Ряд фурье решение. Разложение в ряд фурье непериодической функции

Функция , определённая при всех значениях x называется периодической , если существует такое число T (T≠ 0) , что при любом значении x выполняется равенство f(x + T) = f(x) . Число T в этом случае является периодом функции.

Свойства периодических функций :

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) имеет период Т ,то функция f(ax) имеет период

В самом деле, для любого аргумента х :

(умножение аргумента на число означает сжатие или растяжение графика этой функции вдоль оси ОХ )

Например, функция имеет период , периодом функции является

3) Если f(x) периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины Т (при этом предполагается, что эти интегралы существуют).

Ряд Фурье для функции с периодом T= .

Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

Где , , , , , … , , , … - действительные числа, называемые коэффициентами ряда.

Каждое слагаемое тригонометрического ряда является периодической функцией периода (т.к. - имеет любой

период, а период () равен , а значит, и ). Каждое слагаемое (), при n= 1,2,3… является аналитическим выражением простого гармонического колебания , где A - амплитуда,

Начальная фаза. Учитывая сказанное, получаем: если тригонометрический ряд сходится на отрезке длины периода , то он сходится на всей числовой оси и его сумма является периодической функцией периода .

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке (следовательно, и на любом отрезке) и его сумма равна . Для определения коэффициентов этого ряда воспользуемся следующими равенствами:

А так же воспользуемся следующими свойствами.

1) Как известно, сумма равномерно сходящегося на некотором отрезке ряда, составленного из непрерывных функций, сама является непрерывной функцией на этом отрезке. Учитывая это, получим, что сумма равномерно сходящегося на отрезке тригонометрического ряда - непрерывная функция на всей числовой оси.

2) Равномерная сходимость ряда на отрезке не нарушится, если все члены ряда умножить на функцию , непрерывную на этом отрезке.

В частности, равномерная сходимость на отрезке данного тригонометрического ряда не нарушится, если все члены ряда умножить на или на .

По условию

В результате почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда (4.2) и учитывая вышеприведенные равенства (4.1) (ортогональность тригонометрических функций), получим:

Следовательно, коэффициент

Умножая равенство (4.2) на , интегрируя это равенство в пределах от до и, учитывая вышеприведенные выражения (4.1), получим:

Следовательно, коэффициент

Аналогично, умножая равенство (4.2) на и интегрируя его в пределах от до , с учетом равенств (4.1) имеем:

Следовательно, коэффициент

Таким образом, получены следующие выражения для коэффициентов ряда Фурье:

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье. Напомним, что точку x o разрыва функции f(x) называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева функции f(x) в окрестности точки.

Предел справа,

Предел слева.

Теорема (Дирихле). Если функция f(x) имеет период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и, кроме того, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях x . Причём в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x) , а в точках разрыва функции f(x) его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. Кроме того, ряд Фурье для функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции f(x) .

Пример : разложить в ряд Фурье функцию

Удовлетворяющую условию .

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому можно записать:

В соответствии с формулами (4.3) , можно получить следующие значения коэффициентов ряда Фурье:

При вычислении коэффициентов ряда Фурье использовалась формула «интегрирования по частям».

И, следовательно,

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T = .

Используем следующее свойство интеграла по симметричному относительно x=0 промежутку:

Если f(x) - нечётная функция,

если f(x) - чётная функция.

Заметим, что произведение двух чётных или двух нечётных функций - чётная функция, а произведение чётной функции на нечётную функцию - нечётная функция. Пусть теперь f(x) - чётная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда, используя вышеуказанное свойство интегралов, получим:

Таким образом, ряд Фурье для чётной функции содержит только чётные функции - косинусы и записывается так:

а коэффициенты bn = 0.

Рассуждая аналогично, получаем, что если f(x) - нечётная периодическая функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то, следовательно, ряд Фурье для функции нечётной содержит только нечётные функции - синусы и записывается следующим образом:

при этом an =0 при n= 0, 1,…

Пример: разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Так как заданная нечетная функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то

или, что то же,

И ряд Фурье для данной функции f(x) можнозаписать так:

Ряды Фурье для функций любого периода T=2l .

Пусть f(x) - периодическая функция любого периода T=2l (l- полупериод), кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [-l, l ]. Полагая x=at, получим функцию f(at) аргумента t, период которой равен . Подберём а так, чтобы период функции f(at) был равен , т.е. T = 2l

Решение. Функция f(x) - нечётная, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому на основании формул (4.12) и (4.13) имеем:

(при вычислении интеграла использовали формулу «интегрирования по частям»).

Разложить в тригонометрический ряд Фурье можно непериодическую функцию определенную от минус Пи до Пи -

Разложение кусковой функции в ряд Фурье находят по формуле

где коэффициенты Фурье вычисляют интегрированием

Таким образом, чтобы разложить функцию в ряд Фурье на практике необходимо всего лишь найти коэффициенты Фурье, а для этого нужно хорошо уметь интегрировать. На деле это занимает много времени и сил и многим бывает не под силу. В этом Вы сейчас наглядно убедитесь.

Пример: 6.9 Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Заданная функция непереодическая. Для вычисления коэффициентов Фурье используем формулы



Сложность заключается в том, что для конечной формулы разложения ряда коэффициенты Фурье с четными и нечетными индексами надо свести в один.
Это требует определенных умений, однако реализовать это может научиться каждый. Кроме того, Вы должны безупречно знать что sin(0)=sin(Pi)=0, cos(0)=1, cos(Pi)=-1.
После всех манипуляций разложение функции в ряд Фурье должно принять вид

Если в результате вычислений Вы получили что-то отменное от этого, значит Вы где-то допустили ошибку.

