (2.101)

т.е. и функция v также удовлетворяет уравнению Лапласа и также может быть принята за потенциал. Поскольку силовые и эквипотенциальные линии на плоскости z =f(x,y) взаимно перпендикулярны, а конформное преобразование оставляет неизменными углы между линиями в точке их пересечения, то из (2.97) ¸ (2.101) следует, что если функция u принята, например, за потенциал, то тогда линия с v =const – является силовой линией. Если же v – потенциал, то u =const – силовая линия. Какая из функций u или v является потенциалом, а какая силовой линией, следует определять из анализа конформного преобразования поля на исходной плоскости z =f(x,y) в поле на плоскости w =f(u,v). Любая функция z=f(w) (или w=f(z)) дает нам решение какой-либо задачи электростатики. Можно придумать произвольную функцию, найти для неё решения, а затем к найденным решениям подобрать соответствующую электродную систему. Таким методом (задом наперед) было найдено множество решений электростатических задач.

При нахождении напряженности электрического поля методом конформных отображений следует учитывать следующее важное обстоятельство. Картина электрического поля полностью определяется геометрическими параметрами электродной системы независимо от пространственного масштаба и приложенного напряжения. Поэтому поле может быть описано напряженностью, отнесенной к единице напряжения или длины. Выражения (2.97)-(2.98) представляют собой именно такую относительную напряженность. Для получения реальной напряженности необходимо учесть действительно приложенное напряжение и фактическое расстояние между электродами. Это делается умножением выражений (2.97)-(2.98) на коэффициент масштаба К м . Пусть расстояние между электродами в плоскости w равно u 2 -u 1 (v 2 -v 1), если за эквипотенциальные линии приняты функции u или v , соответственно. Тогда коэффициент масштаба принимает вид:

К м = U /(u 2 -u 1) или К м = U /(v 2 -v 1). (2.102)

Цилиндрический конденсатор. Хотя расчет электростатического поля цилиндрического конденсатора приведен в §2.5, рассмотрим его в качестве примера применения метода конформных отображений. Поле цилиндрического конденсатора (поле двух концентрических окружностей) на плоскости ху может быть отображено в однородное поле (поле плоского конденсатора) следующим преобразованием:

z = e w ; x + j×y = e u+jv = e u (Cosv +j ×Sinv ).

Произведем разделение действительных и мнимых частей:

Прямая линия на реальной плоскости z , проходящая через начало координат с углом наклона к оси х равным v =const переходит в прямую линию на плоскости w , параллельную оси абсцисс.

При u = const на плоскости w получается система прямых линий, параллельных оси ординат. На плоскости z они соответствуют системе концентрических окружностей. Очевидно, что линии с u = const следует принять за потенциальные линии, а v – за силовые линии поля. Расчет напряженности будем проводить по формуле (2.97):

Длина преобразуемого малого отрезка при переносе с плоскости z на плоскость w изменяется в 1/r раз, где r – расстояние до центра окружностей. Чем дальше от центра, тем меньше коэффициент изменения длин отрезков. Переносимый отрезок поворачивается на угол j = arctg(-y/x ). Угол между лучом, идущим из начала координат в середину преобразуемого отрезка, и осью х становится равным нулю. Все радиусы на z - плоскости превращаются на w - плоскости в линии параллельные оси u . Масштабный коэффициент

Напряженность

(2.103)

Полученная формула (2.103) совпадает, как и следовало ожидать в силу теоремы о единственности, с выражением (2.18), полученным с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.

Поле внутри прямого угла, образованного двумя плоскостями

В качестве другого примера применения метода конформных отображений рассмотрим поле, образованное двумя бесконечными проводящими взаимно перпендикулярными плоскостями. Очевидно, что такая электродная система имеет трансляционную симметрию с бесконечно малым шагом трансляции вдоль плоскостей и плоскость симметрии, проходящую под углом 45° к каждой из плоскостей. Такое поле сводится к двумерному полю, а для определения его параметров достаточно рассчитать характеристики поля между одной из плоскостей и плоскостью симметрии. Для двумерных полей может быть применен метод конформного отображения. Поле в z – плоскости, перпендикулярной линии пересечения заряженных плоскостей, показано на рис.2.20а. За оси х и у приняты линии пересечения заряженных плоскостей с z – плоскостью. Поле внутри прямого угла, образованного двумя плоскостями, преобразуется в однородное поле преобразованием w = z 2 . Покажем это:

w = u +jv = z 2 = (x +jy ) 2 = x 2 + j 2xy – y 2 ; u = x 2 – y 2 ; v = + j 2xy .

