Utforska funktionen och bygg en graf online med en detaljerad lösning. Utforska funktioner och rita en funktion med hjälp av derivator

Hur studerar man en funktion och bygger dess graf?

Det verkar som att jag börjar förstå det andligt insiktsfulla ansiktet hos ledaren för världsproletariatet, författaren till samlade verk i 55 volymer... Den långa resan började med grundläggande information om funktioner och grafer, och nu slutar arbetet med ett arbetsintensivt ämne med ett logiskt resultat - en artikel om en fullständig studie av funktionen. Den efterlängtade uppgiften är formulerad enligt följande:

Utforska en funktion med hjälp av metoder differentialkalkyl och bygga en graf utifrån forskningsresultaten

Eller kort och gott: undersök funktionen och bygg en graf.

Varför utforska? I enkla fall kommer det inte att vara svårt för oss att hantera elementära funktioner, rita grafen som erhålls med hjälp av elementära geometriska transformationer och så vidare. Men egenskaper och grafik är fler komplexa funktionerär långt ifrån självklara, varför det behövs en hel studie.

Huvudstegen i lösningen sammanfattas i referensmaterial Funktionsstudieschema, detta är din guide till avsnittet. Dummies behöver en steg-för-steg-förklaring av ett ämne, vissa läsare vet inte var de ska börja eller hur de ska organisera sin forskning, och avancerade studenter kanske bara är intresserade av några få punkter. Men vem du än är, kära besökare, kommer den föreslagna sammanfattningen med pekare till olika lektioner snabbt att orientera och guida dig i intresseriktningen. Robotarna fäller tårar =) Manualen lades ut som en pdf-fil och tog sin rätta plats på sidan Matematiska formler och tabeller.

Jag är van vid att dela upp en funktions forskning i 5-6 punkter:

6) Ytterligare poäng och graf baserat på forskningsresultaten.

När det gäller den slutliga åtgärden tror jag att allt är klart för alla - det kommer att vara en stor besvikelse om det inom några sekunder stryks över och uppgiften returneras för revision. EN KORREKT OCH KORREKT RITNING är huvudresultatet av lösningen! Det kommer sannolikt att "dölja" analytiska fel, medan ett felaktigt och/eller slarvigt schema kommer att orsaka problem även med en perfekt genomförd studie.

Det bör noteras att i andra källor kan antalet forskningspoäng, ordningen för deras genomförande och designstilen skilja sig betydligt från det schema jag föreslog, men i de flesta fall är det ganska tillräckligt. Den enklaste versionen av problemet består av endast 2-3 steg och är formulerad ungefär så här: "undersök funktionen med derivatan och bygg en graf" eller "undersök funktionen med 1:a och 2:a derivatan, bygg en graf."

Naturligtvis, om din manual beskriver en annan algoritm i detalj eller din lärare strikt kräver att du följer hans föreläsningar, måste du göra några justeringar av lösningen. Inte svårare än att byta ut en motorsågsgaffel mot en sked.

Låt oss kontrollera funktionen för jämn/udda:

Detta följs av ett mallsvar:
, vilket betyder att den här funktionen inte är jämn eller udda.

Eftersom funktionen är kontinuerlig på finns det inga vertikala asymptoter.

Det finns inga sneda asymptoter heller.

Notera : Jag påminner dig om att ju högre tillväxtorder, än , därför är den slutliga gränsen exakt " plus oändlighet."

Låt oss ta reda på hur funktionen beter sig i oändligheten:

Med andra ord, om vi går åt höger så går grafen oändligt långt upp, går vi åt vänster så går den oändligt långt ner. Ja, det finns också två gränser under en enda post. Om du har svårt att tyda tecknen, besök gärna lektionen om infinitesimala funktioner.

Funktionen alltså inte begränsat från ovan Och inte begränsat underifrån. Med tanke på att vi inte har några brytpunkter blir det tydligt funktionsområde: – även valfritt reellt tal.

ANVÄNDBAR TEKNISK TEKNIK

Varje steg i uppgiften ger ny information om grafen för funktionen, därför är det bekvämt att använda en slags LAYOUT under lösningen. Låt oss rita ett kartesiskt koordinatsystem på ett utkast. Vad är säkert redan känt? För det första har grafen inga asymptoter, därför finns det inget behov av att rita raka linjer. För det andra vet vi hur funktionen beter sig i oändligheten. Enligt analysen drar vi en första approximation:

Observera att pga kontinuitet funktion på och det faktum att grafen måste korsa axeln minst en gång. Eller finns det kanske flera skärningspunkter?

