Свободные оси вращения. Гироскоп

Рис.91

Рис.90

Рис.89

Гироскопы. Свободный гироскоп.

Изучение данных вопросов необходимо в дисциплине «Детали машин».

Гироскоп - это массивное аксиально-симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.

В этом случае моменты всех внешних сил, включая и силу тяжести, относительно центра масс гироскопа равны нулю. Это можно реализовать, например, поместив гироскоп в карданов подвес, изображенный на рис.89.

и момент импульса сохраняется:

Гироскоп ведет себя так же, как и свободнее тело вращения. В зависимости от начальных условий возможны два варианта поведения гироскопа:

1. Если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии, то направления момента импульса и угловой скорости совпадают:

и направление оси симметрии гироскопа остается неизменным. В этом можно убедиться, поворачивая подставку, на которой расположен карданов подвес - при произвольных поворотах подставки ось гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве. По этой же причине волчок, "запущенный" на листе картона и подброшенный вверх (рис.90), сохраняет направление своей оси во время полета, и, падая острием на картон, продолжает устойчиво вращаться, пока не израсходуется запас его кинетической энергии.

Свободный гироскоп, раскрученный вокруг оси симметрии, обладает весьма значительной устойчивостью. Из основного уравнения моментов следует, что изменение момента импульса

Если интервал времени мал, то и мало, то есть при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение гироскопа изменяется незначительно. Гироскоп как бы сопротивляется попыткам изменить его момент импульса и кажется "затвердевшим".

Возьмем гироскоп конусообразной формы, опирающийся на стержень подставки в своем центре масс О (рис. 91). Если тело гироскопа не вращается, то оно находится в состоянии безразличного равновесия, и малейший толчок сдвигает его с места. Если же это тело привести в быстрое вращение вокруг своей оси, то даже сильные удары деревянным молотком не смогут сколько-нибудь значительно изменить направление оси гироскопа в пространстве. Устойчивость свободного гироскопа используется в различных технических устройствах, например, в автопилоте.

2. Если свободный гироскоп раскручен так, что вектор мгновенной угловой скорости и ось симметрии гироскопа не совпадают (как правило, это несовпадение при быстром вращении бывает незначительным), то наблюдается движение, описанное как "свободная регулярная прецессия". Применительно же к гироскопу его называют нутацией. При этом ось симметрии гироскопа, векторы и лежат в одной плоскости, которая вращается вокруг направления с угловой скоростью, равной где - момент инерции гироскопа относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии. Эта угловая скорость (назовем ее скоростью нутации) при быстром собственном вращении гироскопа оказывается достаточно большой, и нутация воспринимается глазом как мелкое дрожание оси симметрии гироскопа.

Нутационное движение легко продемонстрировать с помощью гироскопа, показанного на рис. 91 - оно возникает при ударах молотком по стержню вращающегося вокруг своей оси гироскопа. При этом чем сильнее раскручен гироскоп, тем больше его момент импульса - тем больше скорость нутации и тем "мельче" дрожания оси фигуры. Этот опыт демонстрирует еще одну характерную особенность нутации - с течением времени она постепенно уменьшается и исчезает. Это - следствие неизбежного трения в опоре гироскопа.

Наша Земля - своего рода гироскоп, и ей тоже свойственно нутационное движение. Это связано с тем, что Земля несколько приплюснута с полюсов, в силу чего моменты инерции относительно оси симметрии и относительно оси, лежащей в экваториальной плоскости различаются. При этом а . В системе отсчета, связанной с Землей, ось вращения движется по поверхности конуса вокруг оси симметрии Земли с угловой скоростью , то есть она совершает один оборот примерно за 300 дней. На самом деле в силу, как предполагается, неабсолютной жесткости Земли, это время оказывается больше - оно составляет около 440 суток. При этом расстояние точки земной поверхности, через которую проходит ось вращении, от точки, через которую проходит ось симметрии (Северный полюс), равно всего нескольким метрам. Нутационное движение Земли не затухает - по-видимому, его поддерживают сезонные изменения, происходящие на поверхности

Рассмотрим теперь ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления. Опыты показывают, что в этом случае гироскоп ведет себя весьма необычным образом.

Если к оси шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 92) прикрепить пружину и тянуть за нее вверх с силой , то ось гироскопа будет перемещаться не в направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется прецессией гироскопа под действием внешней силы.

ГИРОСКОП (от греч. gyreuо - кружусь, вращаюсь и skopeo - смотрю, наблюдаю) - быстровращающееся симметричное твёрдое тело, ось вращения (ось симметрии) к-рого может изменять своё направление в пространстве. Свойствами Г. обладают вращающиеся небесные тела, артиллерийские снаряды, роторы турбин, устанавливаемых на судах, винты самолётов и т. п. В совр. технике Г.- осн. элемент всевозможных гироскопич. устройств или приборов, широко применяемых для автоматич. управления движением самолётов, судов, торпед, ракет и в ряде др. систем гироскопич. стабилизации, для целей навигации (указатели курса, поворота, горизонта, стран света и др.), для измерения угловых или поступат. скоростей движущихся объектов (напр., ракет) и во мн. др. случаях (напр., при прохождении стволов штолен, строительстве метрополитенов, при бурении скважин).

Чтобы ось Г. могла свободно поворачиваться в пространстве, Г. обычно закрепляют в кольцах т. н. карданова подвеса (рис. 1), в к-ром оси внутр. и внеш. колец и ось Г. пересекаются в одной точке, наз. центром подвеса. Закреплённый в таком подвесе Г. имеет 3 степени свободы и может совершать любой поворот около центра подвеса. Если центр тяжести Г. совпадает с центром подвеса, Г. наз. уравновешенным, или астатическим. Изучение законов движения Г.- задача динамики твёрдого тела.

Рис. 1. Классический карданов подвес, а - внешнее кольцо, б - внутреннее кольцо, в - ротор.

Рис. 2. Прецессия гироскопа. Угловая скорость прецессии направлена так, что вектор собственного кинетического момента Н стремится к совмещению с вектором момента М пары, действующей на гироскоп.