При u = const линии, параллельные оси v на плоскости w , преобразуются в семейство равнобочных гипербол x 2 – y 2 = а 2 на плоскости z . Ось 0х является действительной (фокальной) осью гипербол, а ось у её мнимой осью. Прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к оси х (u = 0; y = x ), представляет собой линию пересечения z – плоскости с плоскостью симметрии и является асимптотой гипербол. Угол пересечения гипербол с осью х равен 90°, т.е. линии функции u =х 2 -у 2 перпендикулярны эквипотенци альной линии х (поверхности заряженной плоскости х ).

Функции v = 2xy при различных значениях v описывают другое семейство равнобочных гипербол, у которых оси х и у являются асимптотами, а линия у = х является фокальной осью. На рис.2.20а представлены гиперболы с v = 4, 16, 36. При v = 0 гипербола вырождается в оси координат х и у , которые совпадают с заряженными плоскостями. Поскольку поверхность заряженных плоскостей является поверхностью одинакового потенциала, очевидно, что именно функция v должна быть принята за потенциальную функцию на плоскости w . В этом случае функция u представляет собой силовую функцию. Поле двух бесконечных взаимно перпендикулярных плоскостей (оси х и у на z – плоскости) превращается в однородное поле бесконечной заряженной плоскости (ось v на w – плоскости).

Конформное преобразование, сохраняя форму бесконечно малых фигур, может существенно изменить форму конечных фигур. В качестве примера такого изменения приведено преобразование квадрата abcd c координатами а (0,8;0,8), b (0,8;4), c (4;4), d (4;0,8) на z - плоскости в криволинейный четырехугольник a¢b¢c¢d¢ с координатами а¢ (0;1,28), b¢ (-15,36;6,4), c¢ (0;32), d¢ (15,36;6,4) на w - плоскости.

Определим относительную напряженность электростатического поля заряженных плоскостей рис.2.20а. Из двух формул (2.97) и (2.98) для определения напряженности будем использовать (2.98), поскольку именно функция v = 2xy описывает систему эквипотенциальных поверхностей (линий). Линейный коэффициент преобразования:

, (2.104)

Длина преобразуемого малого отрезка при переносе с z - плоскости на w - плоскость увеличивается в 2r раз, где r =х 2 +у 2 – расстояние на z - плоскости от начала координат до центра отрезка. Переносимый отрезок поворачивается на угол j = arctg(y/x ). Происходит удвоение угла между лучом, идущим из начала координат в середину отрезка, и осью х . Масштабный коэффициент К м = U /(v 2 -v 1) = U /(2x 2 y 2 -2x 1 y 1). Напряженность поля определится умножением относительной напряженности на масштабный коэффициент: Е =E¢×K м . Пусть масштабный коэффициент равен К м =100 в/м. Определим напряженность поля в двух точках на заряженной плоскости: более близкой к углу пересечения плоскостей n 1(1;0) и отдаленной от него n 2 (5;0).

В/м, ×в/м.

Чем ближе к углу, тем меньше напряженность поля. Это результат можно было ожидать из картины поля рис.2.20: расстояние между эквипотенциальными линиями уменьшается при удалении от угла. Любое углубление (вмятина, впадина, каверна, трещина и т.п.) на поверхности электрода может быть приблизительно описано рассмотренной задачей. Тогда, учитывая результаты предыдущего параграфа, можно заключить: вблизи острия или выступа напряженность электрического поля повышается, а вблизи впадины или отверстия она слабеет. Аналогичная рис.2.20а картина поведения силовых и эквипотенциальных линий наблюдается вблизи точки ветвления поля от двух одноименных зарядов (§2.11).