Пример: 6.12 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

Вычисления: Интегрированием функции с тригонометрическими множителями и без них находим коэффициенты Фурье




Составляем формулы коэффициентов Фурье и записываем разложение функции в тригонометрический ряд

Пример: 6.18 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Находим коэффициенты Фурье интегрированием





Интегралы по силам каждому, для вычисления меж необходимы лишь знания значений синуса и косинуса в -Pi 0, Pi. Подставляем полученные коэффициенты в ряд Фурье и получаем следующее разложение функции

Пример: 6.20 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Интегрированием находим коэффициенты Фурье a 0 , a k , b k




Далее для коэффициентов составляем общие формулы и подставляем в формулу разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

a 0 /2 + a 1 cosx + b 1 sinx + a 2 cos2x + b 2 sin2x + ... + a n cosnx + b n sinnx + ...

где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n , b n , ... - коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом "сигма":

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда , в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

1/2, cosx , sinx , cos2x , sin2x , ..., cosnx , sinnx , ... .

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

,

,

.

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π , π ] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F (x ) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f (x ) , если на отрезке [-π , π ] имеет место F (x ) = f (x )

Если на отрезке [-π , π ] ряд Фурье сходится к функции f (x ) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f (x ) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f (x ) и её производная f " (x ) - непрерывные на отрезке [-π , π ] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f (x ) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , в которой f (x ) непрерывна, сумма ряда равна f (x ) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f (x ) справа и слева:

,

где и .

На концах отрезка [-π , π ] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

.

В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , сумма ряда Фурье равна F (x ) , если x - точка непрерывности F (x ) , и равна среднему арифметическому пределов F (x ) слева и справа:

,

если x - точка разрыва F (x ) , где F (x ) - периодическое продолжение f (x ) .

Пример 1. Периодическая функция f (x ) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f (x ) = |x | . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f (x ) определена на отрезке [-π , π ] и является чётной, т. е. f (- x ) = f (x ) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:

,

.

Пусть теперь функция f (x ) , определённая на отрезке [-π , π ] , нечётная, т.е. f (x ) = - f (- x ) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой

.

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f (x ) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы .

Пример 3.

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл :

.

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы :

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхеева РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Новосибирск 211

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах: Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, с. ISBN В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детально разобран пример применения метода Фурье к решению задачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения. Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ. Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ. Рецензент д-р физ.-мат. наук. В. А. Александров Пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на гг. ISBN c Новосибирский государственный университет, 211 c Бельхеева Р. К., 211

3 1. Разложение 2π-периодической функции в ряд Фурье Определение. Рядом Фурье функции f(x) называется функциональный ряд a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) где коэффициенты a n, b n вычисляются по формулам: a n = 1 π b n = 1 π f(x) cosnxdx, n =, 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формулы (2) (3) называют формулами Эйлера Фурье. Тот факт, что функции f(x) соответствует ряд Фурье (1) записывают в виде формулы f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f(x). Другими словами, формула (4) означает только то, что коэффициенты a n, b n найдены по формулам (2), (3). 3

4 Определение. 2π-периодическая функция f(x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [, π] найдется конечное число точек = x < x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Рис. 1. График функции f(x) Вычислим коэффициенты Фурье a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, при n нечетном, при n четном, f(x) sin nxdx =, потому что функция f(x) четная. Запишем формальный ряд Фурье для функции f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Выясним является ли функция f(x) кусочно-гладкой. Так как она непрерывна, вычислим только пределы (6) в конечных точках промежутка x = ±π и в точке излома x = : и f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1, f(h) f() h () lim = lim = 1. h + h h + h Пределы существуют и конечны, следовательно, функция кусочно-гладкая. По теореме о поточечной сходимости ее ряд Фурье сходится к числу f(x) в каждой точке, т. е. f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) На рис. 2, 3 показан характер приближения частичных сумм ряда Фурье S n (x), где S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1 к функции f(x) в промежутке [, π]. 6

7 Рис. 2. График функции f(x) с наложенными на него графиками частичных сумм S (x) = a 2 и S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Рис. 3. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Подставив в (7) x = получим: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, откуда мы находим сумму числового ряда: = π2 8. Зная сумму этого ряда, легко найти следующую сумму Имеем: S = () S = ()= π S, следовательно S = π2 6, то есть 1 n = π Сумму этого знаменитого ряда впервые нашел Леонард Эйлер. Она часто встречается в математическом анализе и его приложениях. ПРИМЕР 2. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции заданной формулой f(x) = x для x < π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Рис. 4. График функции f(x) Функция f(x) непрерывно-дифференцируема на промежутке (, π). В точках x = ±π, она имеет конечные пределы (5): f() =, f(π) = π. Кроме того существуют конечные пределы (6): f(+ h) f(+) lim = 1 и h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Значит, f(x) кусочно-гладкая функция. Так как функция f(x) нечетна, то a n =. Коэффициенты b n находим интегрированием по частям: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1)n+1. n Составим формальный ряд Фурье функции 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Согласно теореме о поточечной сходимости кусочно-гладкой 2π-периодической функции ряд Фурье функции f(x) сходится к сумме: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, если π < x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Рис. 6. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 2 (x) Рис. 7. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 3 (x) 11

