Найти значение методом интерполяции. Калькулятор линейной интерполяции

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция . Она состоит в том, что заданные точки (x i , y i ) при (i = 0. 1, ..., n ) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f (x ) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x i - 1, x i ), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки(x i -1, y i -1 ) и (x i , y i ), в виде

y=a i x+b i , x i-1 xx i

a i =

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (*) и найти приближенное значение функции в этой точке

Рисунок 3-3- График зависимости линейной интерполяции .

1. Решение профессиональной задачи

Ведем экспериментальные данные

ORIGIN:=0 Начало массива данных - считаем с нуля

i :=1..6 Число элементов в массиве

Экспериментальные данные организованы в два вектора

Выполним интерполяцию встроенными функциями MathCad

Линейная интерполяция

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Интерполяция кубическим спайном

CS:= cspline(x,y)

Строим кубический сплайн по экспериментальным данным

Lf(x i):=linterp(x,y,x i)

Интерполяция В- сплайном

Задаем порядок интерполяции. В векторе u должно быть на (n-1) меньше элементов, чем в векторе x , причем первый элемент должен быть меньше или равен первому элементу x , а последний - больше или равен последнему элементу x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Cтроим В- сплайн по экспериментальным данным

BSf(x i):=(BS, x,y,x i)

Строим график всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.

Рисунок 4.1-График всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.

Заключение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например, полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Основным недостатком полиномиальной интерполяции является то, что она неустойчива на одной из самых удобных и часто используемых сеток - сетке с равноудаленными узлами. Если позволяет задача, эту проблему можно решить за счет выбора сетки с Чебышевскими узлами. Если же мы не можем свободно выбирать узлы интерполяции или нам просто нужен алгоритм, не слишком требовательный к выбору узлов, то рациональная интерполяция может оказаться подходящей альтернативой полиномиальной интерполяции.

К достоинствам сплайн-интерполяции следует отнести высокую скорость обработки вычислительного алгоритма, поскольку сплайн - это кусочно-полиномиальная функция и при интерполяции одновременно обрабатываются данные по небольшому количеству точек измерений, принадлежащих к фрагменту, который рассматривается в данный момент. Интерполированная поверхность описывает пространственную изменчивость различного масштаба и в то же время является гладкой. Последнее обстоятельство делает возможным прямой анализ геометрии и топологии поверхности с использованием аналитических процедур

У этого термина существуют и другие значения, см. Интерполяция. О функции, см.: Интерполянт.

Интерполя́ция , интерполи́рование (от лат. inter–polis - «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный ») - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).

В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса - Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек x i {\displaystyle x_{i}} (i ∈ 0 , 1 , … , N {\displaystyle i\in {0,1,\dots ,N}}) из некоторой области D {\displaystyle D} . Пусть значения функции f {\displaystyle f} известны только в этих точках:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . {\displaystyle y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.}

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции F {\displaystyle F} из заданного класса функций, что

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . {\displaystyle F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.}

• Точки x i {\displaystyle x_{i}} называют узлами интерполяции , а их совокупность - интерполяционной сеткой .
• Пары (x i , y i) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} называют точками данных или базовыми точками .
• Разность между «соседними» значениями Δ x i = x i − x i − 1 {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} - шагом интерполяционной сетки . Он может быть как переменным, так и постоянным.
• Функцию F (x) {\displaystyle F(x)} - интерполирующей функцией или интерполянтом .

Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений x {\displaystyle x} определяет соответствующие значения f {\displaystyle f} :

X {\displaystyle x} f (x) {\displaystyle f(x)}

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 {\displaystyle ?=15.5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19.2-15.5)}{1}}=16.1993}

В языках программирования

Пример линейной интерполяции для функции y = 3 x + x 2 {\displaystyle y=3x+x^{2}} . Пользователь может ввести число от 1 до 10.

Fortran

program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimension x(10) dimension y(10) call prisv(x, i) call func(x, y, i) write(*,*) "enter number: " read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) then yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end subroutine

C++

int main() { system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Интерполяция X1 - X2 "); system("echo Ввести число: "); cin >> ob; system("echo Например 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Способы интерполяции

Интерполяция методом ближайшего соседа

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.