Основные свойства гироскопа. Если к оси быстровращающегося свободного Г. приложить пару сил (P - F )с моментом (h - плечо силы) (рис. 2), то (против ожидания) Г. начнёт дополнительно поворачиваться не вокруг оси х , перпендикулярной к плоскости пары, а вокруг оси у , лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к собств. оси тела z. Это дополнит. движение наз. прецессией. Прецессия Г. будет происходить по отношению к инерциалъной системе отсчета (к осям, направленным на неподвижные звёзды) с угловой скоростью

Рис 13. Гироскоп направления.

В ряде приборов используется также свойство Г. равномерно прецессировать под действием постоянно приложенных сил. Так, если посредством дополнит. груза вызвать прецессию Г. с угловой скоростью, численно равной и противоположно направленной вертикальной составляющей угловой скорости вращения Земли (где U - угловая скорость Земли, - широта места), то ось такого Г. с той или иной степенью точности будет сохранять неизменное направление относительно стран света. В течение неск. часов, пока не накопится ошибка в 1-2°, такой Г., именуемый гироазимутом, или Г. направления (рис. 13), может заменить компас (напр., на самолётах, в частности в полярной авиации, где показания магн. компаса ненадёжны). Аналогичным Г., но со значительно большим смещением центра тяжести от оси прецессии, можно определять поступат. скорость объекта, движущегося в направлении оси bb 1 , с любым ускорением (рис. 14). Если отвлечься от влияния силы тяжести, то можно считать, что на Г. действует момент переносной силы инерции Q , где т - масса Г., l - плечо. Тогда, по ф-ле (1), Г. будет прецессировать вокруг оси bb 1 с угловой скоростью . После интегрирования последнего равенства получаем , где - нач. скорость объекта. T. о., оказывается возможным определить скорость объекта v в любой момент времени по углу , на к-рый Г. повернётся к этому моменту вокруг оси bb 1 . Для этого прибор должен быть снабжён счётчиком оборотов и устройством, вычитающим из полного угла поворота угол, на к-рый Г. повернётся вследствие действия на него момента силы тяжести. Таким прибором (интегратором продольных кажущихся ускорений) определяют скорости вертик. взлёта ракеты; при этом ракета должна быть стабилизирована так, чтобы она не имела вращения вокруг своей оси симметрии.

Рис. 14. Гироскопический измеритель скорости подъема ракеты. - ускорение подъёма; g - ускорение свободного падения; P - сила тяжести, Q - сила инерции, - собственный кинетический момент.

В ряде совр. конструкций применяют т. н. поплавковый, или интегрирующий, Г. Ротор такого Г. помещён в кожух - поплавок, погружённый в жидкость (рис. 15). При вращении поплавка вокруг его оси х на Г. будет действовать момент M x вязкого трения, пропорциональный угловой скорости вращения . Благодаря этому оказывается, что если Г. сообщить принудит. вращение вокруг оси у , то угловая скорость этого вращения в соответствии с равенством (1) будет пропорциональна . В результате угол поворота поплавка вокруг оси х будет, в свою очередь, пропорционален интегралу по времени от (поэтому Г. и наз. интегрирующим). Дополнит. электрич. и электромеханич. устройства позволяют или измерять этим Г. угловую скорость, или сделать его элементом стабилизирующего устройства. В первом случае спец. электромагнитами создаётся момент относительно оси х , направленный против вращения поплавка; величина этого момента регулируется так, чтобы поплавок остановился. Тогда момент M 1 как бы заменит момент M x сил вязкого трения и, следовательно, по ф-ле (1), угловая скорость будет пропорциональна величине М 1 , определяемой по силе тока, протекающего по обмоткам электромагнита. Во втором случае, при стабилизации, напр., вокруг неподвижной оси у , корпус интегрирующего Г. размещается на платформе, к-рую может вращать вокруг оси у спец. электродвигатель (рис. 16). Для объяснения принципа стабилизации предположим, что основание, на к-ром расположены подшипники платформы, само повернётся вокруг оси у на нек-рый угол . При неработающем двигателе платформа повернётся в этом случае вместе с основанием на тот же угол , а поплавок совершит поворот вокруг оси х на угол , пропорциональный углу . Если теперь двигатель будет вращать платформу в обратном направлении до тех пор, пока поплавок не вернётся в исходное положение, то одновременно в исходное положение вернётся и платформа. Можно непрерывно управлять двигателем так, чтобы угол поворота поплавка сводился к нулю, тогда платформа окажется стабилизированной. Сочетание двух поплавковых Г. в общем подвесе с аналогично управляемыми электродвигателями приводит к стабилизации фиксированного направления, а трёх - к пространств. стабилизации, используемой, в частности, в схемах инерциальной навигации.

Рис. 15. Поплавковый интегрирующий гироскоп: а - ротор гироскопа; б - поплавок, в теле к-рого расположен подшипник оси ротора; в - поддерживающая жидкость; г - корпус; д - стальные цапфы в камневых опорах; е - датчик угла поворота поплавка относительно корпуса; ж - электромагнитное устройство, прилагающее момент вокруг оси поплавка.

Рис. 16. Стабилизация вокруг неподвижной оси посредством поплавкового гироскопа а - гироскоп-поплавок; б - усилитель, в - электродвигатель; г - платформа, д - основание.

Рис. 17. Силовая гироскопическая рама: а - собственно рама; б - гироскоп; в - спарник; г - датчик угла поворота гироскопа относительно рамы; д - усилитель сигнала датчика; е - стабилизирующий двигатель; ж - датчик момента.

