Normala spänningar under excentrisk kompression. Vetenskapligt elektroniskt bibliotek

Excentrisk spänning eller kompression är en typ av deformation när en längsgående (drag eller tryck) kraft och samtidigt verkar i tvärsnittet av en balk. böjningsmoment; En tvärkraft kan också verka i detta avsnitt.

En excentriskt sträckt eller komprimerad balk, i vars beräkning det är möjligt att inte ta hänsyn till ytterligare böjmoment lika med produkten av längsgående yttre krafter P och avböjningar, kallas stel, och en balk i vars beräkning de ska vara beaktas kallas flexibel.

De excentriskt sammanpressade och sträckta stängerna som visas i fig. är stela. 10.9, a, d, e, om deras största avböjningar är små jämfört med avstånden för krafterna P från stängernas axlar, och stängerna som visas i fig. 10.9, b, c, i de fall produkterna är små jämfört med de yttre momenten

Låt oss överväga beräkningen av styva balkar; Metoden för att beräkna flexibla balkar beskrivs nedan i § 5.13.

I fig. 11.9, och en stel balk visas; i dess övre tvärsnitt verkar samtidigt en längdkraft N och ett böjmoment M, vars komponenter i förhållande till sektionens huvudaxlar och y av trögheten i sektionen är lika med normalspänningen i en godtycklig punkt C i sektionen med koordinater y och är lika med summan av spänningarna från den längsgående kraften N och böjmoment, dvs.

Den längsgående kraften N och momenten kan betraktas som ett resultat av verkan av en excentriskt applicerad kraft på balken

Det är därför som fallet med samtidig verkan i tvärsnittet av en längsgående kraft och ett böjmoment kallas excentrisk spänning (med en dragkraft i längdled) eller kompression (med en tryckkraft).

Koordinaterna för punkt A för applicering av kraft P kallas excentriciteterna för denna kraft i förhållande till huvudtröghetsaxlarna respektive y:

Punkt A för applicering av kraft P kallas tryckcentrum eller pol.

Låt oss ersätta uttrycken med formel (10.9) [baserat på formler (11.9) och fig. 1.9, b]:

Plustecken placeras framför alla termer av denna formel eftersom positiva longitudinella krafter såväl som böjmoment (vid positiva excentriciteter) orsakar dragspänningar (positiva) i tvärsnittspunkter med positiva koordinater y och z.

I formel (12.9) ersätts storleken av dragkraften P med ett plustecken, och tryckkraften med ett minustecken; Y- och z-koordinaterna ersätts i denna formel med sina egna tecken. Tecknet på de normala spänningar som uppstår vid någon punkt i sektionen från ett böjmoment orsakat av en excentriskt (excentriskt) pålagd kraft P kan också fastställas genom att föreställa sig tvärsnittet i form av en platta monterad på en axel, axeln för som sammanfaller med axeln ; plattan vilar på en styv bas genom ett fjädersystem (fig. 12.9).

Momentet från kraften P, visat till exempel i fig. 12.9, får plattan att rotera runt z-axeln, vilket resulterar i att fjädrarna under den skuggade delen av plattan komprimeras; Följaktligen uppstår i denna del av balksektionen tryckspänningar från ögonblicket. På liknande sätt, för att fastställa tecknet på spänningarna från ögonblicket, är det nödvändigt att föreställa sig plattan fixerad på en axel, vars axel sammanfaller med y-axeln.

Formel (12.9) tjänar till att bestämma normala spänningar vid vilken punkt som helst i tvärsnittet under excentrisk spänning och kompression.

Formel (12.9) kan representeras enligt följande:

var är tröghetsradien för strålens tvärsnitt i förhållande till gnuernas huvudsakliga centrala tröghetsaxlar.

Man bör komma ihåg att i formlerna (10.9)-(14.9) är y- och z-axlarna de huvudsakliga centrala tröghetsaxlarna för strålens tvärsnitt.

Formlerna (12.9)-(14.9) är lämpliga att använda när resultanten av inre krafter i strålens tvärsnitt (dvs kraften P) och koordinaterna för dess appliceringspunkt (pol) är kända. Formel (10.9) är bekväm att använda när de inre krafterna som verkar i tvärsnittet är kända.

Varianter av diagram över normala spänningar som uppstår i tvärsnittet av en balk under excentrisk kompression (dvs med en negativ kraft P) visas i axonometri i fig. 13.9.