12 Рис. 8. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) Используем полученный ряд Фурье для нахождения сумм двух числовых рядов. Положим в (8) x = π/2. Тогда 2 () +... = π 2, или = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Мы легко нашли сумму известного ряда Лейбница. Положив в (8) x = π/3, найдем () +... = π 2 3, или (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 ПРИМЕР 3. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции f(x) = sin x, предполагая, что она имеет период 2π, и 1 вычислим сумму числового ряда 4n 2 1. Решение. График функции f(x) приведен на рис. 9. Очевидно, f(x) = sin x непрерывная четная функция с периодом π. Но 2π тоже является периодом функции f(x). Рис. 9. График функции f(x) Вычислим коэффициенты Фурье. Все b n = потому, что функция четная. Пользуясь тригонометрическими формулами вычислим a n при n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos(1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 { 4 1, если n = 2k, = π n 2 1, если n = 2k

14 Это вычисление не позволяет нам найти коэффициент a 1, потому что при n = 1 знаменатель обращается в ноль. Поэтому вычислим коэффициент a 1 непосредственно: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Так как f(x) непрерывно дифференцируема на (,) и (, π) и в точках kπ, (k целое число), существуют конечные пределы (5) и (6), то ряд Фурье функции сходится к ней в каждой точке: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x На рис показан характер приближения функции f(x) частичными суммами ряда Фурье.. (9) Рис. 1. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S (x) 14

15 Рис. 11. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) Рис. 12. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 2 (x) Рис. 13. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) 15

16 1 Вычислим сумму числового ряда. Для этого 4n 2 1 положим в (9) x =. Тогда cosnx = 1 для всех n = 1, 2,... и Следовательно, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ПРИМЕР 4. Докажем, что если кусочно-гладкая непрерывная функция f(x) удовлетворяет условию f(x π) = f(x) для всех x (т. е. является π-периодической), то a 2n 1 = b 2n 1 = для всех n 1, и наоборот, если a 2n 1 = b 2n 1 = для всех n 1, то f(x) π-периодическая. Решение. Пусть функция f(x) является π-периодической. Вычислим ее коэффициенты Фурье a 2n 1 и b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos(2n 1)xdx. В первом интеграле сделаем замену переменной x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Пользуясь тем, что cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t и f(t π) = f(t), получим: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos(2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Аналогично доказывается, что b 2n 1 =. Наоборот, пусть a 2n 1 = b 2n 1 =. Так как функция f(x) непрерывна, то по теореме о представимости функции в точке своим рядом Фурье имеем Тогда f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), что и означает, что f(x) является π-периодической функцией. ПРИМЕР 5. Докажем, что если кусочно-гладкая функция f(x) удовлетворяет условию f(x) = f(x) для всех x, то a = и a 2n = b 2n = для всех n 1, и наоборот, если a = a 2n = b 2n =, то f(x π) = f(x) для всех x. Решение. Пусть функция f(x) удовлетворяет условию f(x π) = f(x). Вычислим ее коэффициенты Фурье: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. В первом интеграле сделаем замену переменной x = t π. Тогда f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Пользуясь тем, что cos n(t π) = (1) n cosnt и f(t π) = f(t), получим: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt =, если n четное, = 2 π f(t) cos nt dt, если n нечетное. π Аналогично доказывается, что b 2n =. Наоборот, пусть a = a 2n = b 2n =, для всех n 1. Так как функция f(x) непрерывна, то по теореме о представимости функция в точке своим рядом Фурье справедливо равенство f(x) = (a 2n 1 cos (2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 Тогда = f(x π) = = = f(x). ПРИМЕР 6. Изучим как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: a 2n 1 cos(2n 1)x. (1) Решение. Пусть график функции имеет вид, приведенный на рис. 14. Поскольку в ряде (1) a = a 2n = b 2n = для всех n, то из примера 5 следует, что функция f(x) должна удовлетворять равенству f(x π) = f(x) для всех x. Это наблюдение дает способ продолжения функции f(x) на промежуток [, /2] : f(x) = f(x+π), рис. 15. Из того, что ряд (1) содержит только косинусы, заключаем, что продолженная функция f(x) должна быть четной (т. е. ее график должен быть симметричен относительно оси Oy), рис

20 Рис. 14. График функции f(x) Рис. 15. График продолжения функции f(x) на промежуток [, /2] 2

21 Итак, искомая функция имеет вид, приведенный на рис. 16. Рис. 16. График продолжения функции f(x) на промежуток [, π] Подводя итог, заключаем что функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), то есть на промежутке [π/2, π], график функции f(x) центрально симметричен относительно точки (π/2,), а на промежутке [, π] ее график симметричен относительно оси Oy. 21

22 ОБОБЩЕНИЕ ПРИМЕРОВ 3 6 Пусть l >. Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 { 1, если /2 < x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Разложение функции, заданной в промежутке [, π], только по синусам или только по косинусам Пусть функция f задана в промежутке [, π]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, мы сначала продолжим f в промежуток [, π] произвольным образом, а затем воспользуемся формулами Эйлера Фурье. Произвол в продолжении функции приводит к тому, что для одной и той же функции f: [, π] R мы можем получать различные ряды Фурье. Но можно использовать этот произвол так, чтобы получить разложение только по синусам или только по косинусам: в первом случае достаточно продолжить f нечетным образом, а во-втором четным. Алгоритм решения 1. Продолжить функцию нечетным (четным) образом на (,), а затем периодически с периодом 2π продолжить функцию на всю ось. 2. Вычислить коэффициенты Фурье. 3. Составить ряд Фурье функции f(x). 4. Проверить условия сходимости ряда. 5. Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд. ПРИМЕР 7. Разложим функцию f(x) = cosx, < x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Рис. 17. График продолженной функции Очевидно, что функция f (x) кусочно-гладкая. Вычислим коэффициенты Фурье: a n = для всех n потому, что функция f (x) нечетна. Если n 1, то b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, если n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1)(n 1) 2 2n, если n = 2k. π n 2 1 При n = 1 в предыдущих вычислениях знаменатель обращается в ноль, поэтому коэффициент b 1 вычислим непосред- 25