В рассмотренной системе стабилизации Г. играет роль чувствит. элемента, обнаруживающего отклонения объекта от заданного положения, а возвращение в это положение производится электродвигателем, получающим соответствующий сигнал. Подобные системы гироскопич. стабилизации наз. индикаторными (стабилизаторы непрямого действия). Наряду с этим в технике применяются системы т. н. силовой гироскопич. стабилизации (стабилизаторы прямого действия), в к-рых Г. непосредственно воспринимают на себя усилия, мешающие осуществлению стабилизации, а двигатели играют вспомогат. роль, разгружая частично или полностью Г. и ограничивая тем самым углы их прецессии. Конструктивно такие системы проще индикаторных. Примером может служить одноосная двухгироскопич. рама (рис. 17); роторы находящихся в раме Г. вращаются в разные стороны. Допустим, что на раму подействует сила, стремящаяся повернуть её вокруг оси х и сообщить угловую скорость . Тогда, по правилу Жуковского, на кожух 1 начнёт действовать пара, стремящаяся совместить ось ротора с осью х . В результате Г. начнёт прецессировать вокруг оси y 2 с нек-рой угловой скоростью . Кожух 2 по той же причине будет прецессировать вокруг оси y 2 в противоположную сторону. Углы поворотов кожухов будут при этом одинаковы, т. к. кожухи связаны зубчатым сцеплением. Вследствие этой прецессии на подшипники кожуха 1 подействует новая пара, стремящаяся совместить ось ротора с осью y 1 . Такая же пара будет действовать на подшипники кожуха 2 . Моменты этих пар направлены противоположно (что следует из правила Жуковского) и стабилизируют раму, т. е. удерживают её от поворота вокруг оси х . Однако если прецессии Г. не будут ограничены, то, как видно из ф-лы (3), при повороте кожухов вокруг осей y 1 , у 2 на угол 90° стабилизация прекратится. Поэтому на оси одного из кожухов имеется датчик, регистрирующий угол поворота кожуха относительно рамы и управляющий двигателем стабилизации. Возникающий у двигателя вращающий момент направлен противоположно моменту, стремящемуся повернуть раму вокруг оси х; вследствие этого прецессия Г. прекращается. Рассмотренная рама стабилизирована по отношению к поворотам вокруг оси х . Повернуть раму вокруг любой оси, перпендикулярной х , можно беспрепятственно, но возникающий при этом гироскопич. момент может вызвать значит. давления на подшипники Г. и их кожухов. Сочетание трёх таких рам с взаимно перпендикулярными осями приводит к пространств. стабилизации (напр., искусств. спутника).

В силовых гироскопич. системах, в отличие от свободных Г., из-за больших моментов инерции стабилизируемых масс возникают весьма заметные колебат. движения типа нутаций. Должны быть приняты спец. меры для того, чтобы эти колебания были затухающими, иначе в системе возникают автоколебания. В технике применяются и др. гироскопич. приборы, принципы действия к-рых основаны на свойствах Г.

Лит.: Булгаков Б. В., Прикладная теория гироскопов, 3 изд., M., 1976; Николаи E. Л., Гироскоп в кардановом подвесе, 2 изд., M., 1964; Малеев П. И., Новые типы гироскопов, Л., 1971; Магнус К., Гироскоп. Теория и применение, пер. с нем., M., 1974; Ишлинский А. Ю, Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация, M., 1976; его же, Механика относительного движения и силы инерции, M., 1981; Климов Д. M., Харламов С. А., Динамика гироскопа в кардановом подвесе, M., 1978; Журавлев В. Ф., Климов Д. M., Волновой твердотельный гироскоп, M., 1985; Новиков Л. 3., Шаталов M. Ю., Механика динамически настраиваемых гироскопов, M., 1985.

А. Ю. Ишлинский .

Рассмотрим однородное твердое тело с неподвижной точкой О, имеющее ось симметрии Oz и вращающееся вокруг этой оси с угловой скоростью Q, на много превышающей ту угловую скорость а, которую может иметь сама ось Oz при ее поворотах вместе с телом вокруг точки О; такое тело называют гироскопом.

Ось гироскопа, как ось симметрии, является одновременно его главной центральной осью инерции (см. § 104).

Простейшим примером гироскопа является детский волчок (см. ниже рис. 335). В гироскопических приборах ротор гироскопа обычно закрепляют в так называемом кардановом (кольцевом) подвесе, позволяющем ротору совершить любой поворот вокруг неподвижного центра подвеса О, совпадающего с центром тяжести ротора (рис. 332). Такой гироскоп, как и волчок, имеет три степени свободы

У гироскопов, применяемых в технике, Q больше в десятки и сотни тысяч раз что позволяет построить весьма эффективную приближенную теорию гироскопа, называемую элементарной, или прецессионной. Исходят при этом из следующего.

В каждый момент времени абсолютная угловая скорость гироскопа , а его движение, как движение тела, имеющего неподвижную точку О (см. § 60), слагается из серии элементарных поворотов с этой угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения ОР (рис. 333). Но когда угол между векторами и Q очень мал и практически можно принять, что , а ось ОР в любой момент времени совпадает с осью гироскопа. Тогда кинетический момент гироскопа относительно точки О можно тоже считать в любой момент времени направленным вдоль оси и численно равным т. е. (см. конец § 115).

В этом и состоит основное допущение элементарной теории гироскопа.

где - момент инерции гироскопа относительно его оси а саму ось и вектор Ко полагать все время направленными вдоль одной и той же прямой. Последнее позволяет находить, как изменяется со временем направление оси гироскопа, определяя, как изменяется направление вектора . Установим, исходя из элементарной теории, каковы основные свойства гироскопа.

1. Свободный трехстепенной гироскоп. Рассмотрим гироскоп с тремя степенями свободы, закрепленный так, что его центр тяжести неподвижен, а ось может совершать любой поворот вокруг этого центра (см. рис. 332); такой гироскоп называют свободным. Для него, если пренебречь трением в осях подвеса, будет т. е. модуль и направление кинетического момента гироскопа постоянны (см. § 117). Но так как направления вектора Ко и оси гироскопа все время совпадают, то, следовательно, и ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета. Это одно из важных свойств гироскопа, используемое при конструировании гироскопических приборов.

Сохраняя неизменное направление в звездной системе отсчета, ось свободного гироскопа по отношению к Земле будет совершать вращение в сторону, противоположную направлению вращения Земли. Таким образом, свободный гироскоп можно использовать для экспериментального обнаружения факта вращения Земли

2. Действие силы (пары сил) на ось трехстепенного гироскопа. Устойчивость оси гироскопа. Пусть на ось гироскопа (рис. 334) начинает действовать сила F, момент которой относительно центра О равен (или пара сил F, F с моментом, равным ). Тогда по теореме моментов (см. § 116)

где В - точка оси, совпадающая с концом вектора Отсюда, учитывая, что производная от вектора ОВ по времени равна скорости точки В, получаем

Равенство (74) выражает следующую теорему Резаля скорость конца вектора кинетического момента тела относительно центра О равняется по модулю и по направлению главному моменту внешних сил относительно того же центра. Следовательно, точка В, а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению вектора . В результате находим, что если на ось быстро вращающегося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не в сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор момента этой силы относительно неподвижной точки О гироскопа, т. е. перпендикулярно силе. Аналогичный результат имеет место и при действии на ось гироскопа пары сил.