De begränsas på ena sidan av tvärsnittsplanet 1-2-3-4 och på den andra av planet 1-2-3-4. Ordinaterna för diagrammen vid sektionens tyngdpunkt (vid y = z = 0) är lika

Alla ordinater i diagrammet som visas i fig. 13.9, a, är negativa, eftersom planet som begränsar dem inte skär planet 1-2-3-4 inom strålens tvärsnitt. Ordinaterna för diagrammet som visas i fig. 13.9, b, på ena sidan av den räta linjen är de negativa och på den andra är de positiva.

Den räta linjen är skärningslinjen för 1-2-3-4-planet med strålens tvärsnittsplan. Vid alla punkter som ligger på den räta linjen pp är spänningarna a lika med noll, och därför är denna räta linje den neutrala axeln (nolllinjen).

Låt oss bestämma positionen för den neutrala axeln (Fig. 14.9). För att göra detta likställer vi den högra sidan av uttrycket (14.9) med noll:

Sedan dess

Uttryck (15.9) är en ekvation för en rät linje (eftersom koordinaterna y och ingår i den till första graden) och representerar den neutrala axelns ekvation. För att bestämma positionen för den neutrala axeln hittar vi ordinatan för punkt B i dess skärning med y-axeln (fig. 14.9); abskissan av denna punkt och därför, baserat på uttryck (15.9)

Abskissan för punkt C i skärningspunkten mellan den neutrala axeln och axeln är lika med (Fig. 14.9), och ordinatan för denna punkt

Så, värdena för segmenten avskurna av den neutrala axeln (nolllinjen) på koordinataxlarna bestäms av uttrycken:

Av dessa uttryck följer:

1) positionen för nolllinjen beror inte på storleken och tecknet för kraften P;

2) nolllinjen och polen ligger på motsatta sidor av origo;

4) om polen är belägen på en av huvudtröghetsaxlarna, är nolllinjen vinkelrät mot denna axel; till exempel när polen är placerad på axeln, det vill säga neutralaxeln är parallell med y-axeln.

Med excentrisk spänning och kompression är de normala spänningarna vid varje punkt av tvärsnittet av balken, som vid böjning, direkt proportionella mot avståndet från denna punkt till den neutrala axeln. De största spänningarna uppstår vid tvärsnittspunkterna längst bort från neutralaxeln.

Diagrammet över normala spänningar, vars värden är plottade från en linje vinkelrät mot den neutrala axeln, visas i fig. 14.9.

Varje ordinata i detta diagram bestämmer storleken på normala spänningar som uppstår vid tvärsnittspunkter belägna på den räta linjen DD som går genom denna ordinata parallellt med den neutrala axeln. För att konstruera detta diagram räcker det att bestämma positionen för den neutrala axeln och beräkna de normala spänningarna vid en av punkterna i tvärsnittet (ej placerad på denna axel), till exempel i sektionens tyngdpunkt. Med hjälp av ett sådant diagram bestäms värdena för normala spänningar vid alla punkter i tvärsnittet lättast.

Beräkning av hållfastheten hos en stång som komprimeras eller sträcks av excentriskt applicerade längsgående yttre krafter (dvs. i frånvaro av tvärkrafter) utförs enklast, eftersom de inre krafterna i detta fall är desamma i alla tvärsnitt av varje sektion av staven. stav. Detta eliminerar behovet av att bestämma ett farligt tvärsnitt, eftersom med en stång med konstanta tvärmått inom varje sektion är alla sektioner av en sektion lika farliga. Med en stav med variabla tvärmått är sektionen med den minsta storleken inom varje sektion farlig.

Om det finns tvärkrafter i stavens tvärsnitt, förändras böjmomenten kontinuerligt längs stavens längd, och därför blir bestämningen av den farliga sektionen svårare. Vanligtvis görs i sådana fall ett hållfasthetstest genom att bestämma normalspänningarna i ett antal sektioner (som förmodligen kan vara farliga) och jämföra dem med de tillåtna spänningarna.

För att bestämma positionen för farliga punkter i sektionen, bör linjer dras parallellt med den neutrala axeln, vidrör sektionens kontur. På så sätt hittas sektionspunkter placerade på båda sidor om den neutrala axeln och längst bort från den, vilket kan vara farligt.

Exempel.

