Lös det givna systemet med Cramers metod. Matrisåtgärder

Låt systemet med linjära ekvationer innehålla lika många ekvationer som antalet oberoende variabler, d.v.s. har formen

Sådana system linjära ekvationer kallas kvadrat. Determinanten som är sammansatt av koefficienterna för systemets oberoende variabler (1.5) kallas systemets huvuddeterminant. Vi kommer att beteckna det med den grekiska bokstaven D. Således,

. (1.6)

Om i huvuddeterminanten en godtycklig ( j th) kolumn, ersätt den med kolumnen med fria medlemmar i systemet (1.5), då kan vi få fler n hjälpdeterminanter:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramers regel att lösa kvadratiska system av linjära ekvationer är som följer. Om huvuddeterminanten D för systemet (1.5) inte är noll, har systemet en unik lösning, som kan hittas med formlerna:

(1.8)

Exempel 1.5. Lös ekvationssystemet med Cramers metod

.

Låt oss beräkna huvuddeterminanten för systemet:

Sedan D¹0 har systemet en unik lösning som kan hittas med formler (1.8):

Således,

Matrisåtgärder

1. Multiplikation av en matris med ett tal. Operationen att multiplicera en matris med ett tal definieras enligt följande.

2. För att multiplicera en matris med ett tal, måste du multiplicera alla dess element med detta tal. Det är

. (1.9)

Exempel 1.6. .

Matristillägg.

Denna operation introduceras endast för matriser av samma ordning.

För att lägga till två matriser är det nödvändigt att lägga till motsvarande element i den andra matrisen till elementen i en matris:

(1.10)
Operationen av matrisaddition har egenskaperna associativitet och kommutativitet.

Exempel 1.7. .

Matrismultiplikation.

Om antalet matriskolumner A matchar antalet matrisrader I, för sådana matriser introduceras multiplikationsoperationen:

2

Alltså när man multiplicerar matrisen A mått m´ n till matris I mått n´ k vi får en matris MED mått m´ k. I det här fallet, elementen i matrisen MED beräknas enligt följande formler:

Problem 1.8. Hitta, om möjligt, produkten av matriser AB Och BA:

Lösning. 1) Att hitta ett arbete AB, du behöver matrisrader A multiplicera med matriskolumner B:

2) Konstverk BA existerar inte, eftersom antalet kolumner i matrisen B matchar inte antalet matrisrader A.

Invers matris. Lösa linjära ekvationssystem på ett matrissätt

Matris A- 1 kallas inversen av en kvadratisk matris A om jämställdheten gäller:

vart igenom jag betecknar identitetsmatrisen av samma ordning som matrisen A:

.

För att en kvadratisk matris ska ha en invers är det nödvändigt och tillräckligt att dess determinant inte är noll. Den inversa matrisen hittas av formeln:

, (1.13)

Var A ij - algebraiska tillägg till elementen aij matriser A(observera att algebraiska tillägg till raderna i matrisen Aär arrangerade i den inversa matrisen i form av motsvarande kolumner).

Exempel 1.9. Hitta invers matris A- 1 till matris

.

Vi hittar den inversa matrisen med formeln (1.13), vilket för fallet n= 3 ser ut som:

.

Låt oss hitta det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Eftersom determinanten för den ursprungliga matrisen skiljer sig från noll, existerar den inversa matrisen.

1) Hitta algebraiska tillägg A ij:

För bekvämligheten att hitta invers matris, placerade vi de algebraiska tilläggen till raderna i den ursprungliga matrisen i motsvarande kolumner.

Från de erhållna algebraiska tilläggen komponerar vi en ny matris och dividerar den med determinanten det A. Således får vi den inversa matrisen:

Kvadratiska system av linjära ekvationer med en huvuddeterminant som inte är noll kan lösas med hjälp av en invers matris. För detta skrivs system (1.5) i matrisform:

Var

Multiplicera båda sidor av likhet (1,14) till vänster med A- 1 får vi lösningen av systemet:

, var

För att hitta en lösning på ett kvadratiskt system måste du alltså hitta den inversa matrisen till systemets huvudmatris och multiplicera den till höger med kolumnmatrisen med fria termer.

Problem 1.10. Lös ett system av linjära ekvationer

med hjälp av en invers matris.

Lösning. Vi skriver systemet i matrisform: ,

Var är systemets huvudmatris, är kolumnen av okända och är kolumnen för fria medlemmar. Eftersom systemets huvudsakliga bestämningsfaktor , sedan systemets huvudmatris A har en invers matris A-1 . För att hitta den inversa matrisen A-1 , beräkna de algebraiska komplementen till alla element i matrisen A:

Från de erhållna talen komponerar vi en matris (desutom algebraiska tillägg till matrisens rader A skriv i lämpliga kolumner) och dividera det med determinanten D. Sålunda har vi hittat den inversa matrisen:

Vi finner lösningen av systemet med formeln (1.15):

Således,

Lösa system av linjära ekvationer genom vanliga Jordan-undantag

Låt ett godtyckligt (inte nödvändigtvis kvadratiskt) system av linjära ekvationer ges:

(1.16)

Det krävs att man hittar en lösning på systemet, d.v.s. en sådan uppsättning variabler som uppfyller alla systemets likheter (1.16). I det allmänna fallet kan systemet (1.16) inte bara ha en lösning utan också ett oändligt antal lösningar. Det kanske inte heller har några lösningar alls.