Из равенства (74) следует, что когда действие силы прекращается, то , а следовательно, и обращается в нуль и ось гироскопа останавливается. Таким образом, гироскоп не сохраняет движения, сообщенного ему силой. Если действие силы является кратковременным (толчок), то ось гироскопа практически почти не изменяет своего направления. В этом проявляется свойство устойчивости быстро вращающегося гироскопа, имеющего три степени свободы.

3. Прецессия трехстепенного гироскопа. Допустим, что сила F (или пара сил F, F, см. рис. 334) действует на гироскоп во все рассматриваемое время его движения, оставаясь в плоскости (такой силой может, например, быть сила тяжести). Так как по установленному выше ось в сторону действия силы не отклоняется, то угол остается все время постоянным, а скорость - перпендикулярной плоскости Следовательно, ось гироскопа будет вращаться (прецессировать) вокруг оси с некоторой угловой скоростью со, называемой угловой скоростью прецессии. Найдем уравнение, определяющее . Так как ось вращается вокруг оси с угловой скоростью (см. рис. 334), то по формуле (48), из § 51 и равенство (74) дает

Это уравнение является исходным приближенным уравнением элементарной (прецессионной) теории гироскопа. Из него следует, что откуда

Чем больше , тем меньше со и тем большую точность дает элементарная теория

В качестве примера найдем угловую скорость прецессии волчка под действием силы тяжести Р (рис. 335). Введя обозначение получим, что и равенство (76) дает

Аналогичную прецессию совершает земная ось, так как вследствие отклонения формы Земли от правильной шарообразной и наклона ее оси равнодействующие сил притяжения Солнца и Луны не проходят через центр масс Земли и создают относительно этого центра некоторые моменты. Период прецессии земной оси (время одного оборота) приблизительно 26 000 лет.

4. Гироскоп с двумя степенями свободы. Гироскопический эффект. Рассмотрим гироскоп с ротором 3, закрепленным только в одном кольце 2, которое может вращаться по отношению к основанию 1 вокруг оси (рис. 336). Такой гироскоп имеет по отношению к основанию две степени свободы (поворот вокруг оси и вместе с кольцом 2 - вокруг оси ) и его свойства существенно отличаются от свойств гироскопа с тремя степенями свободы. Например, если толкнуть кольцо 2, то оно начнет свободно вращаться вместе с ротором вокруг оси в то время как трехстепенной гироскоп на такие толчки практически не реагирует (см. п. 2).

Не реагирует трехстепенной гироскоп и на вращение основания, сохраняя неизменным направление своей оси (см. п. 1). Рассмотрим, что в таком случае будет с двухстепенным гироскопом.

Допустим, что в некоторый момент времени основание 1 начинает вращаться вокруг оси (или любой другой ей параллельной) с угловой скоростью Тогда, вращаясь вместе с основанием, гироскоп начнет совершать вынужденную прецессию вокруг оси При этом, согласно уравнению (75), на ротор 3 должен действовать момент который, очевидно, могут создать только силы F, F давления подшипников А, А на ось ротора, показанные на рис. 336 пунктиром (сравни с рис. 334). Так как центр масс О ротора 3 неподвижен, то по теореме о движении центра масс должно быть и, следовательно, силы F, F образуют пару.

Но когда подшипники действуют на ось ротора с силами F, F, то по третьему закону динамики и ось будет одновременно действовать на подшипники А, А с такими же по модулю и противоположными по направлению силами N, N. Пара сил N, N называется гироскопической парой, а ее момент - моментом гироскопической пары или гироскопическим моментом Поскольку момент противоположен то

Отсюда получаем следующее правило Н. Е. Жуковского: если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужденное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреплена ось ротора гироскопа, начнет действовать гироскопическая пара с моментом Мгир, стремящаяся кратчайшим путем установить ось ротора параллельно оси прецессии так, чтобы направления векторов Q и о совпали.

Под действием гироскопической пары кольцо 2 начнет вращаться вместе с ротором вокруг оси при этом угол а с ним момент будут убывать, и когда станет вращение кольца прекратится

Если кольцо 2 скрепить с основанием 1 жестко, т. е. так, чтобы оно не могло вращаться вокруг оси Ох, то у гироскопа останется одна степень свободы (поворот вокруг оси ). Но и в этом случае, если вращать основание вокруг оси будет иметь место гироскопический эффект и ось начнет давить на подшипники с силами N, N, значения которых, зная расстояние АА, можно определить по формуле (77), если все величины, входящие в ее правую часть, будут тоже известны.

5. Некоторые технические приложения гироскопа. Гироскопы используются как основной элемент в очень большом числе гироскопических приборов и устройств, имеющих самое разнообразное применение.

Трехстепенные гироскопы используют в целом ряде навигационных приборов (гирокомпас, гирогоризонт, курсовой гироскоп и др.), а также в устройствах для автоматического управления движением (стабилизации) таких объектов, как самолет (автопилоты), ракеты, морские суда и др.

Рассмотрим в качестве примера простейшее устройство, где трехстепенной гироскоп используется как стабилизатор (прибор Обри, стабилизирующий движение мины в горизонтальной плоскости). Прибор содержит свободный гироскоп (см. рис. 332), ось которого в момент выстрела совпадает с осью торпеды, направленной на цель. Если торпеда в некоторый момент времени отклонится от заданного направления на угол а (рис. 337), то ось гироскопа, сохраняя свое направление на цель неизменным (по свойству свободного гироскопа), окажется повернутой по отношению к корпусу торпеды на такой же угол.

Этот поворот с помощью специального устройства приводит в действие рулевую машину. В результате происходит поворот руля в соответствующую сторону, и торпеда выравнивается.

Прибор дает пример широко используемой индикаторной системы стабилизации (стабилизатор непрямого действия), где гироскоп играет роль чувствительного элемента, регистрирующего отклонение объекта от заданного положения и передающего соответствующий сигнал двигателю, который и осуществляет стабилизацию, возвращая объект в исходное положение (например, с помощью рулей).

