Нормальные напряжения при внецентренном сжатии. Научная электронная библиотека

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действуют продольная (растягивающая или сжимающая) сила и. изгибающий момент; в этом сечении может действовать и поперечная сила.

Внецентренно растянутый или сжатый брус, при расчете которого можно не учитывать дополнительные изгибающие моменты, равные произведениям продольных внешних сил Р на прогибы , называется жестким, а брус, при расчете которого их следует учитывать, - гибким.

Жесткими являются внецентренно сжатые и растянутые брусья, изображенные на рис. 10.9, а, г, д, если наибольшие их прогибы малы по сравнению с расстояниями сил Р от осей брусьев, и брусья, изображенные на рис. 10.9, б, в, в тех случаях, когда произведения малы по сравнению с внешними моментами

Рассмотрим расчет жестких брусьев; метод расчета гибких брусьев изложен ниже в § 5.13.

На рис. 11.9, а изображен жесткий брус; в его верхнем поперечном сечении одновременно действуют продольная сила N и изгибающий момент М, составляющие которого относительно главных осей и у инерции сечения равны Нормальное напряжение в произвольной точке С сечения с координатами у и равно сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов , т. е.

Продольная сила N и моменты могут рассматриваться как результат воздействия на брус внецентренно приложенной силы

Именно поэтому случай одновременного действия в поперечном сечении продольной силы и изгибающего момента называют внецентренным растяжением (при растягивающей продольной силе) или сжатием (при сжимающей).

Координаты точки А приложения силы Р называются эксцентриситетами этой силы относительно главных осей инерции и у, соответственно:

Точку А приложения силы Р называют центром давления или полюсом.

Подставим в формулу (10.9) выражения [на основании формул (11.9) и рис. 1.9, б]:

Знаки плюс перед всеми членами этой формулы поставлены потому, что положительная продольная сила а также изгибающие моменты (при положительных эксцентриситетах ) вызывают в точках поперечного сечения с положительными координатами у и z растягивающие (положительные) напряжения.

В формулу (12.9) величина растягивающей силы Р подставляется со знаком плюс, а сжимающей - со знаком минус; координаты у и z в эту формулу подставляются со своими знаками. Знак нормальных напряжений, возникающих в какой-либо точке сечения от изгибающего момента вызванного эксцентрично (внецентренно) приложенной силой Р, можно установить также, представив поперечное сечение в виде пластинки, закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью ; пластинка опирается на жесткое основание через систему пружин (рис. 12.9).

Момент от силы Р, показанной, например, на рис. 12.9, вызывает поворот пластинки вокруг оси z, в результате чего пружины, расположенные под заштрихованной частью пластинки, оказываются сжатыми; следовательно, в этой части сечения бруса от момента возникают сжимающие напряжения. Аналогично, для того чтобы установить знак напряжений от момента надо пластинку представить закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью у.

Формула (12.9) служит для определения нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном растяжении и сжатии.

Формулу (12.9) можно представить в следующем виде:

где - радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции гну соответственно.

Следует иметь в виду, что в формулах (10.9)-(14.9) оси у и z являются главными центральными осями инерции поперечного сечения бруса.

Формулы (12.9)-(14.9) удобно использовать, когда известны равнодействующая внутренних усилий в поперечном сечении бруса (т. е. сила Р) и координаты точки ее приложения (полюса). Формулу же (10.9) удобно применять, когда известны внутренние усилия действующие в поперечном сечении.

Варианты эпюр нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии (т. е. при отрицательной силе Р), изображены в аксонометрии на рис. 13.9.

Они ограничены с одной стороны плоскостью поперечного сечения 1-2-3-4, а с другой - плоскостью 1-2-3-4. Ординаты эпюр в центре тяжести сечения (при y = z = 0) равны

Все ординаты эпюры, показанной на рис. 13.9, а, отрицательны, так как плоскость ограничивающая их, не пересекает плоскость 1-2-3-4 в пределах поперечного сечения бруса. Ординаты же эпюры, изображенной на рис. 13.9, б, по одну сторону от прямой отрицательны, а по другую - положительны.

Прямая пп представляет собой линию пересечения плоскости 1-2-3-4 с плоскостью поперечного сечения бруса. Во всех точках, расположенных на прямой пп, напряжения а равны нулю, и, следовательно, эта прямая является нейтральной осью (нулевой линией).