När man löser sådana problem används metoden att eliminera okända, välkänd från skolkursen, som också kallas metoden för vanliga Jordan-eliminationer. Kärnan i denna metod ligger i det faktum att i en av systemekvationerna (1.16) uttrycks en av variablerna i termer av andra variabler. Sedan ersätts denna variabel i andra ekvationer i systemet. Resultatet är ett system som innehåller en ekvation och en mindre variabel än det ursprungliga systemet. Ekvationen från vilken variabeln uttrycktes kommer ihåg.

Denna process upprepas tills en sista ekvation finns kvar i systemet. I processen att eliminera okända, kan vissa ekvationer förvandlas till sanna identiteter, till exempel. Sådana ekvationer är uteslutna från systemet, eftersom de är giltiga för alla värden på variablerna och därför inte påverkar systemets lösning. Om, i processen att eliminera okända, åtminstone en ekvation blir en likhet som inte kan uppfyllas för några värden på variablerna (till exempel ), drar vi slutsatsen att systemet inte har någon lösning.

Om det inte uppstod inkonsekventa ekvationer under loppet av lösningen, hittas en av de återstående variablerna i den från den sista ekvationen. Om bara en variabel finns kvar i den sista ekvationen så uttrycks den som ett tal. Om andra variabler finns kvar i den sista ekvationen anses de vara parametrar, och variabeln som uttrycks genom dem kommer att vara en funktion av dessa parametrar. Sedan görs det så kallade "omvända draget". Den hittade variabeln ersätts i den senast memorerade ekvationen och den andra variabeln hittas. Sedan ersätts de två hittade variablerna i den näst sista memorerade ekvationen och den tredje variabeln hittas, och så vidare, upp till den första memorerade ekvationen.

Som ett resultat får vi lösningen på systemet. Denna lösning kommer att vara unik om de hittade variablerna är siffror. Om den första hittade variabeln, och sedan alla andra beror på parametrarna, kommer systemet att ha ett oändligt antal lösningar (varje uppsättning parametrar motsvarar en ny lösning). Formler som gör det möjligt att hitta en lösning till systemet beroende på en viss uppsättning parametrar kallas systemets allmänna lösning.

Exempel 1.11.

x

Efter att ha memorerat den första ekvationen och med liknande termer i de andra och tredje ekvationerna kommer vi fram till systemet:

uttrycka y från den andra ekvationen och ersätt den med den första ekvationen:

Kom ihåg den andra ekvationen, och från den första hittar vi z:

Genom att göra det omvända draget hittar vi successivt y Och z. För att göra detta, ersätter vi först i den sista memorerade ekvationen , från vilken vi hittar y:

.

Sedan ersätter vi och in i den första memorerade ekvationen varifrån vi hittar x:

Problem 1.12. Lös ett system av linjära ekvationer genom att eliminera okända:

. (1.17)

Lösning. Låt oss uttrycka variabeln från den första ekvationen x och sätt in den i den andra och tredje ekvationen:

.

Kom ihåg den första ekvationen

I detta system motsäger den första och andra ekvationen varandra. Verkligen uttrycka y , får vi att 14 = 17. Denna likhet är inte uppfylld, för några värden på variablerna x, y, Och z. Följaktligen är systemet (1.17) inkonsekvent, dvs. har ingen lösning.

Läsare uppmanas att självständigt verifiera att huvuddeterminanten för det ursprungliga systemet (1.17) är lika med noll.

Betrakta ett system som skiljer sig från system (1.17) med endast en fri term.

Problem 1.13. Lös ett system av linjära ekvationer genom att eliminera okända:

. (1.18)

Lösning. Som tidigare uttrycker vi variabeln från den första ekvationen x och sätt in den i den andra och tredje ekvationen:

.

Kom ihåg den första ekvationen och vi presenterar liknande termer i de andra och tredje ekvationerna. Vi kommer fram till systemet:

uttrycka y från den första ekvationen och ersätter den med den andra ekvationen , får vi identiteten 14 = 14, vilket inte påverkar systemets lösning, och därför kan det uteslutas från systemet.

I den senast memorerade likheten, variabeln z kommer att betraktas som en parameter. Vi tror . Sedan

Ersättning y Och z in i den första memorerade jämlikheten och hitta x:

.

System (1.18) har alltså en oändlig uppsättning lösningar, och vilken lösning som helst kan hittas med formler (1.19) genom att välja ett godtyckligt värde på parametern t:

(1.19)
Således är lösningarna för systemet, till exempel, följande uppsättningar av variabler (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Formler (1.19) uttrycker den allmänna (vilken som helst) lösning av systemet (1.18) ).

I fallet när det ursprungliga systemet (1.16) har tillräckligt Ett stort antal ekvationer och okända, verkar den specificerade metoden för vanliga jordanska elimineringar besvärlig. Det är det dock inte. Det räcker att härleda en algoritm för omräkning av systemets koefficienter vid ett steg in allmän syn och formalisera lösningen av problemet i form av speciella Jordan-tabeller.

Låt ett system av linjära former (ekvationer) ges:

, (1.20)
Var xj- oberoende (önskade) variabler, aij- konstanta koefficienter
(jag = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Rätt delar av systemet y i (jag = 1, 2,…, m) kan vara både variabler (beroende) och konstanter. Det krävs att hitta lösningar på detta system genom att eliminera okända.