26 ственно: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Составим ряд Фурье функции f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Поскольку функция f (x) кусочно-гладкая, то по теореме о поточечной сходимости ряд Фурье функции f (x) сходится к сумме: cosx, если π < x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Рис. 18. График функции f (x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) Рис. 19. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 2 (x) 27

28 Рис. 2. График функции f (x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 3 (x) На рис. 21 приведены графики функции f (x) и ее частичной суммы S 99 (x). Рис. 21. График функции f (x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) 28

29 ПРИМЕР 8. Разложим функцию f(x) = e ax, a >, x [, π], в ряд Фурье только по косинусам. Решение. Продолжим функцию четным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю числовую ось. Получим функцию f (x), график которой представлен на рис. 22. Функция f (x) в точках Рис. 22. График продолженной функции f (x) x = kπ, k целое число, имеет изломы. Вычислим коэффициенты Фурье: b n =, так как f (x) четная. Интегрируя по частям получаем 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Следовательно, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Поскольку f (x) непрерывна, то согласно теореме о поточечной сходимости ее ряд Фурье сходится к f (x). Значит, для всех x [, π] имеем f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм ряда Фурье к заданной разрывной функции. 3

31 Рис. 23. Графики функций f (x) и S (x) Рис. 24. Графики функций f (x) и S 1 (x) Рис. 25. Графики функций f (x) и S 2 (x) Рис. 26. Графики функций f (x) и S 3 (x) 31

32 Рис. 27. Графики функций f (x) и S 4 (x) Рис. 28. Графики функций f (x) и S 99 (x) ЗАДАЧИ 9. Разложите функцию f(x) = cos x, x π, в ряд Фурье только по косинусам. 1. Разложите функцию f(x) = e ax, a >, x π, в ряд Фурье только по синусам. 11. Разложите функцию f(x) = x 2, x π, в ряд Фурье только по синусам. 12. Разложите функцию f(x) = sin ax, x π, в ряд Фурье по только косинусам. 13. Разложите функцию f(x) = x sin x, x π, в ряд Фурье только по синусам. Ответы 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Если a не является целым числом, то sin ax = 1 cosaπ {1 + +2a cos 2nx } + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; если a = 2m четное число, то sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; если a = 2m 1 положительное нечетное число, то sin(2m 1)x = 2 { cos 2nx } 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Ряд Фурье функции с произвольным периодом Предположим, что функция f(x) задана в промежутке [ l, l], l >. Сделав подстановку x = ly, y π, получим функцию g(y) = f(ly/π), определенную в промежутке π [, π]. Этой функции g(y) соответствует (формальный) ряд Фурье () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), коэффициенты которого находятся по формулам Эйлера Фурье: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Возвращаясь к старой переменной, т. е. полагая в выписанных формулах y = πx/l, мы получим для функции f(x) тригонометрический ряд несколько измененного вида: где f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Говорят, что формулы (11) (13) задают разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом. ПРИМЕР 9. Найдем ряд Фурье функции, заданной в промежутке (l, l) выражением { A, если l < x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn =, если n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Составим ряд Фурье функции f (x) : f(x) A + B π (B A Так как cosπn = (1) n, то n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l при n = 2k получаем b n = b 2k =, при n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Отсюда f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Согласно теореме о поточечной сходимости ряд Фурье функции f(x) сходится к сумме A, если l < x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Рис. 29. График функции f (x) с наложенными на него графиками гармоник S (x) = a 2 и S 1(x) = b 1 sinx. Для наглядности графики трех высших гармоник S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l и S 7 (x) = b 7 sin 7πx сдвинуты по вертикали вверх l 37

38 Рис. 3. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) Рис. 31. Фрагмент рис. 3 в другом масштабе 38

39 ЗАДАЧИ В задачах разложить в ряды Фурье указанные функции в заданных промежутках. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x) = sin π x, (1, 1). { 2 1, если 1 < x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l б) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. а) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... б) f(x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Комплексная форма ряда Фурье Разложение f(x) = c n e inx, где c n = 1 2π f(x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., называется комплексной формой ряда Фурье. Функция разлагается в комплексный ряд Фурье при выполнении тех же условий, при которых она разлагается в вещественный ряд Фурье. 4