Определим положение нейтральной оси (рис. 14.9). Для этого приравняем нулю правую часть выражения (14.9):

Так как , то

Выражение (15.9) является уравнением прямой (так как координаты у и входят в него в первой степени) и представляет собой уравнение нейтральной оси. Для определения положения нейтральной оси найдем ординату точки В ее пересечения с осью у (рис. 14.9); абсцисса этой точки а потому на основании выражения (15.9)

Абсцисса точки С пересечения нейтральной оси с осью равна (рис. 14.9), а ордината этой точки Подставляя значения в выражение (15.9), находим

Итак, величины отрезков, отсекаемых нейтральной осью (нулевой линией) на осях координат, определяются выражениями:

Из этих выражений следует:

1) положение нулевой линии не зависит от величины и знака силы Р;

2) нулевая линия и полюс лежат по разные стороны от начала координат;

4) если полюс расположен на одной из главных центральных осей инерции, то нулевая линия перпендикулярна этой оси; например, когда полюс расположен на оси , то т. е. нейтральная ось параллельна оси у.

При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси. Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от линии, перпендикулярной нейтральной оси, показана на рис. 14.9.

Каждая ордината этой эпюры определяет величину нормальных напряжений, возникающих в точках поперечного сечения, расположенных на прямой DD, проходящей через эту ординату параллельно нейтральной оси. Для построения этой эпюры достаточно определить положение нейтральной оси и вычислить нормальные напряжения в одной из точек поперечного сечения (не расположенной на этой оси), например в центре тяжести сечения. С помощью такой эпюры наиболее просто определяются значения нормальных напряжений в любых точках поперечного сечения.

Расчет на прочность стержня, сжатого или растянутого внецентренно приложенными продольными внешними силами (т. е. при отсутствии поперечных сил), производится наиболее просто, так как в таком случае внутренние усилия одинаковы во всех поперечных сечениях каждого участка стержня. Это исключает необходимость определения опасного поперечного сечения, так как при стержне с постоянными поперечными размерами в пределах каждого участка все сечения одного участка являются равноопасными. При стержне же с переменными поперечными размерами опасным в пределах каждого участка является сечение наименьшего размера.

При наличии в поперечных сечениях стержня поперечных сил изгибающие моменты непрерывно изменяются по длине стержня, а потому определение опасного сечения становится более сложным. Обычно в таких случаях проводят проверку прочности, определяя нормальные напряжения в ряде сечений (которые предположительно могут оказаться опасными) и сопоставляя их с допускаемыми напряжениями.

Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким путем находят точки сечения, расположенные по обе стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нее, которые и могут быть опасными.

Пример.

Для заданной схемы нагружения стержня (рис.52) построить эпюры поперечной силы Q y (z) и изгибающего момента M x (z) при следующих исходных данных: L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН/м, l = 1 м.

Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента:

Q y (z) = Q y (0) │ 1 – P - q×(z - l) │ 2

M x (z) = M x (0) + Q y (0)×z│ 1 - P×(z - l) - q×(z - l) 2 /2│ 2

В соответствии с условиями закрепления стержня запишем граничные условия в следующем виде: M x (0) = - L,

Для нахождения неизвестной реакции Q y (0) необходимо приравнять уравнение изгибающего момента к нулю при координате z = 3l:

M x (3l) = M x (0) + Q y (0)×3l - P×(3l - l) - q×(3l - l) 2 /2 = 0.

Решая это уравнение относительно Q y (0), получим Q y (0) = 21.67кН.

Теперь, учитывая найденные константы, уравнения интегральных характеристик можно переписать в следующем виде:

Q y (z) = 21.67│ 1 – P – q×(z - l) │ 2

M x (z) = -L + 21.67z│ 1 – P×(z - l) – q×(z - l) 2 /2│ 2

Построение графиков будем производить аналогично примеру 1.

1 участок 0 ≤ z ≤ l:

Q y (0) = 21.67 кН,

Q y (l) = 21.67 кН,

M x (0) = -5 кНм,

M x (l) = -5 + 21.67*1 = 16.67 кНм.

2 участок l ≤ z ≤ 3l:

Q y (l) = 21.67 – 10 = 11.67 кН,

Q y (3l) = 21.67 – 10 – 20*(3 - 1) = -28.33 кН,

M x (l) = -5 + 21.67*1 – 10(1 – 1) – 20(1 – 1) = 16.67 кНм,

M x (3l) = -5 + 21.67*3 – 10(3 – 1) – 20(3 – 1) =0 кНм.