Låt oss överväga följande operation, som kommer att kallas "ett steg av vanliga Jordan-undantag" i det följande. Från en godtycklig ( r th) likhet, vi uttrycker en godtycklig variabel ( x s) och ersätter i alla andra jämlikheter. Naturligtvis är detta endast möjligt om en rs¹ 0. Koefficient en rs kallas det upplösande (ibland vägledande eller huvudsakliga) elementet.

Vi kommer att få följande system:

. (1.21)

Från s systemlikhet (1.21), kommer vi därefter att hitta variabeln x s(efter att andra variabler har hittats). S Den e raden kommer ihåg och exkluderas därefter från systemet. Det återstående systemet kommer att innehålla en ekvation och en mindre oberoende variabel än det ursprungliga systemet.

Låt oss beräkna koefficienterna för det resulterande systemet (1.21) i termer av koefficienterna för det ursprungliga systemet (1.20). Låt oss börja med r ekvationen, som efter att ha uttryckt variabeln x s genom resten av variablerna kommer att se ut så här:

Alltså de nya koefficienterna r ekvationen beräknas med följande formler:

(1.23)
Låt oss nu beräkna de nya koefficienterna b ij(i¹ r) av en godtycklig ekvation. För att göra detta ersätter vi variabeln uttryckt i (1.22) x s V i systemets ekvation (1.20):

Efter att ha tagit med liknande termer får vi:

(1.24)
Från likhet (1.24) får vi formler med vilka de återstående koefficienterna för systemet (1.21) beräknas (med undantag för r ekvationen):

(1.25)
Omvandlingen av system med linjära ekvationer med metoden för vanliga jordanska elimineringar presenteras i form av tabeller (matriser). Dessa tabeller kallas "Jordan tables".

Således är problem (1.20) associerat med följande Jordan-tabell:

Tabell 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	ett i 1	ett i 2		aij		a är		en in
…………………………………………………………………..
y r=	ett r 1	ett r 2		en rj		en rs		ett rn
………………………………………………………………….
y n=	en m 1	en m 2		en mj		en ms		amn

Jordan tabell 1.1 innehåller den vänstra rubrikkolumnen, där de högra delarna av systemet (1.20) skrivs, och den översta rubriken, där de oberoende variablerna skrivs.

De återstående elementen i tabellen bildar huvudmatrisen av systemkoefficienter (1.20). Om vi ​​multiplicerar matrisen A till matrisen som består av elementen i den övre rubrikraden, då får vi matrisen som består av elementen i den vänstra rubrikkolumnen. Det vill säga, i huvudsak är Jordan-tabellen en matrisform för att skriva ett system av linjära ekvationer: . I det här fallet motsvarar följande Jordan-tabell systemet (1.21):

Tabell 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b är		b in
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Tillåtande element en rs vi kommer att markera i fetstil. Kom ihåg att för att implementera ett steg av Jordanienundantag måste lösningselementet vara likt noll. En tabellrad som innehåller ett tillåtande element kallas en tillåtande rad. Kolumnen som innehåller aktiveringselementet kallas för aktiveringskolumnen. När du flyttar från en given tabell till nästa tabell, en variabel ( x s) från den översta rubrikraden i tabellen flyttas till den vänstra rubrikkolumnen och, omvänt, en av de fria medlemmarna i systemet ( y r) flyttas från den vänstra rubrikkolumnen i tabellen till den översta rubrikraden.

Låt oss beskriva algoritmen för omräkning av koefficienterna i förbigående från Jordan-tabellen (1.1) till tabellen (1.2), som följer av formlerna (1.23) och (1.25).

1. Aktiveringselementet ersätts med det omvända talet:

2. De återstående elementen i den tillåtande linjen delas med det tillåtande elementet och byter tecken till motsatsen:

3. De återstående elementen i aktiveringskolumnen är uppdelade i aktiveringselementet:

4. Element som inte ingår i den lösa raden och den lösa kolumnen räknas om enligt formlerna:

Den sista formeln är lätt att komma ihåg om du märker att de element som utgör bråket , är i korsningen i-åh och r-th rader och j th och s-th kolumner (lösande rad, lösande kolumn och raden och kolumnen i skärningspunkten mellan vilka elementet som ska räknas om finns). Mer exakt, när man memorerar formeln du kan använda följande diagram:

-21 -26 -13 -37

Utför det första steget av de jordanska undantagen, vilket element i Tabell 1.3 som helst i kolumnerna x 1 ,…, x 5 (alla specificerade element är inte lika med noll). Du bör inte bara välja aktiveringselementet i den sista kolumnen, eftersom måste hitta oberoende variabler x 1 ,…, x 5 . Vi väljer till exempel koefficienten 1 med en variabel x 3 i den tredje raden i tabell 1.3 (aktiveringselementet visas i fet stil). Vid övergång till tabell 1.4, variabeln x 3:orna från den översta rubrikraden byts ut mot konstanten 0 i den vänstra rubrikkolumnen (tredje raden). Samtidigt är variabeln x 3 uttrycks i termer av de återstående variablerna.

sträng x 3 (Tabell 1.4) kan, efter att ha kommit ihåg det, exkluderas från Tabell 1.4. Tabell 1.4 exkluderar även den tredje kolumnen med en nolla i den övre rubrikraden. Poängen är att oavsett koefficienterna för denna kolumn b i 3 alla termer som motsvarar den i varje ekvation 0 b i 3 system kommer att vara noll. Därför kan dessa koefficienter inte beräknas. Eliminera en variabel x 3 och kommer ihåg en av ekvationerna, kommer vi fram till ett system som motsvarar Tabell 1.4 (med linjen överstruken x 3). Att välja i tabell 1.4 som ett lösande element b 14 = -5, gå till tabell 1.5. I tabell 1.5 minns vi den första raden och exkluderar den från tabellen tillsammans med den fjärde kolumnen (med noll överst).