Интерполяция многочленами

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

• Линейная интерполяция
• Интерполяционная формула Ньютона
• Метод конечных разностей
• ИМН-1 и ИМН-2
• Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
• Схема Эйткена
• Сплайн-функция
• Кубический сплайн

Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)

• Полином Лагранжа
• Обратное интерполирование по формуле Ньютона
• Обратное интерполирование по формуле Гаусса

Интерполяция функции нескольких переменных

• Билинейная интерполяция
• Бикубическая интерполяция

Другие способы интерполяции

• Рациональная интерполяция
• Тригонометрическая интерполяция

Смежные концепции

• Экстраполяция - методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
• Аппроксимация - методы построения приближённых кривых

Обратная интерполяция

на классе функций из пространства C2 , графики которых проходят через точки массива (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Решение. Среди всех функций, которые проходят через опорные точки (xi, f(xi)) и принадлежат упомянутому пространству, именно кубический сплайн S(x), удовлетворяющий краевым условиям S00(a) = S00(b) = 0, предоставляет экстремум (минимум) функционала I(f).

Часто на практике возникает задача о поиске по заданному значению функции значения аргумента. Эта задача решается методами обратной интерполяции. Если заданная функция монотонна, то обратную интерполяцию проще всего осуществить путем замены функции аргументом и наоборот и последующего интерполирования. Если заданная функция не монотонна, то этим приемом воспользоваться нельзя. Тогда, не меняя ролями функцию и аргумент, записываем ту или иную интерполяционную формулу; используя известные значения аргумента и, считая функцию известной, решаем полученное уравнение относительно аргумента.

Оценка остаточного члена при использовании первого приема будет такая же, как и при прямой интерполяции, только производные от прямой функции нужно заменить производными от обратной функции. Оценим ошибку второго метода. Если нам задана функция f(x) и Ln (x) - интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам x0, x1, x2, . . . , xn, то

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x− x0) . . . (x− xn) .

Предположим, что нам надо найти значение x¯, при котором f (¯x) = y¯ (y¯ задано). Будем решать уравнение Ln (x) = y¯ . Получим некоторое значение x¯. Подставляя в предыдущее уравнение, получим:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Применяя формулу Лангранжа, получим
(x¯ − x¯) f0 (η) =
где η находится между x¯ и x¯. Если - интервал, который содержит x¯ и x¯ и min

из последнего выражения вытекает:

|x¯ − x¯| 6m1 (n + 1)! |$n (x¯)| .

При этом, конечно, предполагается, что уравнение Ln (x) = y¯ мы решили точно.

Применение интерполяции для составления таблиц

Теория интерполяции имеет применение при составлении таблиц функций. Получив такую задачу, математик должен решить перед началом вычислений ряд вопросов. Должна быть избрана формула, по которой будут проводиться вычисления. Эта формула может изменяться от участка к участку. Обычно формулы для вычисления значений функции бывают громоздкими и потому их используют для получения некоторых опорных значений и потом, путем субтабулирования, сгущают таблицу. Формула, которая дает опорные значения функции, должна обеспечивать нужную точность таблиц с учетом следующего субтабулирования. Если нужно составить таблицы с постоянным шагом, то сначала надо определить ее шаг.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Чаще всего таблицы функций составляются так, чтобы была возможной линейная интерполяция (то есть интерполяция с использованием первых двух членов формулы Тейлора). В этом случае остаточный член будет иметь вид

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Здесь ξ принадлежит интервалу между двумя соседними табличными значениями аргумента, в котором находится x, а t заключен между 0 и 1. Произведение t(t − 1) принимает наибольшее по модулю

значение при t = 12.Это значение равняется14. Итак,

Нужно помнить, что рядом с этой ошибкой - ошибкой метода, при практическом вычислении промежуточных значений будут возникать еще неустранимая погрешность и погрешность округлений. Как мы видели раньше, неустранимая погрешность при линейной интерполяции будет равной погрешности табулированных значений функции. Погрешность округления будет зависеть от вычислительных средств и от программы вычислений.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Предметный указатель

разделенные разности второго порядка, 8 первого порядка,8

сплайн, 15

узлы интерполяции, 4

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Как выполнить интерполяцию

Формула для интерполяции табличных данных

Используется во 2-ом действии, когда количество НХР (Q, т) из условия имеет промежуточное значение между 100 т и 300 т.