41 ПРИМЕР 1. Найдем ряд Фурье в комплексной форме функции, заданной формулой f(x) = e ax, в промежутке [, π), где a вещественное число. Решение. Вычислим коэффициенты: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Комплексный ряд Фурье функции f имеет вид f(x) sh aπ π n= (1) n a in einx. Убедимся, что функция f(x) является кусочно-гладкой: в промежутке (, π) она непрерывно-дифференцируема, и в точках x = ±π существуют конечные пределы (5), (6) lim h + ea(+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Следовательно, функция f(x) представима рядом Фурье sh aπ π n= (1) n a in einx, который сходится к сумме: { e S(x) = ax, если π < x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ПРИМЕР 11. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, где a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Напомним, что сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q (q < 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Теперь найдем ряд Фурье в вещественной форме. Для этого сгруппируем слагаемые с номерами n и n для n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Поскольку c = 1, то 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Это ряд Фурье в вещественной форме функции f(x). Таким образом, не вычислив ни одного интеграла, мы нашли ряд Фурье функции. При этом мы вычислили трудный интеграл, зависящий от параметра cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a < 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Каждую из простых дробей разложим по формуле геометрической прогрессии: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Это возможно, так как az = a/z = a < 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, или, более коротко, c n = 1 2i a n sgnn. Тем самым, ряд Фурье в комплексной форме найден. Сгруппировав слагаемые с номерами n и n получим ряд Фурье функции в вещественной форме: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Вновь нам удалось вычислить следующий сложный интеграл: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ЗАДАЧИ 24. Используя (15), вычислите интеграл cos nxdx 1 2a cosx + a 2 для вещественных a, a > Используя (16), вычислите интеграл sin x sin nxdx для вещественных a, a > a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Равенство Ляпунова Теорема (равенство Ляпунова). Пусть функция f: [, π] R такова, что f 2 (x) dx < +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Поэтому равенство Ляпунова для функции f(x) принимает вид: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Из последнего равенства для a π находим sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Полагая a = π 2, получаем sin2 na = 1 при n = 2k 1 и sin 2 na = при n = 2k. Следовательно, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИМЕР 14. Напишем равенство Ляпунова для функции f(x) = x cosx, x [, π], и найдем с его помощью сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Решение. Прямые вычисления дают = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Поскольку f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π(n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, если n = 2k, 2, если n = 2k + 1. Коэффициент a 1 необходимо вычислить отдельно, поскольку в общей формуле при n = 1 знаменатель дроби обращается в ноль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким образом, равенство Ляпунова для функции f(x) имеет вид: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , откуда находим сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАДАЧИ 32. Напишите равенство Ляпунова для функции { x f(x) = 2 πx, если x < π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Ответы + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, где c n коэффициент Фурье 2π функции f(x), а d n коэффициент Фурье функции g(x). 6. Дифференцирование рядов Фурье Пусть f: R R непрерывно дифференцируемая 2π-периодическая функция. Ее ряд Фурье имеет вид: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Производная f (x) этой функции будет непрерывной и 2π-периодической функцией, для которой можно записать формальный ряд Фурье: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), где a, a n, b n, n = 1, 2,... коэффициенты Фурье функции f (x). 51

52 Теорема (о почленном дифференцировании рядов Фурье). При сделанных выше предположениях справедливы равенства a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИМЕР 15. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажем, что при выполнении условия f(x)dx = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Стеклова, и убедимся, что равенство в нем осуществляется лишь для функций вида f(x) = A cosx. Иными словами, неравенство Стеклова дает условия, при выполнении которых из малости производной (в среднеквадратичном) следует малость функции (в среднеквадратичном). Решение. Продолжим функцию f(x) на промежуток [, ] четным образом. Обозначим продолженную функцию тем же символом f(x). Тогда продолженная функция будет непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [, π]. Так как функция f(x) непрерывна, то f 2 (x) непрерывна на отрезке и 2 dx < +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Так как продолженная функция четная, то b n =, a = по условию. Следовательно, равенство Ляпунова принимает вид 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Убедимся, что для f (x) выполняется заключение теоремы о почленном дифференцировании ряда Фурье, то есть что a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Пусть производная f (x) претерпевает изломы в точках x 1, x 2,..., x N в промежутке [, π]. Обозначим x =, x N+1 = π. Разобьем промежуток интегрирования [, π] на N +1 промежуток (x, x 1),..., (x N, x N+1), на каждом из которых f(x) непрерывно дифференцируема. Тогда, используя свойство аддитивности интеграла, а затем интегрируя по частям, получим: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) =. x j π j= Последнее равенство имеет место в силу того, что функция f(x) была продолжена четным образом, а значит f(π) = f(). Аналогично получим a n = nb n. Мы показали, что теорема о почленном дифференцировании рядов Фурье для непрерывной кусочно-гладкой 2π-периодической функции, производная которой в промежутке [, π] претерпевает разрывы первого рода, верна. Значит f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, так как a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Поскольку 2 dx < +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так как каждый член ряда в (18) больше или равен соответствующего члена ряда в (17), то 2 dx 2 dx. Вспоминая, что f(x) является четным продолжением исходной функции, имеем 2 dx 2 dx. Что и доказывает равенство Стеклова. Теперь исследуем для каких функций в неравенстве Стеклова имеет место равенство. Если хоть для одного n 2, коэффициент a n отличен от нуля, то a 2 n < na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАДАЧИ 37. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажите, что при выполнении условия f() = f(π) = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = B sin x. 38. Пусть функция f непрерывна в промежутке [, π] и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную f (x), интегрируемую с квадратом. Докажите, что если при этом выполнены условия f() = f(π) и f(x) dx =, то имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Виртингера, причем равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Применение рядов Фурье для решения дифференциальных уравнений в частных производных При изучении реального объекта (явления природы, производственного процесса, системы управления и т. д.) существенными оказываются два фактора: уровень накопленных знаний об исследуемом объекте и степень развития математического аппарата. На современном этапе научных исследований выработалась следующая цепочка: явление физическая модель математическая модель. Физическая постановка (модель) задачи состоит в следующем: выявляются условия развития процесса и главные факторы на него влияющие. Математическая постановка (модель) заключается в описании выбранных в физической постановке факторов и условий в виде системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.). Задача называется корректно поставленной, если в определенном функциональном пространстве решение задачи существует, единственно и непрерывно зависит от начальных и граничных условий. Математическая модель не бывает тождественна рассматриваемому объекту, а является его приближенным описанием Вывод уравнения свободных малых поперечных колебаний струны Будем следовать учебнику . Пусть концы струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия (например, оттянуть или ударить по ней), то струна начнет 57