För ett givet stavbelastningsschema (fig. 52), konstruera diagram över tvärkraften Q y (z) och böjmomentet M x (z) med följande initiala data: L = 5 kNm, P = 10 kN, q = 20 kN/m, l = 1 m.

Låt oss skriva ner ekvationerna för tvärkrafter och böjmoment:

Q y (z) = Q y (0) │ 1 – P - q×(z - l) │ 2

M x (z) = M x (0) + Q y (0)×z│ 1 - P×(z - l) - q×(z - l) 2 /2│ 2

I enlighet med villkoren för att fästa stången skriver vi gränsvillkoren i följande form: M x (0) = - L,

För att hitta den okända reaktionen Q y (0) är det nödvändigt att likställa böjmomentekvationen till noll vid koordinaten z = 3l:

Mx (3l) = Mx (0) + Qy (0)x3l - Px(3l - 1) - qx(3l - 1)2/2 = 0.

Löser vi denna ekvation för Q y (0), får vi Q y (0) = 21,67 kN.

Nu, med hänsyn till de hittade konstanterna, kan ekvationerna för integralegenskaper skrivas om i följande form:

Q y (z) = 21,67│ 1 – P – q×(z - l) │ 2

M x (z) = -L + 21,67z│ 1 – P×(z - l) – q×(z - l) 2 /2│ 2

Vi kommer att konstruera grafer på samma sätt som i exempel 1.

1 sektion 0 ≤ z ≤ l:

Q y (0) = 21,67 kN,

Q y (l) = 21,67 kN,

M x (0) = -5 kNm,

M x (l) = -5 + 21,67*1 = 16,67 kNm.

2 sektion l ≤ z ≤ 3l:

Q y (l) = 21,67 – 10 = 11,67 kN,

Q y (3l) = 21,67 – 10 – 20*(3 - 1) = -28,33 kN,

M x (l) = -5 + 21,67*1 – 10(1 – 1) – 20(1 – 1) = 16,67 kNm,

M x (3l) = -5 + 21,67*3 – 10(3 – 1) – 20(3 – 1) =0 kNm.

Låt oss bestämma koordinaterna för extremumet och värdena för böjmomentfunktionen vid extrempunkten:

Q y (z1) = 21,67 – P – q (z1 - l) = 0 → z1 = 1,58 m.

M x (1,58) = -L + 21,67 1,58 – P (1,58 - 1) – q (1,58 - 1) 2/2 = 20,07 kNm.

Baserat på de beräknade värdena konstrueras grafer över skjuvkraft och böjmoment (Fig. 52).

Med excentrisk spänning sammanfaller inte resultanten av yttre krafter med stavens axel, som med vanlig spänning, utan förskjuts relativt z-axeln och förblir parallell med den (fig. 53).

Låt punkt A för applicering av de resulterande yttre krafterna ha koordinater (x 0, y 0) i tvärsnittet. Sedan, i förhållande till huvudaxlarna, ger den resulterande kraften P momenten:

M x = P×y 0,

M y = - P×x 0.

Excentrisk spänningskompression visar sig således vara relaterad till sned böjning. Till skillnad från den senare, med excentrisk spänning i tvärsnittet av stången, uppstår inte bara böjmoment utan också en normal kraft:

Vid en godtycklig punkt B med koordinater (x, y) bestäms normalspänningen av följande uttryck:

Det rumsliga spänningsdiagrammet bildar ett plan. Ekvationen neutral linje får vi, likställer spänningen med noll:

Vid excentrisk spänningskompression, till skillnad från sned böjning, passerar inte den neutrala linjen genom sektionens tyngdpunkt. För positiva x 0 och y 0 måste minst en av storheterna x eller y som ingår i ekvation (100) vara negativ. Följaktligen, om punkten för applicering av kraften P är i den första kvadranten, passerar den neutrala linjen från den motsatta sidan av tyngdpunkten genom kvadranter 2, 3 och 4 (fig. 54).

Avstånd från origo till någon rak linje

som du vet från kursen analytisk geometri, lika med

Följaktligen, när kraftens appliceringspunkt närmar sig sektionens tyngdpunkt, rör sig den neutrala linjen bort från den.

I gränsen vid x 0 =y 0 =0, när kraften P appliceras i tyngdpunkten, är neutrallinjen vid oändligheten. I detta fall fördelas spänningarna jämnt över tvärsnittet.