Поле на краю плоского конденсатора (профиль Роговского)

Поместим начало координат на z - плоскости так, чтобы ось х была параллельна плоскостям обкладок конденсатора и находилась от них на одинаковом расстоянии a . Ось у перпендикулярна обкладкам и проходит через их края. Функцию отображения поля на краю плоского конденсатора в однородное поле получил Ю. К. Максвелл в 1881 г. в виде:

. (2.105)

После разделения переменных получаем:

При v I = 0, y = 0, . При v II = p, y = a, .

Очевидно, что за потенциальную функцию следует выбрать функцию v .

,

Учитывая, что К м =U/(v II -v I) = U /p

(2.106)

При u < -5 в области от v I =0 до v II =p получается практически однородное поле с напряженностью U/a . При u ®0 напряженность на электроде (v =v II = p)сильно возрастает и стремиться к бесконечности при u =0. Наибольшая напряженность в реальных системах не обращается в нуль:

. (2.107)

При конечной толщине обкладки конденсатора v ¹p и напряженность остается конечной. Величину v следует подбирать так, чтобы эквипотенциальная поверхность совпала с реальной поверхностью обкладки конденсатора. Пусть v = 174° = 29p/30, тогда отношение напряженности у края электрода к средней напряженности:

.

Видно, что у даже довольно тупого края напряженность резко возрастает. Это отношение можно сделать близким к единице, если поверхность электрода выполнить в виде эквипотенциальной поверхности с v £ p/2. Такой профиль электрода называется профилем Роговского (рис.2.21в). При расстоянии а = p (между обкладками расстояние 2p) он имеет координату v = p/2 и для него x = u +1; y = p/2+e u , т.е. у = p/2+e (х -1) (2.108)

Профиль Роговского имеет большое практическое значение в экспериментах по пробою в поле, близком к однородному для устранения краевого эффекта . В центре устройства с электродами Роговского имеет место однородное поле.

Поле расщепленных проводов.

В линиях электропередачи высокого напряжения фазовый провод расщепляют на несколько проводников в целях уменьшения потерь передаваемой мощности из-за коронного разряда. Для описания поля расщепленного

провода можно пользоваться функцией отображения , где n –

число отдельных проводников, на которые расщепляется фазовый провод. В качестве иллюстрации метода конформных отображений рассмотрим расщепление на два провода (n =2). (Заметим, что этот случай достаточно просто может быть решен методом изображений )

Пусть плоскость z перпендикулярна расщепленным проводам. Выберем ось х на z плоскости таким образом, чтобы она проходила через оси проводов. Пусть ось y проходит через середину отрезка между проводами. Решение существенно упрощается, если находить не функции x,y =f(u,v) , а функции u,v = f(x,y) . Разделяя действительную и мнимую части, получим:

,

Эквипотенциальным линиям соответствует функция u . Чтобы функция u равнялась нулю, логарифм должен быть равен нулю, а выражение в квадратных скобках должно быть равно 1. Тогда выполняется соотношение:

(х 2 +у 2) 2 = 2а 2 (х 2 -у 2)

Эта функция проходит через начало координат z - плоскости. При u в диапазоне -1,28 < u < 0 на z - плоскости наблюдаются круговые области справа и слева от оси у . При u £ -1.28 это практически точки с координатами х = -а и х = а . При u > 0 решениями являются замкнутые кривые, которые при возрастании u приближаются по форме к окружностям. Эти кривые представляют собой потенциальные линии поля двух цилиндров с зарядами одного знака, т.е. поля двух проводов с одним потенциалом. Наибольший интерес представляют точки на поверхности проводов р 2 и р 1 , в которых, соответственно, наблюдается наибольшая и наименьшая напряженность поля. Точка р 2 находится на поверхности провода в наиболее удаленной от другого провода точке и имеет координаты:

,

С учетом масштабного коэффициента для точки р 2 получаем:

. (2.109)

При s®0 электродная система превращается в систему двух коаксиальных цилиндров (b =0, s =0) (см.(2.18)):

Обычно для линии электропередачи p ³ 200.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите фундаментальные уравнения Лапласа в пространстве, однородном и плоскопараллельном поле.

2. Приведите формулы для расчета потенциала и напряженности поля точечного заряда. Определите емкость одиночного металлического шара.