3) Nollor för funktionen och intervallen för konstanttecken.

Låt oss först hitta skärningspunkten för grafen med ordinataaxeln. Det är enkelt. Det är nödvändigt att beräkna värdet på funktionen vid:

En och en halv över havet.

För att hitta skärningspunkterna med axeln (funktionens nollor) måste vi lösa ekvationen, och här väntar oss en obehaglig överraskning:

Det finns en gratis medlem som lurar i slutet, vilket gör uppgiften mycket svårare.

En sådan ekvation har åtminstone en verklig rot, och oftast är denna rot irrationell. I den värsta sagan väntar de tre små grisarna på oss. Ekvationen är lösbar med hjälp av den sk Cardano-formler, men skadorna på papper är jämförbara med nästan hela studien. I detta avseende är det klokare att försöka välja ut minst en, antingen muntligt eller i ett utkast. hela rot. Låt oss kontrollera om dessa siffror är:
- inte lämplig;
- Det finns!

Tur här. I händelse av misslyckande kan du också testa , och om dessa siffror inte passar, då är chansen stor lönsam lösning ekvationen är, är jag rädd, väldigt liten. Då är det bättre att skippa forskningspunkten helt – kanske blir något tydligare i slutsteget, då ytterligare punkter slås igenom. Och om roten (rötterna) är tydligt "dåliga", är det bättre att vara blygsamt tyst om intervallen för konstanta tecken och att rita mer noggrant.

Men vi har en vacker rot, så vi delar polynomet för ingen återstod:

Algoritmen för att dividera ett polynom med ett polynom diskuteras i detalj i det första exemplet av lektionen Komplexa gränser.

Som ett resultat, den vänstra sidan av den ursprungliga ekvationen sönderdelas till produkten:

Och nu lite om en hälsosam livsstil. Jag förstår det förstås Kvadratisk ekvation måste lösas varje dag, men idag gör vi ett undantag: ekvationen har två riktiga rötter.

Låt oss rita de hittade värdena på tallinjen Och intervallmetod Låt oss definiera tecknen för funktionen:


Alltså i intervaller schemat finns
under x-axeln och i intervallen – ovanför denna axel.

Resultaten tillåter oss att förfina vår layout, och den andra approximationen av grafen ser ut så här:

Observera att en funktion måste ha minst ett maximum på ett intervall och minst ett minimum på ett intervall. Men vi vet ännu inte hur många gånger, var och när schemat kommer att gå. En funktion kan förresten ha oändligt många ytterligheter.

4) Ökning, minskning och extrema av funktionen.

Låt oss hitta kritiska punkter:

Denna ekvation har två reella rötter. Låt oss sätta dem på tallinjen och bestämma tecknen för derivatan:


Därför ökar funktionen med och minskar med .
Vid den punkt som funktionen når sitt maximum: .
Vid den punkt som funktionen når ett minimum: .

De etablerade fakta tvingar in vår mall i en ganska stel ram:

Onödigt att säga att differentialkalkyl är en kraftfull sak. Låt oss äntligen förstå formen på grafen:

5) Konvexitet, konkavitet och böjningspunkter.

Låt oss hitta de kritiska punkterna för den andra derivatan:

Låt oss definiera tecknen:


Grafen för funktionen är konvex på och konkav på . Låt oss beräkna ordinatan för böjningspunkten: .

Nästan allt har blivit klart.

6) Det återstår att hitta ytterligare punkter som hjälper dig att konstruera en graf mer exakt och utföra självtest. I I detta fall Det finns få av dem, men vi kommer inte att försumma dem:

Låt oss göra ritningen:

Grön Böjningspunkten markeras och ytterligare punkter markeras med kryss. Grafen för en kubisk funktion är symmetrisk om dess böjningspunkt, som alltid ligger strikt i mitten mellan maximum och minimum.

Allt eftersom uppdraget fortskred tillhandahöll jag tre hypotetiska interimsritningar. I praktiken räcker det med att rita ett koordinatsystem, markera de hittade punkterna och efter varje forskningspunkt mentalt uppskatta hur grafen för funktionen kan se ut. Det kommer inte att vara svårt för elever med god förberedelse att genomföra en sådan analys enbart i sina huvuden utan att involvera ett utkast.

För att lösa det själv:

Exempel 2

Utforska funktionen och bygg en graf.