Av ovanstående följer att under excentrisk spänning och kompression kan neutrallinjen både skära sektionen och vara placerad utanför den. I det första fallet uppstår både drag- och tryckspänningar i sektionen. I det andra fallet kommer spänningarna vid alla punkter i sektionen att ha samma tecken.

I närheten av tyngdpunkten finns ett område som kallas sektion kärna. Om spåret av kraften P är placerat inuti sektionens kärna, kommer spänningarna på alla punkter av sektionen att ha samma tecken. Om en kraft appliceras utanför sektionens kärna kommer neutrallinjen att skära sektionen och spänningarna i sektionen blir både tryck- och draghållfasta. När kraftens appliceringspunkt ligger på kärnans gräns, berör den neutrala linjen sektionens kontur. För att bestämma sektionens kärna måste du föreställa dig att den neutrala linjen rullar runt sektionen. Påläggningspunkten för kraften kommer att rita konturerna av kärnan.

Grundläggande begrepp och definitioner………………………………………………………………………

Fysisk och matematisk modell……………………………………………………….

Geometriska egenskaper för sektionen…………………………………………………………

Förändring i geometriska egenskaper vid parallell överföring av koordinataxlar………………………………………………………………………………………….

Ändra geometriska egenskaper vid rotation av koordinataxlar...

Geometriska egenskaper hos komplexa sektioner………………………………

Sektionsmetod. Inre krafter…………………………………………………

Spänning. Spänt tillstånd vid en punkt i kroppen………………………………

Integrerade egenskaper för spänningar vid en punkt…………………………………..

Normala spänningar i tvärsnittsplanet…………………………

Lagen för parning av tangentiella spänningar………………………………………………………………...

Påfrestningar på lutande plattformar………………………………………………………………………

Huvudområden och huvudbelastningar………………………………………….

Extrema egenskaper hos huvudspänningar. Tårtdiagram Mora…..

Dragprovning av material. Spänningsdiagram………………..

Matematisk modell av mekaniken hos en solid deformerbar kropp………………

Deformerat tillstånd av kroppen………………………………………………………………………………………

Tangentiella spänningar under vridning……………………………………………….

Skjuvspänningar vid böjning. Zhuravskys formel…………………

Teorier (hypoteser) om styrka………………………………………………………………

Spänning (kompression) av stavar…………………………………………………………..

Torsion av stavar……………………………………………………………………….

Böjning av stavar………………………………………………………………………………………………………

Excentrisk spänning och kompression………………………………………………………………………

LITTERATUR

1. Feodosiev V.I. Materialets styrka: Lärobok. för universiteten. – M.: Nauka., 1998. – 512 sid.

2. Aleksandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Materialets styrka: Lärobok. för universiteten. – M.: Högre skola, 1995. – 560 sid.

3. Pisarenko G.S., Yakovlev A.P., Matveev V.V. Handbook of Strength of Materials. – Kiev: Naukova Dumka, 1988. – 736 s.

4. Beräkning av raka stavar för styrka. Metod.för.indikation. S.A.Devyatov, Z.N.Sokolovsky, E.P.Stepanova.2001.76s.

Excentrisk spänning eller kompression Denna typ av deformation av en stång kallas där en längsgående kraft och böjmoment (och kanske tvärkrafter) uppstår i dess tvärsnitt.

Longitudinell kraft och böjmoment kan betraktas som ett resultat av verkan av en excentriskt applicerad kraft på stången (fig. 25). Det är därför som denna typ av komplext motstånd kallas excentrisk spänning eller kompression.

Böjmoment är relaterade till koordinaterna för kraftanvändningspunkten av relationerna. Därför, från (1), formel (1) Kap. 3 och principen om oberoende av krafternas verkan för normala spänningar vid en godtycklig punkt av vilket tvärsnitt som helst med koordinater x, y får vi

Neutral axel under excentrisk spänning eller kompression. Ekvationen för tvärsnittets neutralaxel, vid vars spänningar är noll, har i detta fall formen

Det är lätt att se att den neutrala axeln inte passerar genom sektionens tyngdpunkt. De återstående egenskaperna är desamma som för snedböjning. Dessutom påpekar vi ytterligare en egenskap hos den neutrala axeln under excentrisk spänning eller kompression: den neutrala axeln skär inte fjärdedelen av sektionen där kraften appliceras

Sektion kärna. Positionen för den neutrala axeln, som framgår av ekvation (4), beror på koordinaterna för kraftens appliceringspunkt , i ett område som kallas sektionens kärna, då passerar den neutrala axeln utanför tvärsnittet, dvs. alla punkter i sektionen upplever normala spänningar av samma tecken. I fig. Figur 26 visar kärnor för rektangulära och cirkulära sektioner.