Tabell 1.5 Tabell 1.6

Från den sista tabellen 1.7 finner vi: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Genom att sekventiellt ersätta de redan hittade variablerna i de memorerade raderna hittar vi de återstående variablerna:

Systemet har alltså ett oändligt antal lösningar. variabel x 5 , kan du tilldela godtyckliga värden. Denna variabel fungerar som en parameter x 5 = t. Vi bevisade systemets kompatibilitet och hittade dess allmänna lösning:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Ge parameter t olika värden får vi ett oändligt antal lösningar på det ursprungliga systemet. Så till exempel är lösningen av systemet följande uppsättning variabler (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

I den första delen behandlade vi lite teoretiskt material, substitutionsmetoden, samt metoden för term-för-term-addition av systemekvationer. Till alla som kom till sidan genom denna sida rekommenderar jag att ni läser första delen. Kanske kommer vissa besökare att tycka att materialet är för enkelt, men i samband med att lösa linjära ekvationssystem gjorde jag ett antal mycket viktiga anmärkningar och slutsatser angående lösningen av matematiska problem i allmänhet.

Och nu ska vi analysera Cramers regel, såväl som lösningen av ett system av linjära ekvationer med hjälp av den inversa matrisen (matrismetoden). Allt material presenteras enkelt, i detalj och tydligt, nästan alla läsare kommer att kunna lära sig hur man löser system med ovanstående metoder.

Vi betraktar först Cramers regel i detalj för ett system med två linjära ekvationer i två okända. För vad? - Trots allt det enklaste systemet kan lösas med skolmetoden, genom terminstillägg!

Faktum är att även om ibland, men det finns en sådan uppgift - att lösa ett system med två linjära ekvationer med två okända med hjälp av Cramers formler. För det andra, ett enklare exempel hjälper dig att förstå hur du använder Cramers regel för mer svårt fall– system med tre ekvationer med tre okända.

Dessutom finns det linjära ekvationssystem med två variabler, som det är lämpligt att lösa exakt enligt Cramers regel!

Tänk på ekvationssystemet

I det första steget beräknar vi determinanten , den kallas den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet.

Gauss metod.

Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare två determinanter:
Och

I praktiken kan ovanstående kvalificeringar också betecknas med den latinska bokstaven.

Rötterna till ekvationen hittas av formlerna:
,

Exempel 7

Lös ett system av linjära ekvationer

Lösning: Vi ser att ekvationens koefficienter är ganska stora, på höger sida finns decimalbråk med kommatecken. Kommat är en ganska sällsynt gäst i praktiska uppgifter i matematik, jag tog detta system från ett ekonometriskt problem.

Hur löser man ett sådant system? Du kan försöka uttrycka en variabel i termer av en annan, men i det här fallet kommer du säkert att få fruktansvärda fancy bråk, som är extremt obekväma att arbeta med, och designen av lösningen kommer att se bara hemsk ut. Du kan multiplicera den andra ekvationen med 6 och subtrahera term för term, men samma bråk visas här.

Vad ska man göra? I sådana fall kommer Cramers formler till undsättning.

;

;

Svar: ,

Båda rötterna har oändliga svansar och finns ungefär, vilket är ganska acceptabelt (och till och med vanligt) för ekonometriska problem.

Kommentarer behövs inte här, eftersom uppgiften löses enligt färdiga formler, men det finns en varning. När du använder denna metod, obligatorisk Uppgiftens fragment är följande fragment: "så systemet har en unik lösning". Annars kan recensenten straffa dig för att du inte respekterar Cramers teorem.

Det kommer inte att vara överflödigt att kontrollera, vilket är bekvämt att utföra på en kalkylator: vi ersätter de ungefärliga värdena på vänster sida av varje ekvation i systemet. Som ett resultat, med ett litet fel, bör siffror som är på höger sida erhållas.

Exempel 8

Uttryck ditt svar i vanliga oegentliga bråk. Gör en kontroll.

Detta är ett exempel på en oberoende lösning (exempel på findesign och svar i slutet av lektionen).

Vi övergår till övervägandet av Cramers regel för ett system med tre ekvationer med tre okända:

Vi hittar den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet:

Om , så har systemet oändligt många lösningar eller är inkonsekvent (har inga lösningar). I det här fallet kommer Cramers regel inte att hjälpa, du måste använda Gauss-metoden.

Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare tre determinanter:
, ,

Och slutligen beräknas svaret med formlerna:

Som du kan se är fallet "tre av tre" i grunden inte annorlunda än fallet "två av två", kolumnen med fria termer "går" sekventiellt från vänster till höger längs kolumnerna för huvuddeterminanten.

Exempel 9

Lös systemet med Cramers formler.

Lösning: Låt oss lösa systemet med Cramers formler.

, så systemet har en unik lösning.

Svar: .

Egentligen finns det inget speciellt att kommentera här igen, med tanke på att beslutet fattas efter färdiga formler. Men det finns ett par anteckningar.