58 колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости. Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат xou. Тогда, если в начальный момент времени t = струна располагалась вдоль оси Ox, то u будет означать отклонение струны от положения равновесия, то есть, положению точки струны с абсциссой x в произвольный момент времени t соответствует значение функции u(x, t). При каждом фиксированном значении t график функции u(x, t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 32). При постоянном значении x функция u(x, t) дает закон движения точки с абсциссой x вдоль прямой, параллельной оси Ou, производная u t скорость этого движения, а вторая производная 2 u t 2 ускорение. Рис. 32. Силы, приложенные к бесконечно малому участку струны Составим уравнение, которому должна удовлетворять функция u(x, t). Для этого сделаем еще несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гиб- 58

59 кой, то есть будем считать, что струна не сопротивляется изгибу; это означает, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; это означает, что изменение величины силы натяжения пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна; это означает, что ее линейная плотность ρ постоянна. Внешними силами мы пренебрегаем. Это и означает, что мы рассматриваем свободные колебания. Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через ϕ(x, t) угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой x в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной ϕ 2 (x, t) можно пренебрегать по сравнению с ϕ(x, t), т. е. ϕ 2. Так как угол ϕ мал, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u следовательно, величиной (u x x,) 2 также можно пренебрегать. Отсюда сразу следует, что в процессе колебания можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина кусочка струны M 1 M 2, проектирующаяся в промежуток оси абсцисс, где x 2 = x 1 + x, равна l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажем, что при наших предположениях величина силы натяжения T будет постоянной вдоль всей струны. Возьмем для этого какой либо участок струны M 1 M 2 (рис. 32) в момент времени t и заменим действие отброшенных участ- 59

60 ков силами натяжений T 1 и T 2. Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси Ou и внешние силы отсутствуют, то сумма проекций сил натяжения на ось Ox должна равняться нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Отсюда в силу малости углов ϕ 1 = ϕ(x 1, t) и ϕ 2 = ϕ(x 2, t) заключаем, что T 1 = T 2. Обозначим общее значение T 1 = T 2 через T. Теперь вычислим сумму проекций F u этих же сил на ось Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Так как для малых углов sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), а tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, то уравнение (2) можно переписать так F u T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x. Так как точка x 1 выбрана произвольно, то F u T 2 u x2(x, t) x. После того как найдены все силы, действующие на участок M 1 M 2, применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил. Масса кусочка струны M 1 M 2 равна m = ρ l ρ x, а ускорение равно 2 u(x, t). Уравнение t 2 Ньютона принимает вид: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, где α 2 = T ρ постоянное положительное число. 6

61 Сокращая на x, получим 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результате мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Его называют уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Уравнение (21) по сути является переформулировкой закона Ньютона и описывает движение струны. Но в физической постановке задачи присутствовали требования о том, что концы струны закреплены и положение струны в какойто момент времени известно. Уравнениями эти условия будем записывать так: а) будем считать, что концы струны закреплены в точках x = и x = l, т. е. будем считать, что для всех t выполнены соотношения u(, t) =, u(l, t) = ; (22) б) будем считать, что в момент времени t = положение струны совпадает с графиком функции f(x), т. е. будем считать, что для всех x [, l] выполнено равенство u(x,) = f(x); (23) в) будем считать, что в момент времени t = точке струны с абсциссой x придана скорость g(x), т. е. будем считать, что u (x,) = g(x). (24) t Соотношения (22) называются граничными условиями, а соотношения (23) и (24) называются начальными условиями. Математическая модель свободных малых поперечных 61

62 колебаний струны заключается в том, что надо решить уравнение (21) с граничными условиями (22) и начальными условиями (23) и (24) Решение уравнения свободных малых поперечных колебаний струны методом Фурье Решения уравнения (21) в области x l, < t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 должна быть постоянной, которую обозначим через λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При этом граничные условия (22) примут вид X()T(t) = и X(l)T(t) =. Поскольку они должны выполняться для всех t, t >, то X() = X(l) =. (3) Найдем решения уравнения (28), удовлетворяющего граничным условиям (3). Рассмотрим три случая. Случай 1: λ >. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид X (x) β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение k 2 β 2 = имеет корни k = ±β. Следовательно, общее решение уравнения (28) имеет вид X(x) = C e βx + De βx. Мы должны подобрать постоянные C и D так, чтобы соблюдались граничные условия (3), т. е. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Поскольку β, то эта система уравнений имеет единственное решение C = D =. Следовательно, X(x) и 63

64 u(x, t). Тем самым, в случае 1 мы получили тривиальное решение, которое далее рассматривать не будем. Случай 2: λ =. Тогда уравнение (28) принимает вид X (x) = и его решение, очевидно, задается формулой: X(x) = C x+d. Подставляя это решение в граничные условия (3), получим X() = D = и X(l) = Cl =, значит, C = D =. Следовательно, X(x) и u(x, t), и мы опять получили тривиальное решение. Случай 3: λ <. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 В дальнейшем будем придавать n только положительные значения n = 1, 2,..., поскольку при отрицательных n будут получаться решения того (же вида. nπ) Величины λ n = называются собственными числами, а функции X n (x) = C n sin πnx собственными функ- l l циями дифференциального уравнения (28) с краевыми условиями (3). Теперь решим уравнение (29). Для него характеристическое уравнение имеет вид k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Поскольку выше мы выяснили, что нетривиальные решения X(x) уравнения (28) имеются только для отрицательных λ, равных λ = n2 π 2, то именно такие λ мы и будем рассматривать далее. Корнями уравнения (32) являются k = ±iα λ, а решения уравнения (29) имеют вид: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l где A n и B n произвольные постоянные. Подставляя формулы (31) и (33) в (25), найдем частные решения уравнения (21), удовлетворяющие краевым условиям (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin πnx. l l l Внося множитель C n в скобку и вводя обозначения C n A n = b n и B n C n = a n, запишем u n (X, T) в виде (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx. (34) l l l 65