Hållfasthetsförhållanden för excentrisk spänning eller kompression har formen av begränsningar av maximal normalspänning.

Exempel. Beräkna de maximala normalspänningarna i tvärsnittet av en excentriskt komprimerad stång med rektangulärt tvärsnitt vid (Fig. 27). Punkt K för applicering av kraft har koordinater (fig. 27, b).

Lösning. Låt oss räkna geometriska egenskaper avsnitt:

Ekvationen för den neutrala axeln (4) har formen. Från dess läge (fig. 27, b) är det tydligt att B och C är de mest belastade punkterna

För att bestämma de inre krafterna i balkens tvärsnitt under excentrisk spänning (kompression) ersätter vi givet system krafter på ett statiskt ekvivalent system av andra krafter. Baserat på Saint-Venant-principen kommer en sådan ersättning inte att orsaka förändringar i belastnings- och deformationsförhållandena för delar av balken som är tillräckligt långt från platsen för applicering av krafter.

Först flyttar vi kraftens appliceringspunkt till axeln och applicerar en kraft vid denna punkt som är lika med kraften, men i motsatt riktning (Fig. 3.2). För att lämna en kraft på axeln är det nödvändigt att lägga till verkan av ett par krafter markerade med två linjer, eller ett ögonblick. Därefter överför vi kraften till sektionens tyngdpunkt och vid denna punkt applicerar vi en kraft lika med kraften, men i motsatt riktning (fig. 3.2). För att hålla kraften i tyngdpunkten är det nödvändigt att lägga till ytterligare ett kraftpar, markerade med kors, eller ett ögonblick, till dess verkan.

Således är verkan av en kraft som appliceras excentriskt på en sektion ekvivalent med den kombinerade verkan av en centralt applicerad kraft och två externa koncentrerade moment och.

Med hjälp av snittmetoden är det lätt att fastställa att i alla tvärsnitt av en excentriskt sträckt (komprimerad) balk verkar följande inre kraftfaktorer: längsgående kraft och två böjmoment och (Fig. 3.3).

Vi bestämmer spänningarna i balkens tvärsnitt med hjälp av principen om oberoende av krafternas verkan. Normala spänningar uppstår från alla inre kraftfaktorer i tvärsnitt. Tecken på stress bestäms av deformationernas natur: plus - spänning, minus - kompression. Låt oss placera tecknen på spänningar från var och en av de inre kraftfaktorerna vid de punkter där axlarna skär varandra och med tvärsnittskonturen (Fig. 3.3). På grund av den längsgående kraften är tvärsnitten identiska och positiva på alla punkter; från ögonblicket vid stresspunkten - plus, vid punkten - minus, vid punkterna och, därför att axeln är i detta fall en neutral linje; från ögonblicket vid stresspunkten - plus, vid punkten - minus, vid punkterna och, därför att axeln i detta fall är neutrallinjen.

Den totala spänningen vid en punkt med koordinater och kommer att vara lika med:

Den mest belastade punkten i en friformssektion är den punkt som är längst bort från neutrallinjen. På grund av detta, stor betydelse frågor relaterade till bestämning av neutrallinjens position uppstår.

Fastställande av neutrallinjens position

Positionen för den neutrala linjen kan bestämmas med formeln (3.1), där normalspänningarna likställs med noll

här och är koordinaterna för en punkt som ligger på den neutrala linjen.

Det sista uttrycket kan transformeras med hjälp av formlerna för gyrationsradier: och. Sedan

Av ekvation (3.2) är det tydligt att den neutrala linjen under excentrisk spänning (kompression) är en rät linje som inte går genom origo för koordinater (tvärsnittets tyngdpunkt).

Låt oss rita denna räta linje genom två punkter som ligger på koordinataxlarna (Fig. 3.4). Låt punkt 1 ligga på axeln, då blir dess koordinater och, och punkt 2 – på axeln, då blir dess koordinater och (baserat på ekvation (3.2)).

Om koordinaterna för kraftens appliceringspunkt (polen) är positiva, så är koordinaterna för punkterna 1 och 2 negativa, och vice versa. Således är polen och den neutrala linjen placerade på motsatta sidor av origo.