3. Приведите формулы для расчета потенциала и напряженности поля одиночной бесконечно тонкого прямого провода бесконечной длины.

4. Где находятся область с максимальной напряженностью поля у коаксиального кабеля. Найдите оптимальный диаметр внутренней жилы при заданном размере внешней оболочки и разности потенциалов между ними. Определите погонную емкость коаксиального кабеля.

5. Для чего изготовляют кабели с изоляцией из различных типов диэлектриков?

6. Объясните конструкцию конденсаторного ввода и его назначение.

7. В чем состоит метод наложения, и что такое частичная емкость?

8. Что такое электрический диполь, каковы характеристики поля диполя? Для объяснения каких явлений используется понятие диполя?

9. В чем состоит сходство и различие полей двух одноименных и разноименных зарядов?

10. Графически изобразите поле двух разноименно заряженных бесконечных осей. Приведите формулы для расчета такой системы и укажите точки с максимальной напряженностью поля.

11. В чем состоит метод отражения? Объясните сущность метода на примере расчета параметров поля одиночного провода над землей.

12. Приведите методику расчета параметров поля точечного заряда, расположенного вблизи металлического шара.

13. Определите напряженность электрического поля на поверхности одиночного провода, расположенного над землей.

14. Как определить параметры поля трехфазной линии?

15. Определите максимальную напряженность шарового разрядника.

16. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого проводником конечной длины.

17. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого кольцевым зарядом.

18. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого заряженным диском.

19. Как зависят параметры поля от радиуса закругления поверхности электрода? Для чего следует сглаживать и шлифовать поверхности электродов высокого напряжения?

20. Поясните сущность метода конформных отображений и перечислите последовательность расчета по этому методу.

21. Что такое профиль Роговского?

22. Как возникает объемный заряд, и как он изменяет характеристики электрического поля?

23. Какая из характеристик электрического поля является аналогом энергии?

24. Какая из характеристик электрического поля является аналогом силы?

25. С какой целью на линиях электропередач с номинальным напряжением 330 кВ и выше проводник одной фазы выполняют расщеплённым на несколько параллельных проводников? Укажите точки с максимальной напряженностью на расщеплённых проводах. Каковы расстояния между расщепленными проводниками?

26. Где напряженность электрического поля вблизи поверхности земли выше: в углублении (яме, овраге) или на возвышении (холм, бугор)? Ответ поясните графически и расчетом.

27. Как изменяется напряженность электрического поля на уровне земли под одноцепной линией электропередач с горизонтальным расположением фазных проводов?

28. Приведите алгоритм расчета емкости на землю трехфазной ВЛ.

29. С какой целью на аппаратах высокого напряжения ставятся кольцевые экраны?

30. Выведете формулы расчета параметров цилиндрического конденсатора.

Пусть однозначная функция определена в некоторой области и пусть точки и принадлежат области .

Определение. Если существует конечный предел отношения , когда по любому закону стремится к нулю, то:

1) этот предел называется производной функции в точке и обозначается символом

2) в этом случае функция называется дифференцируемой в точке .

Все правила и формулы дифференцирования функции действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного.

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы:

1) действительные функции и были дифференцируемы в точке *) ;

2) в этой точке выполнялись условия

, (4.2)

называемые условиями Коши-Римана (C.-R. ) или Даламбера-Эйлера.

При выполнении условий (C.-R .) производная функции может быть найдена по одной из следующих формул:

Приведем два определения, имеющих фундаментальное значение в теории функции комплексного переменного.

Определение. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Определение. Функция называется аналитической в точке , если она является аналитической в некоторой окрестности точки , т.е. если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в ее окрестности.

Из приведенных определений видно, что понятия аналитичности и дифференцируемости функции в области совпадают, а аналитичность функции в точке и дифференцируемость в точке – разные понятия. Если функция аналитична в точке, то она, безусловно, дифференцируема в ней, но обратное может и не иметь места. Функция может быть дифференцируема в точке, но не быть дифференцируемой ни в какой окрестности этой точки, в таком случае она не будет аналитической в рассматриваемой точке.

Условием аналитичности функции в области является выполнимость условий Коши–Римана для всех точек этой области.

Связь аналитических функций с гармоническими . Любая ли функция двух переменных и может служить действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции?