Рассмотрим примеры использования двухстепенного гироскопа. Допустим, что ротор этого гироскопа (рис. 338) помещен в кожух 2, связанный с основанием 1 жесткой пружиной, удерживающей ротор в положении, для которого угол и сохраняющей в дальнейшем этот угол малым. При вращении основания начнется под действием гироскопической пары поворот ротора, что вызовет увеличение угла и деформацию пружины. В результате начнет действовать момент ЛР силы упругости пружины. При некотором этот момент и момент гироскопической пары уравновесятся, т. е. будет вследствие чего на подшипники D и то на подшипники А и В будут действовать силы направленные как показано на рисунке , Если при этом , а момент инерции ротора , то по формуле (77)

Величины этих сил могут достигать десятков килоиьютонов и должны учитываться при расчете подшипников. Через подшипники гироскопические давления передаются корпусу судна и у очень легкого судна могли бы вызвать при повороте опускание киля или носа. Подобный эффект может наблюдаться и у винтовых самолетов при виражах (поворотах в горизонтальной плоскости).

Рассмотрим ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления О.

Прецессия гироскопа - такой тип движения, когда в результате постоянного действия момента внешней силы ось свободного гироскопа вращается вокруг направления данной внешней силы.

Известно, что прецессия обеспечивает устойчивость движения. Пример прецессии - движение оси детской игрушки - юлы с заостренным

Рис. 6.5.

концом (рис. 6.5), т.е. гироскопа, имеющего одну точку опоры. Юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием момента пары сил тяжести и нормальной реакции опоры: М = / х mg , где / = ОС. Конец оси гироскопа будет двигаться в направлении вектора м , который лежит в горизонтальной плоскости и направлен перпендикулярно оси юлы.

Скорость, с которой ось вращения гироскопа движется относительно вертикальной оси, называется угловой скоростью прецессии Q.

Можно доказать, что для вращающегося волчка угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона волчка 0; она обратно пропорциональна моменту импульса волчка:

Чем быстрее вращается волчок, тем больше момент импульса и тем медленнее он прецессирует. Причем мгновенное исчезновение момента силы, например тяжести, приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, т.е. прецессионное движение является безынерционным.

Если рассматривать качение наклонного диска, то на него будет действовать опрокидывающий момент сил тяжести и реакции опоры. Легкий диск упадет значительно быстрее, чем массивный, из-за малого значения момента импульса (скорость прецессии больше).

Рис. 6.6.

Рассмотрим случай, когда прецессия гироскопа, который движется под действием силы тяжести, сопровождается нутациями - колебаниями оси собственного вращения гироскопа вокруг вектора полного момента импульса. На рис. 6.6 показано, как в результате наложения нутаций на прецессионное движение вершина гироскопа описывает сложную траекторию с переменным углом нутации 0. Ось конуса нутации совпадает по направлению с вектором L и движется вместе с ним. Вершина конуса нутации, как и вершина конуса прецессии, находится в неподвижной точке О - точке закрепления гироскопа.

Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутации и тем меньше ее амплитуда и период. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза. Отметим, что из- за трения нутационные колебания быстро затухают и затем гироскоп совершает только прецессионное движение, когда угол 0 между векторами L ий остается постоянным. Если во время движения гироскопа нутация отсутствует и величины угловой скорости прецессии Q и угловой скорости вращения вокруг собственной оси ш постоянны, то такое движение называется регулярной прецессией (равномерной).

Впервые доказательства вращения Земли вокруг своей оси с запада на восток были получены французским физиком Ж.-Б.-Л. Фуко с помощью маятника Фуко (1851) и в экспериментах с гироскопом на кардано- вом подвесе (1852). Первый в Беларуси маятник Фуко был установлен в Белорусском государственном педагогическом университете им. Максима Танка (сентябрь 2004 г., Минск).

Свойствами гироскопов обладают вращающиеся небесные тела, винты самолетов и т.д. Области практического применения гироскопов динамично расширяются. Например, гироскопические устройства и приборы применяются в медицине, в ракетной и космической технике, для целей навигации (указатели стран света, горизонта и др.), при проведении топографических и геодезических работ, строительстве метрополитенов.

Лекция 11. Гироскопы.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Гироскопы. Свободный гироскоп.

2. Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Угловая скорость прецессии. Нутации.

3. Гироскопические силы, их природа и проявление.

4. Волчки. Устойчивость вращения симметричного волчка.

Изучение данных вопросов необходимо в дисциплине «Детали машин».

Гироскопы. Свободный гироскоп.

Рис.1

При этом

и момент импульса сохраняется:

L = const (2)

, (3)

и направление оси симметрии гироскопа остается неизменным. В этом можно убедиться, поворачивая подставку, на которой расположен карданов подвес - при произвольных поворотах подставки ось гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве. По этой же причине волчок, "запущенный" на листе картона и подброшенный вверх (рис.2), сохраняет направление своей оси во время полета, и, падая острием на картон, продолжает устойчиво вращаться, пока не израсходуется запас его кинетической энергии.

Рис.2

Возьмем гироскоп конусообразной формы, опирающийся на стержень подставки в своем центре масс О (рис. 3). Если тело гироскопа не вращается, то оно находится в состоянии безразличного равновесия, и малейший толчок сдвигает его с места. Если же это тело привести в быстрое вращение вокруг своей оси, то даже сильные удары деревянным молотком не смогут сколько-нибудь значительно изменить направление оси гироскопа в пространстве. Устойчивость свободного гироскопа используется в различных технических устройствах, например, в автопилоте.

Рис.3

2. Если свободный гироскоп раскручен так, что вектор мгновенной угловой скорости и ось симметрии гироскопа не совпадают (как правило, это несовпадение при быстром вращении бывает незначительным), то наблюдается движение, описанное как "свободная регулярная прецессия". Применительно же к гироскопу его называют нутацией. При этом ось симметрии гироскопа, векторы L и лежат в одной плоскости, которая вращается вокруг направления L = const с угловой скоростью, равной где - момент инерции гироскопа относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии. Эта угловая скорость (назовем ее скоростью нутации) при быстром собственном вращении гироскопа оказывается достаточно большой, и нутация воспринимается глазом как мелкое дрожание оси симметрии гироскопа.

Нутационное движение легко продемонстрировать с помощью гироскопа, показанного на рис. 3 - оно возникает при ударах молотком по стержню вращающегося вокруг своей оси гироскопа. При этом чем сильнее раскручен гироскоп, тем больше его момент импульса L - тем больше скорость нутации и тем "мельче" дрожания оси фигуры. Этот опыт демонстрирует еще одну характерную особенность нутации - с течением времени она постепенно уменьшается и исчезает. Это - следствие неизбежного трения в опоре гироскопа.