Genom att bestämma neutrallinjens position kan du identifiera farliga punkter i sektionen, d.v.s. punkter där normala påfrestningar tar högsta värden. För att göra detta, konstruera tangenter till snittkonturen parallellt med neutrallinjen. Kontaktpunkterna kommer att vara farliga (fig. 3.4).

Hållfasthetsförhållandena för farliga punkter beror på egenskaperna hos det material som virket är tillverkat av. Eftersom sprött material har olika egenskaper under förhållanden av spänning och kompression - motstår dåligt spänning och bra kompression, hållfasthetsförhållandena är för två punkter: där den maximala drag- (t.) och maximala tryckspänningen (t.) verkar (Fig. 3.4)

För ett plastmaterial som i lika hög grad motstår både drag och tryck, upprättas ett hållfasthetsvillkor för den tvärsnittspunkt där de maximala normalspänningarna i absolut värde uppstår. I vårt fall är en sådan punkt den punkt där spänningar av samma tecken verkar

Konceptet med en sektionskärna

När man konstruerade en neutral linje (fig. 3.4) bestämdes koordinaterna för punkterna 1 och 2, genom vilka den ritades

Koordinaterna för de punkter som ligger på den neutrala linjen beror på läget för kraftens (polens) appliceringspunkt med koordinaterna. Om polkoordinaterna minskar, d.v.s. polen närmar sig sektionens tyngdpunkt, då ökar de, d.v.s. neutrallinjen kan sträcka sig bortom sektionen eller vidröra sektionens kontur. I det här fallet kommer spänningar av samma tecken att uppstå i sektionen.

Appliceringsområdet för längsgående krafter, som i detta fall orsakar spänningar av samma tecken i tvärsnittet, kallas sektion kärna.

Frågan om att bestämma sektionens kärna är mest relevant för strukturella element gjorda av sprött material som arbetar under excentrisk kompression, för att endast erhålla tryckspänningar i tvärsnittet, eftersom sprött material motstår inte dragdeformation väl. För att göra detta är det nödvändigt att ställa in ett antal positioner för den neutrala linjen, dra den genom konturens gränspunkter och beräkna koordinaterna för motsvarande punkter för applicering av kraften, enligt formlerna som följer från (3.5) ).

Den geometriska platsen för punkterna beräknade på detta sätt kommer att bestämma konturen av sektionskärnan. I fig. Figur 3.6 visar exempel på sektionskärnor för vanliga former.

Låt oss överväga ett exempel på beräkningar för excentrisk spänningskompression.

Exempel 3.1. En stålremsa =10 cm bred och =1 cm tjock, centralsträckt av krafter =70 kN, har en slits =3 cm bred (Fig. 3.6). Bestäm de högsta normalspänningarna i sektionen, utan att ta hänsyn till spänningskoncentrationer. Hur bred skulle slitsen kunna vara med samma dragkraft om den var placerad i mitten av bandbredden?

Lösning. Med en asymmetrisk slits skiftar tyngdpunkten för den försvagade sektionen från kraftens rörelselinje till höger och excentrisk spänning uppstår. För att bestämma tyngdpunktens position (), föreställer vi oss den försvagade sektionen som en stor rektangel med dimensioner (figur I) från vilken en liten rektangel med dimensioner (figur II) har tagits bort. Låt oss ta axeln som den initiala axeln.

I detta fall uppstår två inre kraftfaktorer i tvärsnittet: längsgående kraft och böjmoment.

För att bestämma den farliga punkten kommer vi att placera spänningstecken på tvärsnittets sidosidor (fig. 3.6). På grund av den längsgående kraften uppstår positiva (drag)spänningar på alla punkter av sektionen. Från böjmomentet finns dragspänningar till vänster om axeln (plustecken), och tryckspänningar till höger (minustecken).

Således uppstår de maximala normalspänningarna i den sk

var är arean av den försvagade sektionen, lika med = 7 cm 2;

Tröghetsmoment för den försvagade sektionen kring huvudaxeln

Avstånd från den neutrala linjen () till den mest avlägsna punkten (t.)