Det händer att som ett resultat av beräkningar erhålls "dåliga" irreducerbara fraktioner, till exempel: .
Jag rekommenderar följande "behandlings"-algoritm. Om det inte finns någon dator till hands gör vi så här:

1) Det kan vara fel i beräkningarna. Så snart du stöter på ett "dåligt" skott måste du omedelbart kontrollera om är villkoret korrekt omskrivet. Om villkoret skrivs om utan fel, måste du räkna om determinanterna med hjälp av expansionen i en annan rad (kolumn).

2) Om inga fel hittades som ett resultat av kontrollen, så har troligen ett stavfel gjorts i tillståndet för uppdraget. Lös i det här fallet lugnt och FÖRSIKTIGT uppgiften till slutet, och sedan se till att kolla och upprätta den på ren kopia efter beslutet. Naturligtvis är det en obehaglig uppgift att kontrollera ett bråkdelssvar, men det kommer att vara ett avväpnande argument för läraren, som, ja, verkligen gillar att sätta ett minus för någon dålig sak som. Hur man hanterar bråk finns detaljerat i svaret för exempel 8.

Om du har en dator till hands, använd sedan ett automatiserat program för att kontrollera den, som kan laddas ner gratis i början av lektionen. Förresten, det är mest fördelaktigt att använda programmet direkt (även innan du startar lösningen), du kommer omedelbart att se det mellanliggande steget där du gjorde ett misstag! Samma kalkylator beräknar automatiskt systemets lösning med hjälp av matrismetoden.

Andra anmärkningen. Från tid till annan finns det system i ekvationerna där vissa variabler saknas, till exempel:

Här i den första ekvationen finns det ingen variabel, i den andra finns det ingen variabel. I sådana fall är det mycket viktigt att korrekt och NOGA skriva ner huvuddeterminanten:
– Nollor sätts i stället för saknade variabler.
Förresten, det är rationellt att öppna determinanter med nollor enligt raden (kolumnen) där noll finns, eftersom det finns märkbart färre beräkningar.

Exempel 10

Lös systemet med Cramers formler.

Detta är ett exempel för självbeslut (avsluta prov och svar i slutet av lektionen).

För fallet med ett system med 4 ekvationer med 4 okända, är Cramers formler skrivna enligt liknande principer. Du kan se ett levande exempel i lektionen Determinant Properties. Minska ordningen på determinanten - fem fjärde ordningens determinanter är ganska lösbara. Även om uppgiften redan påminner mycket om en professorssko på bröstet på en lycklig student.

Lösning av systemet med den inversa matrisen

Den omvända matrismetoden är i huvudsak ett specialfall matrisekvation(Se exempel nr 3 i den angivna lektionen).

För att studera detta avsnitt måste du kunna expandera determinanterna, hitta den inversa matrisen och utföra matrismultiplikation. Relevanta länkar kommer att ges när förklaringen fortskrider.

Exempel 11

Lös systemet med matrismetoden

Lösning: Vi skriver systemet in matrisform:
, Var

Titta på ekvationssystemet och matriserna. Enligt vilken princip vi skriver in element i matriser tror jag alla förstår. Den enda kommentaren: om några variabler saknades i ekvationerna, så måste nollor sättas på motsvarande platser i matrisen.

Vi hittar den inversa matrisen med formeln:
, där är den transponerade matrisen av algebraiska komplement av motsvarande element i matrisen.

Låt oss först ta itu med determinanten:

Här utökas determinanten med den första raden.

Uppmärksamhet! Om , så existerar inte den inversa matrisen, och det är omöjligt att lösa systemet med matrismetoden. I detta fall löses systemet genom eliminering av okända (Gauss-metoden).

Nu måste du beräkna 9 minderåriga och skriva in dem i matrisen av minderåriga

Referens: Det är användbart att veta innebörden av dubbla prenumerationer i linjär algebra. Den första siffran är radnumret där elementet finns. Den andra siffran är numret på kolumnen där elementet finns:

Det vill säga, en dubbel sänkning indikerar att elementet är i första raden, tredje kolumnen, medan till exempel elementet är i 3:e raden, 2:a kolumnen

För att bemästra detta stycke måste du kunna öppna kvalificeringarna "två och två" och "tre och tre". Om kvalificeringarna är dåliga, vänligen studera lektionen Hur beräknar man determinanten?

Vi betraktar först Cramers regel i detalj för ett system med två linjära ekvationer i två okända. För vad? ”Det enklaste systemet kan trots allt lösas med skolmetoden, genom att terminsvis tillägg!

Faktum är att även om ibland, men det finns en sådan uppgift - att lösa ett system med två linjära ekvationer med två okända med hjälp av Cramers formler. För det andra, ett enklare exempel hjälper dig att förstå hur du använder Cramers regel för ett mer komplext fall - ett system med tre ekvationer med tre okända.

Dessutom finns det linjära ekvationssystem med två variabler, som det är lämpligt att lösa exakt enligt Cramers regel!

Tänk på ekvationssystemet

I det första steget beräknar vi determinanten , den kallas den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet.

Gauss metod.

Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare två determinanter:
Och

I praktiken kan ovanstående kvalificeringar också betecknas med den latinska bokstaven.

Rötterna till ekvationen hittas av formlerna:
,

Exempel 7

Lös ett system av linjära ekvationer

Lösning: Vi ser att ekvationens koefficienter är ganska stora, på höger sida finns decimalbråk med kommatecken. Kommat är en ganska sällsynt gäst i praktiska uppgifter i matematik, jag tog detta system från ett ekonometriskt problem.