Наша Земля - своего рода гироскоп, и ей тоже свойственно нутационное движение. Это связано с тем, что Земля несколько приплюснута с полюсов, в силу чего моменты инерции относительно оси симметрии и относительно оси, лежащей в экваториальной плоскости различаются. При этом , а . В системе отсчета, связанной с Землей, ось вращения движется по поверхности конуса вокруг оси симметрии Земли с угловой скоростью w 0 , то есть она совершает один оборот примерно за 300 дней. На самом деле в силу, как предполагается, неабсолютной жесткости Земли, это время оказывается больше - оно составляет около 440 суток. При этом расстояние точки земной поверхности, через которую проходит ось вращении, от точки, через которую проходит ось симметрии (Северный полюс), равно всего нескольким метрам. Нутационное движение Земли не затухает - по-видимому, его поддерживают сезонные изменения, происходящие на поверхности

Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Элементарная теория.

Если к оси шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 4) прикрепить пружину и тянуть за нее вверх с силой F , то ось гироскопа будет перемещаться не в направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется прецессией гироскопа под действием внешней силы.

Рис.4

Опытным путем можно установить, что угловая скорость прецессии зависит не только от величины силы F (рис.4), но и от того, к какой точке оси гироскопа эта сила приложена: с увеличением F и ее плеча l относительно точки закрепления О скорость прецессии увеличивается. При этом оказывается, что чем сильнее раскручен гироскоп, тем меньше угловая скорость прецессии при данных F и l .

В качестве силы F , вызывающей прецессию, может выступать сила тяжести, если точка закрепления гироскопа не совпадает с центром масс. Так, если стержень с быстро вращающимся диском подвесить на нитке (рис. 5), то он не опускается вниз, как это можно было бы предположить, а совершает прецессионное движение вокруг нитки. Наблюдение прецессии гироскопа под действием силы тяжести в некотором смысле даже удобнее - линия действия силы "автоматически" смещается вместе с осью гироскопа, сохраняя свою ориентацию в пространстве.

Рис.5

Можно привести и другие примеры прецессии - например, движение оси хорошо известной детской игрушки - юлы с заостренным концом (рис.6). Юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести (рис.6).

Рис.6

Точное решение задачи о движении гироскопа в поле внешних сил довольно выражение для угловой скорости прецессии можно легко получить в рамках так называемой элементарной теории гироскопа. В этой теории делается допущение, что мгновенная угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа. Другими словами, предполагается, что угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси значительно больше угловой скорости прецессии:

так что вкладом в L , обусловленным прецессионным движением гироскопа, можно пренебречь. В этом приближении момент импульса гироскопа, очевидно, равен

где - момент инерции относительно оси симметрии.

Итак, рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 7).

Рис.7

Момент силы тяжести относительно точки S

где θ - угол между вертикалью и осью симметрии гироскопа. Вектор M направлен по нормали к плоскости, в которой лежат ось симметрии гироскопа и вертикаль, проведенная через точку S (рис. 7). Сила реакции опоры проходит через S, и ее момент относительно этой точки равен нулю.

Изменение момента импульса L определяется выражением

dL = Mdt (8)

При этом и L , и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью . Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие (5) и что L постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа. Из рис.95 следует, что

В векторном виде

(10)

Сравнивая (8) и (10), получаем следующую связь между моментом силы M , моментом импульса L и угловой скоростью прецессии :

(11)

Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси.

Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное "выключение" M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.

Сила, вызывающая прецессионное движение, может иметь любую природу. Для поддержания этого движения важно, чтобы вектор момента силы M поворачивался вместе с осью гироскопа. Как уже было отмечено, в случае силы тяжести это достигается автоматически. При этом из (11) (см. также рис. 7) можно получить:

(12)

Если учесть, что в нашем приближении справедливо соотношение (6), то для угловой скорости прецессии получим

Следует отметить, что не зависит от угла наклона оси гироскопа и обратно пропорциональна w, что хорошо согласуется с опытными данными.

Прецессия гироскопа пол действием внешних сил. Отход от элементарной теории. Нутации.

Опыт показывает, что прецессионное движение гироскопа под действием внешних сил в общем случае сложнее, чем то, которое было описано выше в рамках элементарной теории. Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий угол (см. рис.7), то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят: регулярной), а будет сопровождаться мелкими вращениями и дрожаниями вершины гироскопа - нутациями. Для их описания необходимо учесть несовпадение вектора полного момента импульса L , мгновенной угловой скорости вращения w и оси симметрии гироскопа.

Точная теория гироскопа выходит за рамки курса общей физики. Из соотношения dL = Mdt следует, что конец вектора L движется в направлении M , то есть перпендикулярно к вертикали и к оси гироскопа. Это значит, что проекции вектора L на вертикаль L B и на ось гироскопа L 0 остаются постоянными. Еще одной постоянной является энергия

(14)

где T - кинетическая энергия гироскопа. Выражая L B , L 0 и T через углы Эйлера и их производные, можно, с помощью уравнений Эйлера, описать движение тела аналитически.

Результат такого описания оказывается следующим: вектор момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и при этом ось симметрии гироскопа движется вокруг вектора L по поверхности конуса нутаций. Вершина конуса нутаций, как и вершина конуса прецессии, находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутаций совпадает по направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутаций определяется выражением

где и - моменты инерции тела гироскопа относительно оси симметрии и относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси симметрии, - угловая скорость вращения вокруг оси симметрии.

Таким образом, ось гироскопа участвует в двух движениях: нутационном и прецессионном. Траектории абсолютного движения вершины гироскопа представляют собой замысловатые линии, примеры которых представлены на рис. 8.

Рис.8

Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае рис. 8,а гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае рис. 8,б ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае рис. 8,в - толчок назад по ходу прецессии. Кривые на рис. 8 вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону. И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза.

Может показаться странным: почему гироскоп, будучи раскручен, установлен под углом к вертикали и отпущен, не падает под действием силы тяжести, а движется вбок? Откуда берется кинетическая энергия прецессионного движения?