Определим координаты экстремума и значения функции изгибающего момента в экстремальной точке:

Q y (z1) = 21.67 – P – q (z1 - l) = 0 → z1 = 1.58 м.

M x (1.58) = -L + 21.67·1.58 – P (1.58 - l) – q (1.58 - l) 2 /2 = 20.07 кНм.

По рассчитанным значениям строятся графики поперечной силы и изгибающего момента (рис. 52).

При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси z и остается ей параллельной (рис.53).

Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении координаты (х 0 , у 0). Тогда относительно главных осей равнодействующая сила Р дает моменты:

М х = Р×у 0 ,

М у = - Р×х 0 .

Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие оказывается родственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникают не только изгибающие моменты, но и нормальная сила:

В произвольной точке В с координатами (х, у) нормальное напряжение определяется следующим выражением:

Пространственная эпюра напряжений образует плоскость. Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая напряжения нулю:

При внецентренном растяжении-сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. При положительных х 0 и у 0 по крайней мере одна из величин х или у, входящих в уравнение (100), должна быть отрицательной. Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом квадранте, то нейтральная линия проходит с противоположенной стороны центра тяжести через квадранты 2,3 и 4 (рис.54).

Расстояние от начала координат до некоторой прямой

как известно из курса аналитической геометрии, равно

Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.

В пределе при х 0 =у 0 =0, когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности. Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно.

Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находится за его пределами. В первом случае в сечении возникают и растягивающие и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.

В окрестностях центра тяжести существует область, называемая ядром сечения . Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так и растягивающими. Когда точка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро сечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг сечения. Точка приложения силы вычертит при этом контуры ядра.

Основные понятия и определения…………………………………………………

Физическая и математическая модель…………………………………………….

Геометрические характеристики сечения…………………………………………

Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей………………………………………………………………….

Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей…

Геометрические характеристики сложных сечений………………………………

Метод сечений. Внутренние силы…………………………………………………

Напряжение. Напряженное состояние в точке тела………………………………

Интегральные характеристики напряжений в точке……………………………..

Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения……………………

Закон парности касательных напряжений………………………………………...

Напряжения на наклонных площадках……………………………………………

Главные площадки и главные напряжения……………………………………….

Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора…..

Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения………………..

Математическая модель механики твердо деформируемого тела………………

Деформированное состояние тела…………………………………………………

Касательные напряжения при кручении………………………………………….

Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского……………………

Теории (гипотезы) прочности………………………………………………………

Растяжение (сжатие) стержней……………………………………………………..

Кручение стержней………………………………………………………………….

Изгиб стержней………………………………………………………………………

Внецентренное растяжение и сжатие………………………………………………

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Наука., 1998. – 512 с.

2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Высш.шк., 1995. – 560 с.

3. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев.: Наукова думка, 1988. – 736 с.

4. Расчет прямых стержней на прочность. Метод.указания. С.А.Девятов, З.Н.Соколовский, Е.П.Степанова.2001.76с.

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникают продольная сила и изгибающие моменты (и, быть может, поперечные силы ).

Продольная сила и изгибающие моменты могут рассматриваться как результат воздействия на стержень внецентренно приложенной силы (рис. 25). Именно поэтому такой вид сложного сопротивления называют внецентренным растяжением или сжатием.

Изгибающие моменты связаны с координатами точки приложения силы соотношениями Поэтому из (1), формулы (1) гл. 3 и принципа независимости действия сил для нормальных напряжений в произвольной точке любого поперечного сечения с координатами х, у получим

Нейтральная ось при внецентренном растяжении или сжатии. Уравнение нейтральной оси поперечного сечения, в точках которой напряжения равны нулю, имеет в данном случае вид

Нетрудно видеть, что нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения. Остальные свойства такие же, как и при косом изгибе. Дополнительно укажем еще одно свойство нейтральной оси при внецентренном растяжении или сжатии: нейтральная ось не пересекает той четверти сечения, в которой приложена сила

Ядро сечения. Положение нейтральной оси, как видно из уравнения (4), зависит от координат точки приложения силы Если точка приложения силы располагается достаточно близко к центру тяжести сечения, в области, которая называется ядром сечения, то нейтральная ось проходит за пределами поперечного сечения, т.е. все точки сечения испытывают нормальные напряжения одного знака. На рис. 26 показаны ядра для прямоугольного и кругового сечений.

Условия прочности при внецентренном растяжении или сжатии имеют вид ограничений на максимальные нормальные напряжения.