Hur löser man ett sådant system? Du kan försöka uttrycka en variabel i termer av en annan, men i det här fallet kommer du säkert att få fruktansvärda fancy bråk, som är extremt obekväma att arbeta med, och designen av lösningen kommer att se bara hemsk ut. Du kan multiplicera den andra ekvationen med 6 och subtrahera term för term, men samma bråk visas här.

Vad ska man göra? I sådana fall kommer Cramers formler till undsättning.

;

;

Svar: ,

Båda rötterna har oändliga svansar och finns ungefär, vilket är ganska acceptabelt (och till och med vanligt) för ekonometriska problem.

Kommentarer behövs inte här, eftersom uppgiften löses enligt färdiga formler, men det finns en varning. När du använder denna metod, obligatorisk Uppgiftens fragment är följande fragment: "så systemet har en unik lösning". Annars kan recensenten straffa dig för att du inte respekterar Cramers teorem.

Det kommer inte att vara överflödigt att kontrollera, vilket är bekvämt att utföra på en kalkylator: vi ersätter de ungefärliga värdena på vänster sida av varje ekvation i systemet. Som ett resultat, med ett litet fel, bör siffror som är på höger sida erhållas.

Exempel 8

Uttryck ditt svar i vanliga oegentliga bråk. Gör en kontroll.

Detta är ett exempel på en oberoende lösning (exempel på findesign och svar i slutet av lektionen).

Vi övergår till övervägandet av Cramers regel för ett system med tre ekvationer med tre okända:

Vi hittar den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet:

Om , så har systemet oändligt många lösningar eller är inkonsekvent (har inga lösningar). I det här fallet kommer Cramers regel inte att hjälpa, du måste använda Gauss-metoden.

Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare tre determinanter:
, ,

Och slutligen beräknas svaret med formlerna:

Som du kan se är fallet "tre av tre" i grunden inte annorlunda än fallet "två av två", kolumnen med fria termer "går" sekventiellt från vänster till höger längs kolumnerna för huvuddeterminanten.

Exempel 9

Lös systemet med Cramers formler.

Lösning: Låt oss lösa systemet med Cramers formler.

, så systemet har en unik lösning.

Svar: .

Egentligen finns det inget speciellt att kommentera här igen, med tanke på att beslutet fattas efter färdiga formler. Men det finns ett par anteckningar.

Det händer att som ett resultat av beräkningar erhålls "dåliga" irreducerbara fraktioner, till exempel: .
Jag rekommenderar följande "behandlings"-algoritm. Om det inte finns någon dator till hands gör vi så här:

1) Det kan vara fel i beräkningarna. Så snart du stöter på ett "dåligt" skott måste du omedelbart kontrollera om är villkoret korrekt omskrivet. Om villkoret skrivs om utan fel, måste du räkna om determinanterna med hjälp av expansionen i en annan rad (kolumn).

2) Om inga fel hittades som ett resultat av kontrollen, så har troligen ett stavfel gjorts i tillståndet för uppdraget. Lös i det här fallet lugnt och FÖRSIKTIGT uppgiften till slutet, och sedan se till att kolla och upprätta den på ren kopia efter beslutet. Naturligtvis är det en obehaglig uppgift att kontrollera ett bråkdelssvar, men det kommer att vara ett avväpnande argument för läraren, som, ja, verkligen gillar att sätta ett minus för någon dålig sak som. Hur man hanterar bråk finns detaljerat i svaret för exempel 8.

Om du har en dator till hands, använd sedan ett automatiserat program för att kontrollera den, som kan laddas ner gratis i början av lektionen. Förresten, det är mest fördelaktigt att använda programmet direkt (även innan du startar lösningen), du kommer omedelbart att se det mellanliggande steget där du gjorde ett misstag! Samma kalkylator beräknar automatiskt systemets lösning med hjälp av matrismetoden.

Andra anmärkningen. Från tid till annan finns det system i ekvationerna där vissa variabler saknas, till exempel:

Här i den första ekvationen finns det ingen variabel, i den andra finns det ingen variabel. I sådana fall är det mycket viktigt att korrekt och NOGA skriva ner huvuddeterminanten:
– Nollor sätts i stället för saknade variabler.
Förresten, det är rationellt att öppna determinanter med nollor enligt raden (kolumnen) där noll finns, eftersom det finns märkbart färre beräkningar.

Exempel 10

Lös systemet med Cramers formler.

Detta är ett exempel för självbeslut (avsluta prov och svar i slutet av lektionen).

För fallet med ett system med 4 ekvationer med 4 okända, är Cramers formler skrivna enligt liknande principer. Du kan se ett levande exempel i lektionen Determinant Properties. Minska ordningen på determinanten - fem fjärde ordningens determinanter är ganska lösbara. Även om uppgiften redan påminner mycket om en professorssko på bröstet på en lycklig student.

Lösning av systemet med den inversa matrisen

Den omvända matrismetoden är i huvudsak ett specialfall matrisekvation(Se exempel nr 3 i den angivna lektionen).

För att studera detta avsnitt måste du kunna expandera determinanterna, hitta den inversa matrisen och utföra matrismultiplikation. Relevanta länkar kommer att ges när förklaringen fortskrider.

Exempel 11

Lös systemet med matrismetoden

Lösning: Vi skriver systemet i matrisform:
, Var

Titta på ekvationssystemet och matriserna. Enligt vilken princip vi skriver in element i matriser tror jag alla förstår. Den enda kommentaren: om några variabler saknades i ekvationerna, så måste nollor sättas på motsvarande platser i matrisen.