Ответы на эти вопросы можно получить только в рамках точной теории гироскопам. На самом деле гироскоп действительно начинает падать, а прецессионное движение появляется как следствие закона сохранения момента импульса. В самом деле, отклонение оси гироскопа вниз приводит к уменьшению проекции момента импульса на вертикальное направление. Это уменьшение должно быть скомпенсировано моментом импульса, связанным с прецессионным движением оси гироскопа. С энергетической точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопам.

Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после "запуска" гироскопа нутации исчезают и остается чистая прецессия (рис. 9). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали оказывается больше, чем он был вначале , то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецессировать вокруг вертикальной оси.

Рис.9

Гироскопические силы.

Обратимся к простому опыту: возьмем в руки вал АВ с насаженным на него колесом С (рис. 10). Пока колесо не раскручено, не представляет никакого труда поворачивать вал в пространстве произвольным образом. Но если колесо раскручено, то попытки повернуть вал, например, в горизонтальной плоскости с небольшой угловой скоростью приводят к интересному эффекту: вал стремится вырваться из рук и повернуться в вертикальной плоскости; он действует на кисти рук с определенными силами R A и R B (рис. 10). Требуется приложить ощутимое физическое усилие, чтобы удержать вал с вращающимся колесом в горизонтальной плоскости.

Рис. 10

Рассмотрим эффекты, возникающие при вынужденном вращении оси гироскопа, более подробно. Пусть ось гироскопа будет укреплена в U-образной раме, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси OO" (рис. 11). Такой гироскоп обычно называют несвободным - его ось лежит в горизонтальной плоскости и выйти из нее не может.

Рис. 11

Раскрутим гироскоп вокруг его вокруг его оси симметрии до большой угловой скорости (момент импульса L ) и станем поворачивать раму с укрепленным в ней гироскопом вокруг вертикальной оси OO" с некоторой угловой скоростью как показано на рис. 11. Момент импульса L , получит при этом приращение dL которое должно быть обеспечено моментом сил M , приложенным к оси гироскопа. Момент M , в свою очередь, создан парой сил возникающих при вынужденном повороте оси гироскопа и действующих на ось со стороны рамы. По третьему закону Ньютона ось действует на раму с силами (рис. 11). Эти силы называются гироскопическими; они создают гироскопический момент . Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом. Именно эти гироскопические силы мы и чувствуем, пытаясь повернуть ось вращающегося колеса (рис.10).

Гироскопический момент нетрудно рассчитать. Положим, согласно элементарной теории, что

(16)

где J - момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, а ω - угловая скорость собственного вращения. Тогда момент внешних сил, действующих на ось, будет равен

(17)

где ω - угловая скорость вынужденного поворота (иногда говорят: вынужденной прецессии). Со стороны оси на подшипники действует противоположный момент

(18)

Таким образом, вал гироскопа, изображенного на рис. 11, будет прижиматься кверху в подшипнике В и оказывать давление на нижнюю часть подшипника А.

Направление гироскопических сил можно легко найти с помощью правила, сформулированного Н.Е. Жуковским: гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота. Это правило можно наглядно продемонстрировать с помощью устройства, представленного на рис. 12.

Рис. 12

Ось гироскопа закреплена в кольце, которое может свободно поворачиваться в обойме. Приведем обойму во вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (вынужденный поворот), и кольцо с гироскопом будет поворачиваться в обойме до тех пор, пока направления L и не совпадут. Такой эффект лежит в основе известного магнитомеханического явления - намагничивания железного стержня при его вращении вокруг собственной оси - при этом спины электронов выстраиваются вдоль оси стержня (опыт Барнетта ).

Гироскопические усилия испытывают подшипники осей быстро вращающихся частей машины при повороте самой машины (турбины на корабле, винта на самолете и т.д.). При значительных величинах угловой скорости вынужденной прецессии и собственного вращения а также больших размерах маховика эти силы могут даже разрушить подшипники. Рассмотрим некоторые примеры проявления гироскопических сил.

Пример 1. Легкий одномоторный самолет с правым винтом совершает левый вираж (рис. 13). Гироскопический момент передается через подшипники А и В на корпус самолета и действует на него, стремясь совместить ось собственного вращения винта (вектор ) с осью вынужденной прецессии (вектор ). Самолет начинает задирать нос кверху, и летчик должен "дать ручку от себя", то есть опустить вниз руль высоты. Таким образом, момент гироскопических сил будет компенсирован моментом аэродинамических сил.

Рис. 13

Пример 2. При килевой качке корабля (с носа на корму и обратно) ротор быстроходной турбины участвует в двух движениях: во вращении вокруг своей оси с угловой скоростью и в повороте вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной валу турбины, с угловой скоростью (рис. 14). При этом вал турбины будет давить на подшипники с силами лежащими в горизонтальной плоскости. При качке эти силы, как и гироскопический момент, периодически меняют свое направление на противоположное и могут вызвать "рыскание" корабля, если он не слишком велик (например, буксира).

Рис. 14

Допустим, что масса турбины m =3000 кг ее радиус инерции R ин = 0,5 м, скорость вращения турбины n =3000 об/мин, максимальная угловая скорость корпуса судна при килевой качке =5 град/с, расстояние между подшипниками l =2 м. Максимальное значение гироскопической силы, действующей на каждый из подшипников, составляет

После подстановки числовых данных получим то есть около 1 тонны.

Пример 3. Гироскопические силы могут вызвать так называемые колебания "шимми" колес автомобиля (рис. 15) [В.А. Павлов, 1985]. Колесу, вращающемуся вокруг оси AA" с угловой скоростью w в момент наезда на препятствие сообщается дополнительная скорость вынужденного поворота вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. При этом возникает момент гироскопических сил, и колесо начнет поворачиваться вокруг оси BB". Приобретая угловую скорость поворота вокруг оси BB", колесо снова начнет поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, деформируя упругие элементы подвески и вызывая силы, стремящиеся вернуть колесо в прежнее вертикальное положение. Далее ситуация повторяется. Если в конструкции автомобиля не принять специальных мер, возникшие колебания "шимми" могут привести к срыву покрышки с обода колеса и к поломке деталей его крепления.