66 Колебания струны, соответствующие решениям u n (x, t), называются собственными колебаниями струны. Так как уравнение (21) и граничные условия (22) линейны и однородны, то линейная комбинация решений (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l будет решением уравнения (21), удовлетворяющим граничным условиям (22) при специальном выборе коэффициентов a n и b n, обеспечивающем равномерную сходимость ряда. Теперь подберем коэффициенты a n и b n решения (35) так, чтобы оно удовлетворяло не только граничным, но и начальным условиям (23) и (24), где f(x), g(x) заданные функции (причем f() = f(l) = g() = g(l) =). Считаем, что функции f(x) и g(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье. Подставляя в (35) значение t =, получим u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Дифференцируя ряд (35) по t и подставляя t =, получим u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), а это есть разложение функций f(x) и g(x) в ряды Фурье. Следовательно, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Подставляявыражениядлякоэффициентов a n и b n в ряд (35), мы получим решение уравнения (21), удовлетворяющее граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24). Тем самым мы решили задачу о свободных малых поперечных колебаниях струны. Выясним физический смысл собственных функций u n (x, t) задачи о свободных колебаниях струны, определенных формулой (34). Перепишем ее в виде где u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Из формулы (37) видно, что все точки струны совершают гармонические колебания с одной и той же частотой ω n = πnα и фазой πnα δ n. Амплитуда колебания зависит от l l абсциссы x точки струны и равна α n sin πnx. При таком колебании все точки струны одновременно достигают своего l максимального отклонения в ту или иную сторону и одновременно проходят положение равновесия. Такие колебания называются стоячими волнами. Стоячая волна будет иметь n + 1 неподвижную точку, задаваемую корнями уравнения sin πnx = в промежутке [, l]. Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Посередине между узла- l ми располагаются точки, в которых отклонения достигают максимума; такие точки называются пучностями. Каждая струна может иметь собственные колебания строго определенных частот ω n = πnα, n = 1, 2,.... Эти частоты называются собственными частотами струны. Самый низкий l тон, который может издавать струна, определяется самой 67

68 низкой собственной частотой ω 1 = π T и называется основным тоном струны. Остальные тона, соответствующие l ρ частотам ω n, n = 2, 3,..., называются обертонами или гармониками. Для наглядности изобразим типичные профили струны, издающей основной тон (рис. 33), первый обертон (рис. 34) и второй обертон (рис. 35). Рис. 33. Профиль струны, издающей основной тон Рис. 34. Профиль струны, издающей первый обертон Рис. 35. Профиль струны, издающей второй обертон Если струна совершает свободные колебания, определяемые начальными условиями, то функция u(x, t) представляется, как это видно из формулы (35), в виде суммы отдельных гармоник. Таким образом произвольное колебание 68

69 струны представляет собой суперпозицию стоячих волн. При этом характер звучания струны (тон, сила звука, тембр) будет зависеть от соотношения между амплитудами отдельных гармоник Сила, высота и тембр звука Колеблющаяся струна возбуждает колебания воздуха, воспринимаемые ухом человека как звук, издаваемый струной. Сила звука характеризуется энергией или амплитудой колебаний: чем больше энергия, тем больше сила звука. Высота звука определяется его частотой или периодом колебаний: чем больше частота, тем выше звук. Тембр звука определяется наличием обертонов, распределением энергии по гармоникам, т. е. способом возбуждения колебаний. Амплитуды обертонов, вообще говоря, меньше амплитуды основного тона, а фазы обертонов могут быть произвольными. Наше ухо не чувствительно к фазе колебаний. Сравните, например, две кривые на рис. 36, заимствованном из . Это запись звука с одним и тем же основным тоном, извлеченного из кларнета (а) и рояля (б). Оба звука не представляют собой простых синусоидальных колебаний. Основная частота звука в обоих случаях одинакова это и создает одинаковость тона. Но рисунки кривых разные потому, что на основной тон наложены разные обертона. В каком-то смысле эти рисунки показывают, что такое тембр. 69

Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье Метод Фурье Стоячие волны 4 Лекция 4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МАТИ Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной. Основные

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Тема Ряды Фурье Практическое занятие Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пространство кусочно-непрерывных функций Обобщенный ряд Фурье 3 Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье Пространство

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN

Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

1 2 Оглавление 1 Ряды Фурье 5 1.1 Тригонометрический ряд Фурье............ 5 1.2 Только sin & cos..................... 7 1.3 Ряд Фурье в комплексной форме........... 11 1.4 f(x) = c k?.......................

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Дифференциальные уравнения с частными производными Уравнение, связывающее неизвестную функцию u (x 1, x 2,..., x n), независимые переменные x 1, x 2,..., x n и частные

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на , так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Лекция 4. Волновые уравнения 1. Вывод уравнения колебаний струны 2. Уравнение продольных колебаний стержня 3. Начальные условия, краевые условия 4. Постановка задач 1. Вывод уравнения колебаний струны

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R(), если, m, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 6 Разделение переменных в декартовых координатах 1.1. (Задача 1.49) Плоскость z = заряжена с плотностью σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), где σ, α, β постоянные.

Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,

Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных Однородная краевая задача Функция источника Неоднородное уравнение теплопроводности 7 Лекция 7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Даламбера Бесконечная струна. Формула Даламбера Полубесконечная струна 3 Лекция 3.1 Уравнения гиперболического типа.