Если функция аналитическая в области , то функции и являются гармоническими, т.е удовлетворяют уравнению Лапласа.

и .

Однако если функции и являются произвольно выбранными гармоническими функциями, то функция , вообще говоря, не будет аналитической, т.е. условия для них не всегда будут выполняться.

Можно построить аналитическую функцию по одной заданной гармонической функции (например, ), подобрав другую так, чтобы удовлетворялись условия . Условия (4.2) позволяют определить неизвестную функцию (например, ) по ее двум частным производным или, что то же самое, по ее полному дифференциалу. Отыскивание гармонической функции по ее дифференциалу есть известная из действительного анализа задача интегрирования полного дифференциала функции двух переменных.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть функция дифференцируема в области и . Функция отобразит точку плоскости в точку плоскости , кривую , проходящую через точку в кривую , проходящую через (рис.4.1).

Модуль производной есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между их прообразами и . Поэтому величину можно рассматривать геометрически как коэффициент растяжения (если ) в точке при отображении области в области , осуществляемом функцией

В каждой точке области в каждом направлении коэффициент растяжения будет свой. Для аргумента производной можно записать

где и это соответственно углы и , которые векторы и образуют с действительной осью (рис.4.1). Пусть и углы, образованные касательными к кривой и в точках и с действительной осью. Тогда при , а , поэтому определяет угол, на который нужно повернуть касательную к кривой в точке , чтобы получить направление к касательной к кривой в точке .

Если рассмотреть две кривые и , и , то углы и (рис. 4.1) между их касательными, вообще говоря, неравные.

Определение. Отображение области на область , обладающее свойствами постоянства растяжений () в любом направлении и сохранения (или консерватизма) углов между двумя кривыми, пересекающимися в точке , называется конформным (подобным в малом). Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых .

УПРАЖНЕНИЯ

55. Показать, что функция дифференцируема и аналитична во всей комплексной плоскости. Вычислить ее производную.

Решение. Найдем и . По определению имеем . Следовательно, .

, ,

Откуда , .

Как видно, частные производные непрерывны на всей плоскости, и функции и дифференцируемы в каждой точке плоскости. Условия выполняются. Следовательно, дифференцируема в каждой точке плоскости, а значит, и аналитична на всей плоскости . Поэтому производную можно найти по одной из формул (4.3):

Наконец, производная может быть найдена по правилам формального дифференцирования: .

56. Выяснить, является ли аналитической функция:

Решение. а) Так как , то , откуда . Как видно, первое условие (4.2) не выполняется ни при каких и . Следовательно, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости, а поэтому и не аналитична.

б) Имеем . Функция и дифференцируемы в каждой точке плоскости, ибо их частные производные непрерывны во всей плоскости. Но условия не выполняются ни в какой точке плоскости, кроме точки , где все частные производные равны нулю. Следовательно, функция дифференцируема только в одной точке, но не является аналитической в ней, так как по определению требуется дифференцируемость в окрестности данной точки.

Таким образом, функция не является аналитической ни при каком значении . Из приведенного примера ясно, что аналитичность функции в точке более сильное требование, чем дифференцируемость ее в этой точке.

57. Существует ли аналитическая функция, для которой ?

Решение. Проверим, является ли функция гармонической. С этой целью находим

и . Из последнего соотношения следует, что не может быть действительной, а также и мнимой частью аналитической функции.

58. Найти, если это возможно, аналитическую функцию по ее действительной части .

Решение. Прежде проверим, является ли функция гармонической. Находим , , , и . Гармоническая на всей плоскости функция сопряжена с условиями Коши-Римана , . Из этих условий получаем , . Из первого уравнения системы находим интегрированием по , считая постоянным.

где произвольная функция, подлежащая определению. Найдем отсюда и приравняем к выражению , ранее найденному: . Получим дифференциальное уравнение для определения функции , откуда

Итак, . Тогда, т.е. в данной точке происходит вращение на угол и образующие между собой угол , отображаются соответственно в лучи и , образующие между собой угол . Поэтому в точке конформность отображения нарушается в силу того, что нарушается свойство консерватизма углов: углы не сохраняются, а утраиваются.

Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w.

Непрерывное отображение области 2-мерного евклидова пространства в 2-мерное евклидово пространство называется конформным в точке, если оно в этой точке обладает свойствами постоянства растяжений и сохранения углов. Свойство постоянства растяжений в точке при отображении состоит в том, что отношение расстояния между образами и точек u к расстоянию между и стремится к определенному пределу, когда стремится к произвольным образом; число называется коэффициентом растяжения в точке при рассматриваемом отображении. Свойство сохранения (консерватизма) углов в точке при отображении состоит в том, что любая пара непрерывных кривых, расположенных в и пересекающихся в точке под углом б (т.е. имеющих касательные в точке, образующие между собой угол б), при рассматриваемом отображении переходит в пару непрерывных кривых, пересекающихся в точке под тем же углом б. Непрерывное отображение области называется конформным, если оно конформно в каждой точке этой области.

По определению, конформное отображение области обязано быть непрерывным и конформным лишь во внутренних точках, и если говорят о конформном отображении замкнутой области, то, как правило, имеют в виду непрерывное отображение замкнутой области, конформное в ее внутренних точках.

Конформные отображенияобласти 2-х мерного евклидова пространства в 2-х мерное евклидово пространство удобно рассматривать как отображение области плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного; соответственно отображение является комплекснозначной функцией комплексного переменного. При этом если в точке отображение сохраняет углы, то криволинейные углы с вершиной при этом отображении либо сохраняют свою абсолютную величину и знак, либо сохраняют свою абсолютную величину, изменяя знак на противоположный. В первом случае говорят, что отображение в точке является конформным отображением первого рода, во втором - конформным отображением второго рода. Если функция задает конформное отображение второго рода в точке, то комплексно сопряженная функция w= задает конформное отображение первого рода в точке, и наоборот. Поэтому изучаются лишь конформные отображения первого рода, и именно их обычно имеют в виду, когда говорят о конформном отображении, не уточняя их род. Если отображение конформно в точке, то при существует конечный предел отношения, т. е. существует производная. Верно и обратное. Таким образом, если существует то каждый бесконечно малый вектор с началом в точкепри отображении преобразуется с помощью линейной функции т.е. растягивается в раз, поворачивается на угол arg и параллельно сдвигается на вектор.

В теории плоских конформных отображений и ее приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях - вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций. Первую задачу для случая односвязных областей, границы которых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле теорема Римана о конформном отображении. Вторая задача для некоторых областей специального вида, решается применением элементарных функций комплексного переменного.

Основные принципы теории конформных отображений о отображении одной области на другую

Теорема Римана. Пусть - односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой содержит не менее двух точек. Тогда:

• 1) существует аналитическая в функция конформно отображающая на единичный круг
• 2) эту функцию можно выбрать так, что будут выполнятся условия

где заданные точки, заданное действительное число. При этом функция условиями (1) определяются однозначно.

Две односвязные области, каждая из которых имеет не менее двух граничных точек, можно конформно отобразить одну на другую. Важным теоретическим положением, характеризующим поведение конформного отображения вблизи границы области, является следующий принцип соответствия границ.

Теорема 1. Пусть и - односвязные области, ограниченные простыми кусочно гладкими контурами и, а функция однолистно и конформно отображает область на область. Тогда:

• 1) функция, имеет непрерывное продолжение на границу области, т.е. ее можно так доопределить в точках контура, что получится функция, непрерывная в замыкании;
• 2) функция, доопределяется на границе, отображает контур взаимно однозначно на контур, причем так, что положительному обходу контура будет соответствовать положительный обход контура.

Теорема 2. Пусть функция аналитична в односвязной области, ограниченной кусочно гладким контуром, и непрерывна в замыкании этой области. Если функция осуществляет взаимно однозначное отображение контура на некоторый простой кусочно гладкий контур, то отображает область конформно и однолистно на область, ограниченную контуром, причем обходу контура в положительном направлении соответствует обход контура также в положительном направлении.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

• 1) для каждой точки существует только единственная такая, что, т.е. функция имеет только один нуль в области;
• 2) для каждой точки не существует точки такой, что т.е. функция не принимает значения ни при каком

Докажем первое утверждение. По условию теоремы функция не обращается в нуль на контуре, т.к. при точка попадает на контур, а лежит в и не может принадлежать. Значит, согласно принципу аргумента, число нулей функции в области равно

Так как точка лежит в области, ограниченной контуром, то, где знак плюс соответствует положительному направлению обхода контура. Отрицательное значение в данном случае невозможно, так как свидетельствует о наличии в области полюсов функции а по условию аналитична в Следовательно, и уравнение в области имеет только одно решение.