Рис. 15

Пример 4. С гироскопическим эффектом мы сталкиваемся и при езде на велосипеде (рис. 16). Совершая, например, поворот направо, велосипедист инстинктивно смещает центр тяжести своего тела вправо, как бы заваливая велосипед. Возникшее принудительное вращение велосипеда с угловой скоростью приводит к появлению гироскопических сил с моментом . На заднем колесе этот момент будет погашен в подшипниках, жестко связанных с рамой. Переднее же колесо, имеющее по отношению к раме свободу вращения в рулевой колонке, под действием гироскопического момента начнет поворачиваться как раз в том направлении, которое было необходимо для правого поворота велосипеда. Опытные велосипедисты совершают подобные повороты, что называется, "без рук".

Рис. 16

Вопрос о возникновении гироскопических сил можно рассматривать и с другой точки зрения. Можно считать, что гироскоп, изображенный на рис. 11, участвует в двух одновременных движениях: относительном вращении вокруг собственной оси с угловой скоростью w и переносном, вынужденном повороте вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . Таким образом, элементарные массы , на которые можно разбить диск гироскопа (маленькие кружки на рис. 17), должны испытывать кориолисовы ускорения

(20)

Эти ускорения будут максимальны для масс, находящихся в данный момент времени на вертикальном диаметре диска, и равны нулю для масс, которые находятся на горизонтальном диаметре (рис. 17).

Рис. 17

В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью (в этой системе отсчета ось гироскопа неподвижна), на массы будут действовать кориолисовы силы инерции

(21)

Эти силы создают момент который стремится повернуть ось гироскопа таким образом, чтобы вектор совместился с . Момент должен быть уравновешен моментом сил реакции действующих на ось гироскопа со стороны подшипников. По третьему закону Ньютона, ось будет действовать на подшипники, а через них и на раму, в которой эта ось закреплена, с гироскопическими силами . Поэтому и говорят, что гироскопические силы обусловлены силами Кориолиса.

Возникновение кориолисовых сил можно легко продемонстрировать, если вместо жесткого диска (рис. 17) взять гибкий резиновый лепесток (рис. 18). При повороте вала с раскрученным лепестком вокруг вертикальной оси лепесток изгибается при прохождении через вертикальное положение так, как изображено на рис. 18.

Рис. 18

Волчки.

Волчки кардинально отличаются от гироскопов тем, что в общем случае они не имеют ни одной неподвижной точки. Произвольное движение волчков имеет весьма сложный характер: будучи раскручены вокруг оси симметрии и поставлены на плоскость, они прецессируют , "бегают" по плоскости, выписывая замысловатые фигуры, а иногда даже переворачиваются с одного конца на другой. Не вдаваясь в детали такого необычного поведения волчков, отметим лишь, что немаловажную роль здесь играет сила трения, возникающая в точке соприкосновения волчка и плоскости.

Кратко остановимся на вопросе об устойчивости вращения симметричного волчка произвольной формы. Опыт показывает, что если симметричный волчок привести во вращение вокруг оси симметрии и установить на плоскость в вертикальном положении, то это вращение в зависимости от формы волчка и угловой скорости вращения будет либо устойчивым, либо неустойчивым.

Пусть имеется симметричный волчок, изображенный на рис. 19. Введем следующие обозначения: О - центр масс волчка, h - расстояние от центра масс до точки опоры; K - центр кривизны волчка в точке опоры, r - радиус кривизны; - момент инерции относительно оси симметрии, - момент инерции относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии.

А Рис. 21

Следует обратить внимание, что в процессе переворачивания волчка результирующий момент импульса сохраняет свое первоначальное направление, то есть вектор L , все время направлен вертикально вверх. Это означает, что в ситуации, изображенной на рис. 21,б , когда ось волчка горизонтальна, вращение вокруг оси симметрии волчка отсутствует! Далее, при опрокидывании на ножку, вращение вокруг оси симметрии будет противоположно исходному (если смотреть все время со стороны ножки, рис. 21,в ).

В случае яйцеобразного волчка поверхность тела в окрестности точки опоры не является сферой, но существуют два взаимно перпендикулярных направления, для которых радиус кривизны в точке опоры принимает экстремальные (минимальное и максимальное) значения. Опыты показывают, что в случае, изображенном на рис. 21,а , вращение будет неустойчивым, и волчок принимает вертикальное положение, раскручиваясь вокруг оси симметрии и продолжая устойчивое вращение на более остром конце. Это вращение будет продолжаться до тех пор, пока силы трения не погасят в достаточной мере кинетическую энергию волчка, угловая скорость уменьшится (станет меньше ω 0 ), и волчок упадет.

Рис. 22

Вопросы для самопроверки

Какое твердое тело называют гироскопом?

Чему равен и как направлен кинетический момент быстровращающегося гироскопа относительно его неподвижной точки?

Какими физическими свойствами обладает быстровращающийся гироскоп с тремя степенями свободы?

Какой эффект производит действие одной и той же силы, приложенной к оси неподвижного и быстровращающегося гироскопа с тремя степенями свободы?

Выведите формулу для вычисления угловой скорости прецессии оси гироскопа.

В чем состоит разница в свойствах гироскопов с двумя и тремя степенями свободы?

Какова физическая сущность гироскопического эффекта и при каких условиях он наблюдается?

По каким формулам определяются динамические реакции подшипников, в которых вращается рама вращающегося гироскопа с двумя степенями свободы?

Литература

1. А.Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.

2. С.П. Стрелков. Механика. М.: Наука, 1975.

3. С.Э. Хайкин. Физические основы механики. М.: Наука, 1971.

4. Д.В. Сивухин . Общий курс физики. Т.1. Механика. М.: Наука, 1989.

5. Р.В. Поль. Механика, акустика и учение о теплоте. М.: Наука, 1971.

6. Р. Фейнман и др. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1977. Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов

Печать

Также интересно:

Критерии оценивания всего огэ

Черная магия и сильные заговоры порчи в ней

Подготовка к экзамену: как выучить биологию самостоятельно дома с нуля

Рекомендуем почитать:

2024-03-05 03:41:34

Постижение тайны Владимир Ажажа бесплатно в Pdf

2024-03-04 03:46:06

Абсолютная свобода - полная вседозволенность

2024-03-01 04:02:11

Толстой Л. Н. — Филипок. Филипок Филипок сказка

В продолжение темы:

Ленточный фундамент

Простые рецепты с рыбной консервой – что приготовить из доступной банки с рыбой

Спагетти с соусом из рыбной консервы — этот недорогой рецепт мы увидели на пачке купленных нами спагетти. Рецепт показался нам очень простым, ну и мы решили попробовать...

Новые статьи