Пример. Вычислить максимальные нормальные напряжения в поперечном сечении внецентренно сжатого стержня прямоугольного сечения при (рис. 27). Точка К приложения силы имеет координаты (рис. 27, б).

Решение. Вычислим геометрические характеристики сечения:

Уравнение нейтральной оси (4) принимает вид Из ее расположения (рис. 27, б) видно, что В и С - наиболее напряженные точки

Для определения внутренних усилий, в поперечных сечениях бруса при внецентренном растяжении (сжатии) заменим заданную систему сил на статически эквивалентную систему других сил. На основании принципа Сен-Венана такая замена не вызовет изменений в условиях нагружения и деформации частей бруса, достаточно удаленных от места приложения сил.

Сначала перенесем точку приложения силы на ось и приложим в этой точке силу, равную силе, но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силу на оси, к ее действию необходимо добавить действие пары сил, отмеченных двумя чертами, или момент. Далее перенесем силу в центр тяжести сечения и в этой точке приложим силу, равную силе, но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силу в центре тяжести, к ее действию необходимо добавить еще одну пару сил, отмеченных крестиками, или момент.

Таким образом, действие силы, приложенной к сечению внецентренно, эквивалентно совместному действию центрально приложенной силы и двух внешних сосредоточенных моментов и.

Пользуясь методом сечений, нетрудно установить, что во всех попе­речных сечениях внецентренно растянутого (сжатого) бруса действуют следующие внутренние силовые факторы: продольная сила и два изги­бающих момента и (рис.3.3).

Напряжения в поперечных сечениях бруса определим, используя прин­цип независимости действия сил. От всех внутренних силовых факторов в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения. Знаки напряжений устанавливают по характеру деформаций: плюс - растяжение, минус - сжатие. Расставим знаки напряжений от каждого из внутренних силовых факторов в точках, пересечения осей и с контуром поперечного сечения (рис.3.3). От продольной силы во всех точках сечения оди­наковы и положительны; от момента в точке напряжения - плюс, в точке - минус, в точках и, т.к. ось является в этом случае нейтральной линией; от момента в точке напряжения - плюс, в точке - минус, в точках и, т.к. ось в этом случае является нейтральной линией.

Полное напряжение в точке с координатами и, будет равно:

Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии. В связи с этим, большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.

Определение положения нейтральной линии

Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы (3.1), приравняв нормальные напряжения нулю

здесь и - координаты точки, лежащей на нейтральной линии.

Последнее выражение можно преобразовать, используя формулы для радиусов инерции: и. Тогда

Из уравнения (3.2) видно, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) - это прямая, не проходящая через начало координат (центр тяжести поперечного сечения).

Проведем эту прямую через две точки, лежащие на координатных осях (рис. 3.4). Пусть точка 1 лежит на оси, тогда ее координатами будет и, а точка 2 – на оси, тогда ее координатами будет и (на основании уравнения (3.2)).

Если координаты точки приложения силы (полюса) положительны, то координаты точек 1 и 2 отрицательны, и наоборот. Таким образом, полюс и нейтральная линия располагаются по разные стороны от начала координат.

Определения положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения, т.е. точки, в которых нормальные напряжения принимают наибольшие значения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными (рис. 3.4).

Условия прочности для опасных точек составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен брус. Так как хрупкий материал обладает различными свойствами в условиях растяжения и сжатия – плохо сопротивляется растяжению и хорошо сжатию, условия прочности составляют для двух точек: где действуют максимальные растягивающие (т.) и максимальные сжимающие (т.) напряжения (рис. 3.4)

Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растяжению и сжатию, составляют одно условие прочности для точки поперечного сечения, где имеют место максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения. В нашем случае такой точкой является точка, в которой действуют напряжения одного знака

Понятие о ядре сечения

При построении нейтральной линии (рис. 3.4) определялись координаты точек 1 и 2, через которые она и проводилась

Координаты точек, лежащих на нейтральной линии, зависят от положения точки приложения силы (полюса) с координатами. Если координаты полюса уменьшаются, т.е. полюс приближается к центру тяжести сечения, то увеличиваются, т.е. нейтральная линия может выйти за пределы сечения или касаться контура сечения. В этом случае в сечении будут иметь место напряжения одного знака.

Область приложения продольных сил, которые в этом случае вызывают в поперечном сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения .

Вопрос определения ядра сечения является наиболее актуальным для элементов конструкций из хрупкого материала, работающих на внецентренное сжатие, с целью получения в поперечном сечении только сжимающих напряжений, т.к. хрупкий материал плохо сопротивляется деформации растяжения. Для этого необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура, и вычислить координаты соответствующих точек приложения силы, по формулам, вытекающим из (3.5).

Геометрическое место рассчитанных таким образом точек и определит контур ядра сечения. На рис. 3.6 показаны примеры ядра сечения для распространенных форм.

Рассмотрим пример расчетов на внецентренное растяжение-сжатие.

Пример 3.1. Стальная полоса шириной =10 см и толщиной =1 см, центрально растянутая силами =70 кН, имеет прорезь шириной =3 см (рис. 3.6). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении, не учитывая концентрации напряжений. Какой ширины могла бы быть прорезь при той же величине растягивающего усилия, если бы она была расположена посередине ширины полосы?

Решение. При несимметричной прорези центр тяжести ослабленного сечения смещается от линии действия силы вправо и возникает внецентренное растяжение. Для определения положения центра тяжести () ослабленное сечение представим как большой прямоугольник размерами (фигура I) из которого удален малый прямоугольник с размерами (фигура II). За исходную ось примем ось.

В этом случае в поперечном сечении возникает два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент.

С целью определения опасной точки расставим знаки напряжений по боковым сторонам поперечного сечения (рис. 3.6). От продольной силы во всех точках сечения имеют место положительные (растягивающие) напряжения. От изгибающего момента слева от оси имеют место растягивающие напряжения (знак плюс), справа – сжимающие (знак минус).

Таким образом, максимальные нормальные напряжения возникают в т.

где - площадь ослабленного сечения, равная =7 см 2 ;

Момент инерции ослабленного сечения относительно главной центральной оси

Расстояние от нейтральной линии () до наиболее удаленной точки (т.)

В результате максимальные нормальные напряжения будут равны

При симметричной прорези шириной возникает только растяжение

ми выше методами определения перемещений. Ранее было показано, что для

случая балки, защемленной одним концом и нагруженной на свободном конце

сосредоточенной				силой F, прогиб конца консоли в			вертикальной и горизон-
тальной плоскости определяется следующим образом
d y =	FCosa × l			d x =	FSina × l3
	3 EI x				3 EI y

Угол наклона вектора полного перемещения по отношению к оси y :

tgg =			FSina × l3	× 3 EI x	Tg a
			3 EI y × FCosa × l3

Из (8.12) следует, что при косом изгибе γ ≠ α и следовательно смеще-

ние центра сечения происходит не в плоскости действия изгибающего момента,

а в направлении нормали к нейтральной линии (см.8.8).

При косом изгибе прямого бруса нагрузками, расположенными в одной плоскости, упругая линия бруса будет плоской кривой. Однако плоскость изги-

ба не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Если внешние силы и пары,

изгибающие брус, будут располагаться в разных плоскостях, то изогнутая ось бруса будет пространственной

8.2 Внецентренное растяжение (сжатие)

Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной

оси бруса, но не совпадающей с ней (рисунок 8.5).

Рисунок 8.5 - Внецентренное растяжение стержня

Точка приложения силы называется центром давления, а расстояние от центра тяжести до точки приложения силы называется эксцентриситетом и обо-

значается «е ».

8.2.1. Определение нормальных напряжений при внецентренном

растяжении (сжатии)

Пусть точка приложения внешней силы имеет координаты x F , y F (рису-

нок 8.5). При такой схеме нагружения внутренние силовые факторы в произ-

вольном поперечном сечении бруса равны:

N = F ,

M x = F × yF ,

M y = F × xF ,

где y F , z F - координаты точки приложения силы.

Таким образом, если перенести силу P в центр тяжести сечения(рисунок

8.5.б), то внецентренное растяжение(сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и чистому косому изгибу.

s (x , y ) =

F × xF

F × yF

s (x, y) =

где i x =

i y =

Радиусы инерции сечения.

Ix / A

I x / A

Выражение в скобках в уравнении(8.15) показывает во сколько раз на-

пряжения при внецентренном растяжении(сжатии) больше напряжений цен-

трального растяжения. Переменными в формуле (8.15) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. Так как при изгибе максимальные на-

пряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то для определения наиболее опасных точек при внецентренном растяжении или сжа-

тии необходимо определить положение нейтральной оси.