Vi hittar den inversa matrisen med formeln:
, där är den transponerade matrisen av algebraiska komplement av motsvarande element i matrisen.

Låt oss först ta itu med determinanten:

Här utökas determinanten med den första raden.

Uppmärksamhet! Om , så existerar inte den inversa matrisen, och det är omöjligt att lösa systemet med matrismetoden. I detta fall löses systemet genom eliminering av okända (Gauss-metoden).

Nu måste du beräkna 9 minderåriga och skriva in dem i matrisen av minderåriga

Referens: Det är användbart att veta innebörden av dubbla sänkningar i linjär algebra. Den första siffran är radnumret där elementet finns. Den andra siffran är numret på kolumnen där elementet finns:

Det vill säga, en dubbel sänkning indikerar att elementet är i första raden, tredje kolumnen, medan till exempel elementet är i 3:e raden, 2:a kolumnen

Under lösningen är det bättre att beskriva beräkningen av minderåriga i detalj, även om de med en viss erfarenhet kan justeras för att räkna med fel muntligen.

Cramers metod används för att lösa linjära system algebraiska ekvationer(SLAE), där antalet okända variabler är lika med antalet ekvationer och determinanten för huvudmatrisen är icke-noll. I den här artikeln kommer vi att analysera hur okända variabler hittas med Cramer-metoden och få formler. Därefter går vi till exempel och beskriver i detalj lösningen av system med linjära algebraiska ekvationer med Cramer-metoden.

Sidnavigering.

Cramers metod - härledning av formler.

Låt oss behöva lösa ett system av linjära formekvationer

Där x 1 , x 2 , …, x n är okända variabler, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- numeriska koefficienter, b 1 , b 2 , ..., b n - fria medlemmar. Lösningen av SLAE är en sådan uppsättning värden x 1 , x 2 , …, x n för vilka alla ekvationer i systemet förvandlas till identiteter.

I matrisform kan detta system skrivas som A ⋅ X = B , där - systemets huvudmatris, dess element är koefficienterna för okända variabler, - matrisen är en kolumn med fria termer, och - matrisen är en kolumn med okända variabler. Efter att ha hittat de okända variablerna x 1 , x 2 , …, x n , blir matrisen en lösning på ekvationssystemet och likheten A ⋅ X = B förvandlas till en identitet .

Vi kommer att anta att matrisen A är icke degenererad, det vill säga att dess determinant inte är noll. I det här fallet har systemet med linjära algebraiska ekvationer en unik lösning som kan hittas med Cramers metod. (Metoder för att lösa system för diskuteras i avsnittet om att lösa system av linjära algebraiska ekvationer).

Cramers metod bygger på två egenskaper hos matrisdeterminanten:

Så låt oss börja hitta den okända variabeln x 1 . För att göra detta multiplicerar vi båda delarna av den första ekvationen i systemet med A 1 1, båda delarna av den andra ekvationen - med A 2 1, och så vidare, båda delarna av den n:te ekvationen - med A n 1 ( det vill säga vi multiplicerar systemets ekvationer med motsvarande algebraiska komplement i den första matriskolumnen A ):

Vi adderar alla de vänstra delarna av systemets ekvation, grupperar termerna med okända variabler x 1, x 2, ..., x n, och likställer denna summa med summan av alla de högra delarna av ekvationerna:

Om vi ​​vänder oss till determinantens tidigare uttalade egenskaper, så har vi det

och den tidigare jämlikheten tar formen

var

På liknande sätt finner vi x 2 . För att göra detta multiplicerar vi båda delarna av systemets ekvationer med de algebraiska komplementen i den andra kolumnen i matrisen A:

Vi adderar alla systemets ekvationer, grupperar termerna med okända variabler x 1, x 2, ..., x n och tillämpar determinantens egenskaper:

Var
.

De återstående okända variablerna hittas på liknande sätt.

Om vi ​​utser

Då får vi formler för att hitta okända variabler med Cramer-metoden .

Kommentar.

Om systemet med linjära algebraiska ekvationer är homogent, dvs. , då har den bara en trivial lösning (för ). Faktum är att för noll fria villkor, alla bestämningsfaktorer kommer att vara null eftersom de kommer att innehålla en kolumn med null-element. Därför formlerna kommer att ge .

Algoritm för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer med Cramermetoden.

Låt oss skriva ner algoritm för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer med Cramer-metoden.

Exempel på att lösa system av linjära algebraiska ekvationer med Cramermetoden.

Låt oss ta en titt på några exempel.

Exempel.

Hitta en lösning på ett inhomogent system av linjära algebraiska ekvationer med Cramers metod .

Lösning.

Systemets huvudmatris har formen . Vi beräknar dess determinant med formeln :

Eftersom determinanten för systemets huvudmatris inte är noll, har SLAE en unik lösning, och den kan hittas med Cramer-metoden. Vi skriver ner bestämningsfaktorerna och . Vi ersätter den första kolumnen i systemets huvudmatris med en kolumn med fria termer, och vi får determinanten . På samma sätt ersätter vi den andra kolumnen i huvudmatrisen med en kolumn med fria termer, och vi får .

Vi beräknar dessa determinanter:

Vi hittar okända variabler x 1 och x 2 med formlerna :

Låt oss göra en kontroll. Vi ersätter de erhållna värdena x 1 och x 2 i det ursprungliga ekvationssystemet:

Systemets båda ekvationer förvandlas till identiteter, därför hittas lösningen korrekt.