Allt är snabbare och roligare här, ett ungefärligt exempel på den slutliga designen i slutet av lektionen.

Forskning avslöjar många hemligheter rationella bråkfunktioner:

Exempel 3

Använd differentialkalkylmetoder för att studera en funktion och, baserat på studiens resultat, konstruera dess graf.

Lösning: det första steget av studien kännetecknas inte av något anmärkningsvärt, med undantag av ett hål i definitionsområdet:

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på hela tallinjen utom punkten, domän: .

, vilket betyder att den här funktionen inte är jämn eller udda.

Det är uppenbart att funktionen är icke-periodisk.

Funktionens graf representerar två kontinuerliga grenar placerade i vänster och höger halvplan - detta är kanske den viktigaste slutsatsen av punkt 1.

2) Asymptoter, beteendet hos en funktion i oändligheten.

a) Med hjälp av ensidiga gränser undersöker vi funktionens beteende nära en misstänkt punkt, där det tydligt borde finnas en vertikal asymptot:

Faktum är att funktionerna består oändlig lucka vid punkten
och den räta linjen (axeln) är vertikal asymptot grafisk konst .

b) Låt oss kontrollera om sneda asymptoter finns:

Ja, det är rakt sned asymptot grafik, om.

Det är meningslöst att analysera gränserna, eftersom det redan är klart att funktionen omfattar sin sneda asymptot inte begränsat från ovan Och inte begränsat underifrån.

Den andra punkten i studien gav mycket viktig information om funktionen. Låt oss göra en grov skiss:

Slutsats nr 1 gäller intervall med konstant tecken. Vid "minus oändlighet" är grafen för funktionen tydligt placerad under x-axeln, och vid "plus oändlighet" är den ovanför denna axel. Dessutom sa de ensidiga gränserna att både till vänster och till höger om punkten är funktionen också större än noll. Observera att i det vänstra halvplanet måste grafen korsa x-axeln minst en gång. Det kanske inte finns några nollor av funktionen i det högra halvplanet.

Slutsats nr 2 är att funktionen ökar på och till vänster om punkten (går "från botten till toppen"). Till höger om denna punkt minskar funktionen (går "från topp till botten"). Den högra grenen av grafen måste säkert ha minst ett minimum. Till vänster är extremer inte garanterade.

Slutsats nr 3 ger tillförlitlig information om grafens konkavitet i närheten av punkten. Vi kan ännu inte säga något om konvexitet/konkavitet i oändligheter, eftersom en linje kan pressas mot sin asymptot både uppifrån och underifrån. Generellt sett finns det ett analytiskt sätt att räkna ut detta just nu, men formen på grafen kommer att bli tydligare i ett senare skede.

Varför så många ord? För att kontrollera efterföljande forskningspunkter och undvika misstag! Ytterligare beräkningar bör inte motsäga de slutsatser som dragits.

3) Skärningspunkter för grafen med koordinataxlarna, intervall av konstant tecken för funktionen.

Funktionens graf skär inte axeln.

Med hjälp av intervallmetoden bestämmer vi tecknen:

, Om ;
, Om .

Resultaten av denna punkt överensstämmer helt med slutsats nr 1. Efter varje steg, titta på utkastet, kontrollera forskningen mentalt och slutför grafen för funktionen.

I exemplet under övervägande delas täljaren term för term med nämnaren, vilket är mycket fördelaktigt för differentiering:

Egentligen har detta redan gjorts när man hittade asymptoter.

- kritisk punkt.

Låt oss definiera tecknen:

ökar med och minskar med

Vid den punkt som funktionen når ett minimum: .

Det fanns heller inga avvikelser med slutsats nr 2, och med största sannolikhet är vi på rätt väg.

Detta innebär att grafen för funktionen är konkav genom hela definitionsdomänen.

Bra - och du behöver inte rita någonting.

Det finns inga böjningspunkter.

Konkavitet överensstämmer med slutsats nr 3, dessutom indikerar det att vid oändligheten (både där och där) är grafen för funktionen placerad högre dess sneda asymptot.

6) Vi kommer samvetsgrant att fästa uppgiften med ytterligare poäng. Det är här vi kommer att behöva arbeta hårt, eftersom vi bara känner till två punkter från forskningen.