(Исключение: если Q по условию равно 100 или 300 – то интерполяция не нужна).

y o - Ваше исходное количество НХР из условия, в тоннах

(соответствует букве Q)

y 1 – меньшее

(из табл.11-16, как правило равно 100 ).

y 2 – большее ближайшее к Вашему значение количества НХР, в тоннах

(из табл.11-16, как правило равно 300 ).

x 1 y 1 (x 1 расположено напротив y 1 ), км.

x 2 – табличное значение глубины распространения облака зараженного воздуха (Г т), соответственно y 2 (x 2 расположено напротив y 2 ), км.

x 0 – искомое значение Г т соответствующее y o (по формуле).

Пример.

НХР – хлор; Q = 120 т;

Вид СВСП (степень вертикальной стойкости воздуха) – инверсия.

Найти Г т - табличное значение глубины распространения облака зараженного воздуха.

Просматриваем таблицы 11-16 и находим данные соответствующие вашему условию (хлор, инверсия).

Подходит таблица 11.

Выбираем значения y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Важно – скорость ветра берем 1 м/с., температуру берем – 20 оС.

Подставляем выбранные значения в формулу и находим x 0 .

Важно – расчет правильный, если x 0 будет иметь значение где-то междуx 1 , x 2 .

1.4. Интерполяционная формула Лагранжа

Предложенный Лагранжем алгоритм построения интерполирующих

функций по таблицам (1) предусматривает построение интерполяционного многочлена Ln(x) в виде

Очевидно, что выполнение для (10) условий (11) определяет выполнение условий (2) постановки задачи интерполяции.

Многочлены li(x) записываются следующим образом

Отметим, что ни один множитель в знаменателе формулы (14) не равен нулю. Вычислив значения констант сi, можно использовать их для вычисления значений интерполируемой функции в заданных точках.

Формула интерполяционного многочлена Лагранжа (11) с учётом формул (13) и (14) может быть записана в виде

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа

Непосредственное применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Для таблиц небольшой размерности эти вычисления могут быть выполнены как вручную, так и в среде программ

На первом этапе рассмотрим алгоритм вычислений, выполняемых вручную. В дальнейшем эти же вычисления следует повторить в среде

Microsoft Excel или OpenOffice.org Calc.

На рис. 6 приведён пример исходной таблицы интерполируемой функции, определяемой четырьмя узлами.

Рис.6. Таблица, содержащая исходные данные для четырёх узлов интерполируемой функции

В третий столбец таблицы запишем вычисляемые по формулам (14) значения коэффициентов qi. Ниже приведена запись этих формул для n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/(x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Следующим шагом в реализации ручных вычисления являются вычисления значений li(x) (j=0,1,2,3), выполняемые по формулам (13).

Запишем эти формулы для рассматриваемого нами варианта таблицы с четырьмя узлами:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2).

Вычислим значения многочленов li(xj) (j=0,1,2,3) и запишем их в ячейки таблицы. Значения функцииYрасч(x), согласно формуле (11) будут получены в результате суммирования значенийli(xj) по строкам.

Формат таблицы, включающей столбцы вычисленных значений li(xj) и столбец значенийYрасч(x), показан на рис.8.

Рис. 8. Таблица с результатами ручных вычислений, выполненных по формулам (16), (17) и (11) для всех значений аргумента xi

Выполнив формирование таблицы, приведённой на рис. 8, по формулам (17) и (11) можно вычислить значение интерполируемой функции для любого значения аргумента Х. Например, дляХ=1 вычисляем значенияli(1) (i=0,1,2,3):

l0(1)= 0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Суммируя значения li(1) получим значениеYинтерп(1)=3,1463.

1.4.2. Реализация алгоритма интерполяции по формулам Лагранжа в среде программы Microsoft Excel

Реализация алгоритма интерполяции начинается, как и при ручных вычислениях с записи формул для вычисления коэффициентов qi На рис. 9 приведена столбцы таблицы с заданными значениями аргумента, интерполируемой функции и коэффициентовqi. Справа от этой таблицы приведены формулы, записываемые в ячейки столбцаС для вычисления значений коэффициентовqi.