Svar:

.

Vissa element i SLAE-huvudmatrisen kan vara lika med noll. I detta fall kommer det inte att finnas några motsvarande okända variabler i systemets ekvationer. Låt oss ta ett exempel.

Exempel.

Hitta en lösning på ett system av linjära ekvationer med Cramers metod .

Lösning.

Låt oss skriva om systemet i formuläret för att se systemets huvudmatris . Hitta dess determinant med formeln

Vi har

Determinanten för huvudmatrisen är annorlunda än noll, därför har systemet med linjära ekvationer en unik lösning. Låt oss hitta det med Cramers metod. Beräkna determinanterna :

Således,

Svar:

Beteckningarna för okända variabler i systemets ekvationer kan skilja sig från x 1 , x 2 , …, x n . Detta påverkar inte beslutsprocessen. Men ordningen på de okända variablerna i systemets ekvationer är mycket viktig när man kompilerar huvudmatrisen och de nödvändiga bestämningsfaktorerna för Cramer-metoden. Låt oss förklara denna punkt med ett exempel.

Exempel.

Använd Cramers metod, hitta en lösning på ett system med tre linjära algebraiska ekvationer i tre okända .

Lösning.

I detta exempel okända variabler har en annan beteckning (x , y och z istället för x 1 , x 2 och x 3 ). Detta påverkar inte lösningens förlopp, men var försiktig med notationen av variabler. Ta INTE som huvudmatrisen i systemet . Du måste först beställa de okända variablerna i alla ekvationer i systemet. För att göra detta skriver vi om ekvationssystemet som . Nu syns systemets huvudmatris tydligt . Låt oss beräkna dess determinant:

Determinanten för huvudmatrisen är annorlunda än noll, därför har ekvationssystemet en unik lösning. Låt oss hitta det med Cramers metod. Låt oss skriva ner bestämningsfaktorerna (var uppmärksam på notationen) och beräkna dem:

Det återstår att hitta okända variabler med hjälp av formlerna :

Låt oss göra en kontroll. För att göra detta multiplicerar vi huvudmatrisen med den resulterande lösningen (om nödvändigt, se avsnitt):

Som ett resultat fick vi en kolumn med fria termer i det ursprungliga ekvationssystemet, så lösningen hittades korrekt.

Svar:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Exempel.

Lös system av linjära ekvationer med Cramers metod , där a och b är några reella tal.

Lösning.

Svar:

Exempel.

Hitta en lösning på ekvationssystemet Cramers metod är något reellt tal.

Lösning.

Låt oss beräkna determinanten för systemets huvudmatris: . uttryck har ett intervall, så för alla verkliga värden. Därför har ekvationssystemet en unik lösning som kan hittas med Cramers metod. Vi beräknar och:

2. Lösa ekvationssystem med matrismetoden (med inversmatris).
3. Gauss-metod för att lösa ekvationssystem.

Cramers metod.

Cramers metod används för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer ( SLAU).

Formler på exemplet med ett system av två ekvationer med två variabler.
Given: Lös systemet med Cramers metod

Angående variabler X Och på.
Lösning:
Hitta matrisens determinant, sammansatt av systemets koefficienter. Beräkning av determinanter. :

Låt oss tillämpa Cramers formler och hitta värdena för variablerna:
Och .
Exempel 1:
Lös ekvationssystemet:

angående variabler X Och på.
Lösning:


Låt oss ersätta den första kolumnen i denna determinant med en kolumn med koefficienter från höger sida av systemet och hitta dess värde:

Låt oss göra en liknande åtgärd och ersätta den andra kolumnen i den första determinanten:

Tillämplig Cramers formler och hitta värdena för variablerna:
Och .
Svar:
Kommentar: Denna metod kan användas för att lösa system med högre dimensioner.

Kommentar: Om det visar sig att , och det är omöjligt att dividera med noll, så säger de att systemet inte har en unik lösning. I det här fallet har systemet antingen oändligt många lösningar eller inga lösningar alls.

Exempel 2(ett oändligt antal lösningar):

Lös ekvationssystemet:

angående variabler X Och på.
Lösning:
Hitta determinanten för matrisen, sammansatt av systemets koefficienter:

Lösa system genom substitutionsmetoden.

Den första av ekvationerna i systemet är en likhet som är sann för alla värden på variablerna (eftersom 4 alltid är lika med 4). Så det finns bara en ekvation kvar. Detta är en relationsekvation mellan variabler.
Vi fick att systemets lösning är vilket par av värden som helst av variabler relaterade till likhet.
Den allmänna lösningen är skriven så här:
Särskilda lösningar kan bestämmas genom att välja ett godtyckligt värde på y och beräkna x från denna relationsekvation.

etc.
Det finns oändligt många sådana lösningar.
Svar: gemensamt beslut
Privata lösningar:

Exempel 3(inga lösningar, systemet är inkonsekvent):

Lös ekvationssystemet:

Lösning:
Hitta determinanten för matrisen, sammansatt av systemets koefficienter:

Du kan inte använda Cramers formler. Låt oss lösa detta system genom substitutionsmetoden

Systemets andra ekvation är en likhet som inte är giltig för några värden på variablerna (naturligtvis eftersom -15 inte är lika med 2). Om en av systemets ekvationer inte är sann för några värden på variablerna, har hela systemet inga lösningar.
Svar: inga lösningar