Рассмотрим второе утверждение. Если точка расположена во внешности контура, то и уравнение не имеет решений в области А это означает, что всякая внутренняя точка области при конформном и однолистностном отображении переходит во внутреннюю точку области. Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теоремы 1и 2 верны и для областей и расширенной комплексной плоскости, ограниченных простыми кусочно гладкими контурами и.

Теорема 3 (принцип сохранения области) Если функция аналитична в области и не является постоянной, то образ области также является областью.

Для доказательства теоремы требуется показать, что множество линейно связанное и открытое. Так как отображение в силу аналитичности является непрерывным отображением, то образ любого линейно связанного множества при этом отображении является линейно связанным множеством. Следовательно, линейно связанное множество.

Докажем теперь, что открытое множество, т.е. любая точка входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть один из прообразов точки. Если, то, согласно теореме об обратной функции, в некоторой окрестности точки определена функция, обратная функция к. Следовательно, все точки этой окрестности являются образами при отображении и она целиком принадлежит. Если, то к этому же выводу приходим, опираясь на теорему (Об обратной функции).

Теорема 4 (принцип максимума модуля). Если функция аналитическая в области, а ее модуль достигает локального максимума в некоторой точке, то постоянна в.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть. Для точки выберем произвольную окрестность, целиком принадлежащую области, и предположим, что не является постоянной в рассматриваемой окрестности. Согласно принципу сохранения области, образ круга при отображении является областью. Значит, все точки некоторой окрестности точки являются образами точек круга. В этой окрестности выберем точку, для которой (если, то можно взять

а если, то в качестве можно взять любую точку указанной окрестности). Для этой точки имеем > Поскольку окрестность точки можно выбрать сколь угодно малого радиуса, заключаем, что точка не является точкой локального максимума функции.

Итак, если функция не является постоянной в окрестности точки, то не имеет максимума в точке. Если же достигает максимума в некоторой точке области, то функция постоянна в некоторой окрестности точки, т.е. при. Согласно теореме о единственности аналитической функции, аналитические функции и совпадают в области. Другими словами, функция постоянна в.

Теорема 5. Если функция аналитична в ограниченной области и непрерывна на замыкании этой области, то функция достигает наибольшего значения на границе области.

Действительно, если функция постоянна в, то в силу непрерывности она постоянна в и утверждение теоремы очевидно.

Если же не является постоянной в, то, согласно теореме 4, функция не может достигать наибольшего значения в области, т.к. в противном случае она имела бы в точку локального максимума. Но, будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего значения: это может произойти только на границе области.

Теорема 6. Если функция аналитична в области, не имеет в нулей и ее модуль достигает в локального минимума, то постоянна в этой области.

Теорема 7 (лемма Шварца). Если аналитическая в круге функция удовлетворяет условиям, то и, z. При этом равенство или возможно хотя бы в одной точке z 0 лишь тогда, когда

Доказательство. В силу того, что точка является нулем функции, эту функцию можно представить в виде, где - аналитическая функция в, причем. Рассмотрим круг, ограниченный окружностью Функция аналитична в и непрерывна в. Поэтому, согласно теореме 5, она достигает наибольшего значения на границе. При этом при, так как по условию теоремы. Следовательно, всюду в имеем.

Предположим, что в некоторой точке выполнено неравенство. Выберем r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

Если, то функция достигает максимума в точке, равного единице. Аналогично равенство означает, что достигает максимума в точке, равного единице. И в том и в другом случае, согласно принципу максимума модуля, функция является постоянной, причем. Следовательно, и.

Теорема 8. Пусть функция гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замыкании этой области. Если непостоянна в, то она достигает наибольшего и наименьшего значений только на границе этой области.