вС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))"Æ q0

вС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))"Æ q1

вС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))"Æ q2

вС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3

Рис. 9 Таблица коэффициентов qi и вычислительные формулы

После ввода формулы q0 в ячейку С2 она протягивается по ячейкам от С3 до С5. После чего формулы в этих ячейках корректируются в соответствии с (16) к виду, приведённому на рис. 9.

Yрасч(xi),

Реализуя формулы (17), запишем формулы для вычисления значений li(x) (i=0,1,2,3) в ячейки столбцов D, E, F и G. В ячейкуD2 для вычисления значенияl0(x0) запишем формулу:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

получим значения l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Формат ссылки $A2 позволяет протянуть формулу по столбцамE, F, G для формирования вычислительных формул для вычисленияli(x0) (i=1,2,3). При протягивании формулы по строке индекс столбца аргументах не меняется. Для вычисленияli(x0) (i=1,2,3) после протягивания формулыl0(x0) необходимо выполнить их корректировку по формулам (17).

Встолбце Н поместим формулы Excel для суммированияli(x) по формуле

(11)алгоритма.

На рис. 10 показана таблица, реализованная в среде программы Microsoft Excel. Признаком правильности записанных в ячейки таблицы формул и выполненных вычислительных операций являются полученная диагональная матрица li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2,3),повторяющая результаты, приведённые на рис. 8, и столбец значений совпадающих со значениями интерполируемой функции в узлах исходной таблицы.

Рис. 10. Таблица значений li(xj) (j=0,1,2,3) иYрасч(xj)

Для вычисления значений в некоторых промежуточных точках достаточно

вячейки столбца А, начиная с ячейкиА6, ввести значения аргументаХ, для которых требуется определить значения интерполируемой функции. Выделить

впоследней (5-й)строке таблицы ячейки отl0(xn) доYрасч(xn) и протянуть формулы, записанные в выделенных ячейках до строки, содержащей последнее

заданное значение аргумента х.

На рис. 11 приведена таблица, в которой выполнены вычисления значения функции в трёх точках: х=1, х=2 и х=3. В таблицу введён дополнительный столбец с номерами строк таблицы исходных данных.

Рис. 11. Вычисление значений интерполируемых функции по формулам Лагранжа

Для большей наглядности отображения результатов интерполяции построим таблицу, включающую столбец упорядоченных по возрастанию значений аргумента Х, столбец исходных значений функцииY(X) и столбец

Подскажите как использовать формулу интерполяции и какую в решении задач по термодинамике (теплотехнике)

Иван шестакович

Самое простое, но и часто не достаточно точная интерполяция - это линейная. Когда у тебя есть уже две известные точки (Х1 У1) и (X2 Y2) а надо найти значения У дня некоторого Х который находится между Х1 и Х2. Тогда формула проста.
У=(У2-У1)*(Х-Х1)/(Х2-Х1)+У1
Кстати эта формула работает и при значениях Х вне пределов промежутка Х1..Х2, но это уже называется экстрополяцией и при значительном расстоянии от этого промежутка дает очень большую погрешность.
Есть много других мат. методов интерполяции - советую почитать учебник или порыться и инете.
Не исключен так же метод графической интерполяции - в ручную нариовать график через известные точки и для требуемго Х находить из графика У. ;)

Роман

У тебя есть два значения. И примерно зависимость (линейтная, квадратичная, ..)
График этой функции проходит через твои две точки. Тебе нужно значение где-то между. Ну и выражаешь!
Например. В таблеце при температуре 22 градуса давление насыщеных паров 120000 Па, а при 26 124000 Па. Тогда при температуре 23 градуса 121000 Па.

Интерполяция (координат)

Есть сетка координат на карте (изображении).
На ней есть некоторые известные опорные точки (n>3), имеющие по два значения x,y - координаты в пикселах, и координаты в метрах.
Необходимо найти промежуточные значения координат в метрах, зная координаты в пикселах.
Линейная интерполяция не подходит - слишком большая погрешность за пределами линии.
Вот так: (Xc - коорд. в метрах по ох, Xp - коорд. в пикселах по ох, Xc3 - искомое значение по ох)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Как найти такую же формулу для нахождения Xc и Yc, учитывая не две (как тут), а N известных опорных точек?