8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a(a) a(a) a(a) (), где

1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Глава 5. Ряды Фурье 5.. Занятие 5 5... Основные определения Функциональный ряд вида a 2 + (a k cos x + b k si x) (5..) называется тригонометрическим рядом, числа a и b коэффициентами тригонометрического

~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Функцию f (x ), определëнную на отрезке и являющуюся на этом отрезке кусочно-монотонной и ограниченной, можно разложить в ряд Фурье двумя способами. Для этого достаточно представить продолжение функции на промежуток [–l , 0]. Если продол­жение f (x ) на [–l , 0] чётное (симметричное относительно оси ординат), то ряд Фурье можно записать по формулам (1.12–1.13), то есть по косинусам. Если продолжить функцию f (x ) на [–l , 0] нечётным образом, то разложение функции в ряд Фурье будет представлено формулами (1.14–1.15), то есть по синусам. При этом оба ряда будут иметь в интервале (0, l ) одну и ту же сумму.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию y = x , заданную на промежутке (см. рис.1.4).

Решение .

a ). Разложение в ряд по косинусам. Строим чётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её чётным продолжением на [–1, 0 ] и последующим продолжением (по периоду T = 2) на всю ось 0x показан на рис.1.5.

Так как l = 1, то ряд Фурье для данной функции при чётном разложе­нии будет иметь вид

(1.18)

,

В результате получим при

На всей оси 0x ряд сходится к функции, изображенной на рис.1.4.

2). Разложение в ряд по синусам. Строим нечётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её нечётным продолжением на [–1, 0] и последующим периодическим продолжением на всю числовую ось 0x показан на рис.1.6.

При нечëтном разложении

, (1.20)

.

Поэтому ряд Фурье по синусам для данной функции при
будет иметь вид

В точке
сумма ряда будет равна нулю, хотя исходная функция равна 1. Это обусловлено тем, что при таком периодическом продолжении точкаx = 1 становится точкой разрыва.

Из сравнения выражений (1.19) и (1.21) следует, что скорость сходимости ряда (1.19) выше, чем ряда (1.21): она определяется в первом случае множителем
, а во втором случае множителем ­1/n . Поэтому разложение в ряд по косинусам в данном случае пред­почтительнее.

В общем случае можно показать, что если функция f (x ) не обращается в нуль хотя бы на одном из концов промежутка , то предпочтительнее еë разложение в ряд по косинусам. Это обусловлено тем, что при чётном продолжении в соседний промежуток
функция будет непрерывной (см. рис.1.5), и скорость сходимости получающегося ряда будет выше, чем ряда по синусам. Если функция, заданная на , обращается в нуль на обоих концах интервала, то предпочти­тельнее её разложение в ряд по синусам, так как при этом будет непрерывной не только сама функция f (x ), но и её первая произ­водная.

1.6. Обобщённый ряд Фурье

Функции
и
(n , m = 1, 2, 3,…) называются ортогональными на отрезке [a , b ], если при n ≠ m

. (1.22)

При этом предполагается, что

и
.

Рассмотрим разложение функции f (x ), которая определена на отрезке [a , b ], в ряд по системе ортогональных функций

где коэффициенты (i = 0,1,2...) являются постоянными числами.

Для определения коэффициентов разложения умножим равенство (1.23) на
и проинтегрируем почленно на отрезке [a , b ]. Получим равенство

В силу ортогональности функций
все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного (при
). Отсюда следует, что

(1.24)

Ряд (1.23) по системе ортогональных функций, коэффициенты которого определяются по формуле (1.24), называется обобщённым рядом Фурье для функции f (x ).

Для упрощения формул для коэффициентов применяют, так называемое, нормирование функций . Система функций φ 0 (x ), φ 1 (x ),…, φ n (x ),… называется нор­ми­рованной на промежутке [a , b ], если

. (1.25)

Справедлива теорема: всякую ортогональную систему функ­­ций можно нормировать. Это означает, что можно подобрать постоянные числа μ 0 , μ 1 ,…, μ n ,… так, чтобы система функций μ 0 φ 0 (x ), μ 1 φ 1 (x ),…, μ n φ n (x ),… была не только ортогональной, но и нормированной. Действительно, из условия

получим, что

.

называется нормой функции
и обозначается через
.

Если система функций нормирована, то, очевидно,
. Последовательность функцийφ 0 (x ), φ 1 (x ),…, φ n (x ),…, опреде­лённых на отрезке [a , b ], является ортонормированной на этом отрезке, если все функции нормированы и взаимно ортогональны на [a , b ].

Для ортонормированной системы функций коэффициенты обобщённого ряда Фурье равны

. (1.26)

Пример. Разложить функцию y = 2 – 3x на отрезке
в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения

предварительно проверив их на квадратичную интегрируемость и ортогональность.

Замечание. Говорят, что функция
, заданная на отрезке
, есть функция с интегрируемым квадратом, если она сама и еë квадрат интегрируемы на
, то есть, если существуют интегралы
и
.

Решение. Сначала решаем задачу на собственные значения. Общее решение уравнения этой задачи будет

а его производная запишется в виде

Поэтому из граничных условий следует:

Для существования нетривиального решения необходимо принять

,

откуда следует
Поэтому собственные значения параметра равны

,

а соответствующие им собственные функции с точностью до множителя будут

. (1.27)

Проверим полученные собственные функции на ортогональность на отрезке :

так как при целых
.При этом

Следовательно, найденные собственные функции ортогональны на отрезке .

Разложим заданную функцию в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных собственных функций (1.27):

, (1.28)

коэффициенты которого вычисляются по (1.24):

. (1.29)

Подставляя (129) в (1.28), окончательно получим