Som ett resultat kommer de maximala normalspänningarna att vara lika med

Med en symmetrisk slitsbredd uppstår endast spänningar

med hjälp av ovanstående metoder för att bestämma förskjutningar. Det visades tidigare att för

fallet med en balk fastklämd i ena änden och belastad i den fria änden

koncentrerad				kraft F, avböjning av änden av konsolen in			vertikala och horisontella
talplanet bestäms enligt följande
d y =	FCosa × l			d x =	FSina × l3
	3 EI x				3 EI y

Lutningsvinkeln för den totala förskjutningsvektorn i förhållande till y-axeln:

tgg =			FSina × l3	× 3 EI x	Tg a
			3 EI y × FCosa × l3

Av (8.12) följer att under sned böjning γ ≠ α och därför förskjutning

mitten av sektionen minskar inte i böjmomentets verkningsplan,

och i riktning mot normalen till neutrallinjen (se 8.8).

När en rak balk böjs snett av laster placerade i ett plan, kommer balkens elastiska linje att vara en platt kurva. Dock böjplanet

ba sammanfaller inte med lastens verkningsplan. Om yttre krafter och par,

böjningsbalkar kommer att placeras i olika plan, då kommer strålens krökta axel att vara rumslig

8.2 Excentrisk spänning (kompression)

Excentrisk spänning (kompression) orsakad av en kraft parallell med

strålens axel, men inte sammanfallande med den (Figur 8.5).

Figur 8.5 - Excentrisk spänning av stången

Kraftens appliceringspunkt kallas tryckcentrum och avståndet från tyngdpunkten till kraftanbringningspunkten kallas excentricitet och omkrets.

betyder "e".

8.2.1. Bestämning av normalspänningar vid excentrisk

stretching (kompression)

Låt appliceringspunkten för den yttre kraften ha koordinater x F , y F (Fig.

nok 8,5). Med ett sådant laddningsschema är inre kraftfaktorer i produktionen

fria tvärsnitt av balken är lika med:

N=F,

M x = F × y F ,

M y = F × xF,

där y F, z F är koordinaterna för kraftens appliceringspunkt.

Således, om vi överför kraften P till sektionens tyngdpunkt (Figur

8.5.b), då kan excentrisk spänning (kompression) reduceras till axiell spänning (kompression) och ren snedböjning.

s(x, y) =

F×xF

F×yF

s(x, y) =

där i x =

jag y =

sektionens tröghetsradie.

Ix/A

Ix/A

Uttrycket inom parentes i ekvation (8.15) visar hur många gånger per

spänningar under excentrisk spänning (kompression) är större än spänningarna i centralen

trålsträcka. Variablerna i formel (8.15) är de två sista termerna, vilket återspeglar påverkan av böjning. Eftersom under böjning den maximala stressen

spänningar uppstår vid punkter längst bort från den neutrala axeln, för att sedan fastställa de farligaste punkterna under excentrisk spänning eller kompression

Det är nödvändigt att bestämma positionen för den neutrala axeln.

8.2.2 Bestämma neutrallinjens position under excentrisk spänning (kompression)

Låt oss beteckna koordinaterna för punkterna på den neutrala axeln x o , y o . Att bestämma

positionen för den neutrala axeln, likställer vi uttryck (8.15) till noll och efter förkortning

Baserat på F/A får vi neutrallinjens ekvation:

						y = 0
		iy 2			ix 2

Av ekvation (8.17) följer att neutrallinjen under excentrisk spänning (kompression) inte passerar genom sektionens tyngdpunkt. Den neutrala linjen skär av segmenten x n, y n på koordinataxlarna (Figur 8.6). Att hitta från-

skarp x n, avskuren på x-axeln, är det nödvändigt att sätta x o = x n, y o = 0 i ekvation (8.16).

Då får vi:

			ix 2		x = -	iy 2

Från formel (8.17) är det tydligt att punkten för applicering av kraften och den neutrala linjen

linjer är alltid placerade på motsatta sidor av sektionens tyngdpunkt, och neutrallinjens position bestäms av koordinaterna för kraftens appliceringspunkt (Figur 8.6).

För att bestämma de farligaste punkterna är det nödvändigt att rita tangenter till sektionskonturen parallellt med neutrallinjen. Det mest framgångsrika

de identifierade kontaktpunkterna A och B, belägna i den sträckta och komprimerade zonen, är

är de farligaste (Figur 8.6). Spänningsdiagrammet är ritat på axeln,

vinkelrät mot den neutrala snittlinjen och begränsad till en rät linje.