Joka fern lowd

Судя по выписанным формулам, оси систем координат в пикселах и в метрах совпадают?
То есть независимо интерполируется Xp -> Xc и независимо Yp -> Yc. Если нет, то надо использовать двумерную интерполяцию Xp,Yp->Xc и Xp,Yp->Yc, что несколько усложняет задачу.
Далее подразумевается, что координаты Xp и Xc связаны некоторой зависимостью.
Если характер зависимости известен (или предполагается, например, предполагаем, что Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), то можно получить параметры этой зависимости (для приведенной зависимости a, b, c) с помощью регрессионного анализа (Метод наименьших квадратов) . В этом методе, если задаться определенной зависимостью Xc(Xp) можно получить формулу для параметров зависимости от опорных данных. Этот метод позволяет, в частности, найти и линейную зависимость, наилучшим образом удовлетворяющую данному набору данных.
Недостаток: В этом методе координаты Xc, полученные по данным опорных точек Xp, могут отличаться от заданных. Как например, аппроксимационная прямая проведенная по экспериментальным точкам, не проходит точно через сами эти точки.
Если же требуется точное соответствие и характер зависимости неизвестен, нужно использовать интерполяционные методы. Простейшим математически является интерполяционный полином Лагранжа, точно проходящий через опорные точки. Однако в силу высокой степени этого полинома при большом числе опорных точек и плохого качества интерполяции, лучше его не использовать. Преимуществом является сравнительно простая формула.
Лучше использовать интерполяцию сплайнами. Суть этого метода в том, что на каждом участке между двумя соседними точками, исследуемая зависимость интерполируется полиномом, а в точках сшивки двух интервалов записываются условия гладкости. Преимуществом этого метода является качество интерполяция. Недостатками -- практически невозможно вывести общую формулу, приходится находить коэффициенты полинома на каждом участке алгоритмически. Другим недостатком является сложность обобщения на двумерную интерполяцию.

(0,1) (2,5) (4,17)
Find equation

Tool to find the equation of a function. Lagrange Interpolating Polynomial is a method for finding the equation corresponding to a curve having some dots coordinates of it.

Answers to Questions

dCode allow to use the Lagrangian method for interpolating a Polynomial and finds back the original using known points (x,y) values.

Example: By the knowledgeof the points \((x,y) \) : \((0,0),(2,4),(4,16) \) the Polynomial Lagrangian Interpolation method allow to find back \(y = x^2 \). Once deducted, the interpolating function \(f(x) = x^2 \) allow to estimate the value for \(x = 3 \), here \(f(x) = 9 \).

The Lagrange interpolation method allows a good approximation of polynomial functions.

There are others interpolation formulas (rather than Lagrange/Rechner) such as Neville interpolation also available online on dCode.

You can edit this Q&A (add new info, improve translation, etc.) " itemscope="" itemtype="http://schema.org/Question">

What are the limits for Interpolating with Lagrange?

Since the complexity of the calculations increases with the number of points, the program is limited to 25 coordinates (with distinct x-values in the Q).

Ask a new question

Source code

dCode retains ownership of the source code of the script Lagrange Interpolating Polynomial online. Except explicit open source licence (indicated Creative Commons / free), any algorithm, applet, snippet, software (converter, solver, encryption / decryption, encoding / decoding, ciphering / deciphering, translator), or any function (convert, solve, decrypt, encrypt, decipher, cipher, decode, code, translate) written in any informatic langauge (PHP, Java, C#, Python, Javascript, Matlab, etc.) which dCode owns rights will not be released for free. To download the online Lagrange Interpolating Polynomial script for offline use on PC, iPhone or Android, ask for price quote on

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу по дисциплине

Автоматизированные методы обработки результатов эксперимента.

Тема работы:разработка программы построения графика интерполяционного полинома.

Разработать программу построения графика с использованием формулы много интервальной кусочно-линейчатой интерполяции.

Таблица функции:

x
y	0,23	0,56	0,15	0,1	0,27	0,2

ВВЕДЕНИЕ

Система программирования Турбо Паскаль представляет собой единство из двух в известной степени самостоятельных начал: компилятора с языка программирования Паскаль и некоторой инструментальной программной оболочки, способствующей повышению эффективности создания программ.

Среда Турбо Паскаля – это первое, с чем сталкивается любой программист, приступающий к практической работе по программированию.