8.2.2 Определение положения нейтральной линии при внецентренном растяжении (сжатии)

Обозначим коордиаты точек нейтральной оси x o , y o . Для определения по-

ложения нейтральной оси приравняем нулю выражение (8.15) и после сокраще-

ния на F/A получим уравнение нейтральной линии:

						y = 0
		iy 2			ix 2

Из уравнения (8.17) следует, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки x н , y н (рисунок 8.6). Чтобы найти от-

резок x н , отсекаемый на оси x, надо в уравнении (8.16) положить x o = x н , y o =0.

Тогда получим:

			ix 2		x = -	iy 2

Из формулы (8.17) видно, что точка приложения силы и нейтральная ли-

ния всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами точки приложения силы (рисунок 8.6).

Для определения наиболее опасных точек необходимо провести -каса тельные к контуру сечения параллельные нейтральной линии. Наиболее уда-

ленные точки касания А и В , расположенные в растянутой и сжатой зоне, яв-

ляются наиболее опасными (рисунок 8.6). Эпюра напряжений строится на оси,

перпендикулярной к нейтральной линии сечения и ограничена прямой линией.

Условие прочности имеет следующий вид:

F × xF

× x

F × y F

× y

A £

где y F , z F - координаты опасной точки, а [σ ] - допускаемое напряжение на растяжение и сжатие.

Рисунок 8.6 - Определение положения нейтральной линии

В тех случаях, когда в наиболее удаленной от нейтральной линии точке действует напряжение сжатия, а материал элемента конструкции хрупкий,

опасной может быть точка, в которой действует наибольшее растягивающее напряжение.

8.2.3 Определение положения ядра сечения

При приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения (x н и y н по абсолютной величине возрастают) нейтральная линия будет удаляться от центра. При этом в сечении увеличивается доля напряжений одного знака, так как уменьшаются напряжения от изгиба. В пределе при x F = y F= 0 нейтральная линия удаляется в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.

Всегда можно найти такое положение точки приложения силы, при кото-

ром нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его.

В этом случае в сечении напряжения будут только одного знака. Зона вблизи центра тяжести сечения, приложение продольной нагрузки в которой вызывает появление во всех точках сечения напряжений только одного знака, называется

ядром сечения . До тех, пока точка приложения силы находится внутри ядра,

нейтральная линия не пересекает контур сечения, и напряжения во всем сече-

нии будут одного знака. Если точка приложения силы расположена вне ядра, то нейтральная линия пересекает контур сечения, и тогда в сечении будут дейст-

вовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учи-

тывать при расчете элементов конструкций из хрупких материалов, плохо вос-

принимающих растягивающие нагрузки. В этом случае необходимо приклады-

вать внешние силы так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил должна находиться внутри ядра сечения.

Для построения ядра сечения необходимо задаться различными положе-

ниями нейтральной оси и вычислить соответствующие точки приложения силы

F по формулам (8.17).

iy 2

ронами b и h. Совместим вначале нейтральную линию с одной из сторон пря- моугольника (положение I-I). При этом координаты нейтральной линии равны x í = - b ; y í = ¥ , а учитывая, что Из формулы (8.17) получим для точки 1" Совместим теперь нейтральную линию с другой стороной (положение II- II). Координаты нейральной линии в этом положении равны x = ¥ ; Тогда координаты точки 2" ядра сечения Аналогично определяем координаты точек 3" и 4" . Так как при переходе нейтральной линии с одной стороны на другую она поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка приложения силы пе- ремещается по прямой, образуя контур ядра. Таким образом, ядро сечения пря- моугольника представляет собой ромб с диагоналями, равными одной трети со- ответствующей стороны. Построим ядро для круглого сечения (рисунок 8.8). Рисунок 8.8 - Ядро сечения для круглого сечения В круге все центральные оси являются главными, поэтому при касании нейтральной линии I-I в любой точке окружности точка I" ядра сечения будет лежать на том же диаметре с противоположной стороны относительно центра тяжести. Положение нейтральной линии определяется координатами: x í = R , y í = ¥ . Тогда координаты точки 1" ядра Таким образом, ядро сечения для круглого сечения представляет собой круг с радиусом R/4 или d/8. Стержень нагружен внецентренно приложенной силой Р=400кН (прису- нок 8.9). Определить напряжения в точках А, В, С и D. Размеры сечения приве- дены на рисунке. Определить положение нейтральной оси. Напряжения при внецентренном растяжении-сжатии определяются по формуле (8.15) s (x, y) = Рисунок 8.9 – Пример внецентренного приложения нагрузки 1. Определим моменты инерции поперечного сечения