Styrkevillkoret har följande form:

F×xF

× x

F×yF

× y

A £

där y F , z F är koordinaterna för den farliga punkten och [σ ] är den tillåtna drag- och tryckspänningen.

Figur 8.6 - Fastställande av neutrallinjens position

I de fall där tryckspänning appliceras på den punkt som är längst bort från neutrallinjen och materialet i konstruktionselementet är sprött,

Den punkt där den största dragspänningen verkar kan vara farlig.

8.2.3 Bestämning av sektionskärnan

När kraftens appliceringspunkt närmar sig sektionens tyngdpunkt (x n och y n ökning i absolut värde), kommer den neutrala linjen att flytta sig bort från mitten. I detta fall ökar andelen spänningar av samma tecken i sektionen, eftersom böjspänningar minskar. I gränsen vid x F = y F = 0, flyttas den neutrala linjen till oändlighet. I detta fall kommer central spänning (kompression) av strålen att uppstå.

Det är alltid möjligt att hitta en position för kraftappliceringspunkten vid vilken

Den neutrala linjen kommer att beröra sektionskonturen utan att skära den någonstans.

I det här fallet kommer spänningarna i tvärsnittet bara att ha ett tecken. Zonen nära sektionens tyngdpunkt, appliceringen av en längsgående belastning i vilken orsakar uppkomsten av spänningar av endast ett tecken på alla punkter i sektionen, kallas

sektionskärnan. Så länge kraftanvändningspunkten är inuti kärnan,

neutrallinjen skär inte sektionens kontur och spänningarna i hela sektionen

de kommer att ha samma tecken. Om punkten för applicering av kraften är belägen utanför kärnan, skär den neutrala linjen sektionens kontur, och sedan i sektionen kommer det att finnas

skapa påfrestningar av olika tecken. Denna omständighet måste studeras

att användas vid beräkning av konstruktionselement från ömtåliga material, dåligt re-

tar dragbelastningar. I det här fallet är det nödvändigt att ansöka

applicera yttre krafter så att endast tryckspänningar verkar genom hela sektionen. För att göra detta måste appliceringspunkten för de resulterande yttre krafterna vara placerad inuti sektionens kärna.

För att konstruera tvärsnittskärnan är det nödvändigt att ställa in olika positioner

riktningarna för den neutrala axeln och beräkna motsvarande punkter för applicering av kraften

F enligt formlerna (8.17).

iy 2

rons b och h. Låt oss först rikta in den neutrala linjen med en av sidorna av den räta linjen. triangel (position I-I). I detta fall är koordinaterna för den neutrala linjen lika xí = -b; y í = ¥ , och givet det Från formel (8.17) får vi för punkt 1" Rikta nu neutrallinjen med den andra sidan (position II- II). Koordinaterna för neurallinjen i denna position är x = ¥; Sedan koordinaterna för punkt 2" av sektionskärnan På samma sätt bestämmer vi koordinaterna för punkterna 3" och 4". Eftersom när den neutrala linjen passerar från den ena sidan till den andra, roterar den runt sektionens hörnpunkt, då kraftens appliceringspunkt rör sig i en rak linje och bildar kärnans kontur. Sålunda är kärnan i tvärsnittet rak en triangel är en romb med diagonaler lika med en tredjedel av den ansvariga parten. Låt oss bygga en kärna för ett cirkulärt tvärsnitt (Figur 8.8). Figur 8.8 - Sektionskärna för en cirkulär sektion I en cirkel är alla centrala axlar huvudaxlar, därför, när man vidrör den neutrala linjen I-I vid någon punkt på cirkeln, kommer punkt I" i sektionens kärna att vara ligga på samma diameter på motsatt sida i förhållande till mitten allvar. Den neutrala linjens position bestäms av koordinaterna: x í = R, y í = ¥. Sedan koordinaterna för punkt 1" av kärnan Således är sektionskärnan för en cirkulär sektion en cirkel med radien R/4 eller d/8. Staven belastas med en excentriskt pålagd kraft P = 400 kN (tillskriven nr 8.9). Bestäm spänningarna vid punkterna A, B, C och D. Tvärsnittsmåtten för den detaljer på bilden. Bestäm positionen för den neutrala axeln. Spänningar under excentrisk spänningskompression bestäms av formeln (8.15) s(x, y) = Figur 8.9 – Exempel på excentrisk lastapplikation 1. Bestäm tröghetsmomenten för tvärsnittet