Целью данной курсовой работы является написание на языке Турбо Паскаль программы построения графика интерполяционного полинома.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Задача интерполяции.

Пусть задана таблица чисел {xi , fi}, i = 0, 1, …, N ; x0 < x1 < … < xN .

Определение. Всякая функция f(x) такая, что f(xi) = fi ; = 0, 1, …, N называется интерполирующей (интерполяцией) для таблицы .

Задача интерполяции состоит в отыскании (построении) интерполирующей функции (т. е. принимающей в заданных узлах интерполяции xi заданные значения fi) и принадлежащей заданному классу функций. Разумеется, задача интерполяции может иметь или не иметь решение (и при том не единственное), все зависит от «заданного класса функций». Необходимо выяснить условия, при которых задача интерполяции была бы конкретно поставлена. Один из способов интерполяции состоит в том, что интерполирующая функция ищется в виде линейной комбинации некоторых конкретных функций. Такая интерполяция называется линейной.

Линейная интерполяция.

Интерполяция по формуле при n = 1, т. е. с помощью линейной функции , называется линейной. При работе с кусочно-полиномиальными функциями абсциссы данных называются узлами, сочленениями или точками излома . Между этими названиями есть различия технического характера, но все три термина часто используются как взаимозаменяемые. Линейная кусочно-полиномиальная функция L(x) – это функция, определенная при всех x, обладающая тем свойством, что L(x) является прямой линией между xi и x i +1 . Определение допускает, что в промежутках между разными парами соседних узлов L(x) может совпадать с разными прямыми. Если ввести обозначения , , то формула линейной интерполяции может быть записана в следующем виде: (1)

Величина q называется фазой интерполяции, которая изменяется в пределах от 0 до 1, когда x пробегает значения от x 0 до x 1 .

Геометрически линейная интерполяция означает (рис. 1) замену графика функции на отрезке хордой, соединяющей точки (x 0 , f 0), (x 1 , f 1). Поскольку согласно формуле имеем и, следовательно, , то оценка максимальной погрешности линейной интерполяции на отрезке в соответствии с формулой имеет вид , (2) где .

Часто задают таблицу большого числа значений некоторой функции f с постоянным шагом h изменения аргумента. Тогда при заданном x выбираются два ближайших к нему узла. Левый узел принимается за x 0 , а правый - за x 1 , и осуществляется линейная интерполяция по формуле (1). Погрешность интерпо­ляции оценивается по формуле (2).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Разработать программу построения графика интерполяционного полинома с использованием формулы многоинтервальной кусочно-линейной интерполяции.

Если потребовать, чтобы совпадала с табличными значениями в выбранных узлах сетки, то получим систему

из которой можно определить параметры Этот способ подбора параметров называется интерполяцией (точнее, лагранжевой интерполяцией). По числу используемых узлов сетки будем называть интерполяцию одноточечной, двухточечной и т. д.

Если нелинейно зависит от параметров, то интерполяцию назовем нелинейной; в этом случае нахождение параметров из системы (1) может быть трудной задачей. Сейчас мы рассмотрим линейную интерполяцию, когда линейно зависит от параметров, т. е. представима в виде так называемого обобщенного многочлена

Очевидно, функции можно считать линейно-независимыми, иначе число членов в сумме и параметров можно было бы уменьшить. На систему функций надо наложить еще одно ограничение. Подставляя (2) в (1), получим для определения параметров следующую систему линейных уравнений:

Чтобы задача интерполяции всегда имела единственное решение, надо, чтобы при любом расположении узлов (лишь бы среди них не было совпадающих) определитель системы (3) был бы отличен от нуля:

Система функций, удовлетворяющих требованию (4), называется чебышевской. Таким образом, при линейной интерполяции надо строить обобщенный многочлен по какой-нибудь чебышевской системе функций.

Для линейной интерполяции наиболее удобны обычные многочлены, ибо они легко вычисляются и на клавишной машине и на ЭВМ. Другие системы функций сейчас почти не употребляются, хотя в теории подробно рассматривают интерполяцию тригонометрическими многочленами и экспонентами. Поэтому мы не приводим выражения обобщённого многочлена (2) через табулированные значения функции вывести это выражение несложно.