Och en bild som många säkert har föreställt sig för länge sedan:

Under utförandet av uppgiften måste du noggrant se till att det inte finns några motsättningar mellan forskningsstadierna, men ibland är situationen brådskande eller till och med desperat återvändsgränd. Analysen "stämmer inte" - det är allt. I det här fallet rekommenderar jag en nödteknik: vi hittar så många punkter som möjligt som hör till grafen (så mycket tålamod som vi har), och markerar dem på koordinatplanet. En grafisk analys av värdena som hittas kommer i de flesta fall att berätta var sanningen är och var den är falsk. Dessutom kan grafen förbyggas med hjälp av något program, till exempel i Excel (det kräver förstås kunskaper).

Exempel 4

Använd differentialkalkylmetoder för att studera en funktion och konstruera dess graf.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. I den förstärks självkontrollen av funktionens paritet - grafen är symmetrisk om axeln, och om något motsäger din forskning Detta faktum, leta efter felet.

En jämn eller udda funktion kan endast studeras vid , och använd sedan grafens symmetri. Denna lösning är optimal, men enligt min mening ser den väldigt ovanlig ut. Personligen tittar jag på hela talraden, men jag hittar fortfarande ytterligare punkter bara till höger:

Exempel 5

Gör en fullständig studie av funktionen och konstruera dess graf.

Lösning: saker blev tuffa:

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på hela talraden: .

Detta betyder att denna funktion är udda, dess graf är symmetrisk om ursprunget.

Det är uppenbart att funktionen är icke-periodisk.

2) Asymptoter, beteendet hos en funktion i oändligheten.

Eftersom funktionen är kontinuerlig på finns det inga vertikala asymptoter

För en funktion som innehåller en exponent är det typiskt separat studie av "plus" och "minus av oändlighet", men vårt liv underlättas av grafens symmetri - antingen finns det en asymptot till både vänster och höger, eller så finns det ingen. Därför kan båda oändliga gränserna skrivas under en enda post. Under lösningen använder vi L'Hopitals regel:

Den räta linjen (axeln) är den horisontella asymptoten i grafen vid .

Observera hur jag på ett listigt sätt undvek hela algoritmen för att hitta den sneda asymptoten: gränsen är helt laglig och förtydligar beteendet hos funktionen i oändligheten, och den horisontella asymptoten upptäcktes "som om på samma gång."

Av kontinuiteten och förekomsten av en horisontell asymptot följer att funktionen avgränsad från ovan Och avgränsat nedan.

3) Skärningspunkter för grafen med koordinataxlarna, intervall med konstant tecken.

Här förkortar vi också lösningen:
Grafen går genom origo.

Det finns inga andra skärningspunkter med koordinataxlarna. Dessutom är tecknets konstansintervall uppenbara, och axeln behöver inte ritas: , vilket betyder att tecknet för funktionen bara beror på "x":
, Om ;
, Om .

4) Ökande, minskande, extrema av funktionen.


– kritiska punkter.

Punkterna är symmetriska ungefär noll, som sig bör.

Låt oss bestämma tecknen på derivatan:


Funktionen ökar med ett intervall och minskar med intervaller

Vid den punkt som funktionen når sitt maximum: .

På grund av fastigheten (funktionens uddahet) minimum behöver inte beräknas:

Eftersom funktionen minskar över intervallet, är grafen uppenbarligen placerad vid "minus oändlighet" under dess asymptot. Under intervallet minskar också funktionen, men här är det motsatta - efter att ha passerat maxpunkten närmar sig linjen axeln ovanifrån.

Av ovanstående följer också att grafen för funktionen är konvex vid "minus oändlighet" och konkav vid "plus oändlighet".

Efter denna studiepunkt ritades intervallet av funktionsvärden:

Om du har missuppfattningar om några punkter, uppmanar jag dig än en gång att rita koordinataxlar i din anteckningsbok och, med en penna i händerna, analysera varje slutsats av uppgiften på nytt.

5) Konvexitet, konkavitet, veck i grafen.

– kritiska punkter.

Punkternas symmetri är bevarad, och troligen har vi inte fel.

Låt oss definiera tecknen:


Grafen för funktionen är konvex på och konkav på .

Konvexiteten/konkaviteten vid de extrema intervallen bekräftades.

På alla kritiska punkter finns det veck i grafen. Låt oss hitta ordinaterna för böjningspunkterna och återigen minska antalet beräkningar med funktionens uddahet:

En av differentialkalkylens viktigaste uppgifter är utvecklingen vanliga exempel studier av funktionsbeteende.

Om funktionen y=f(x) är kontinuerlig på intervallet och dess derivata är positiv eller lika med 0 på intervallet (a,b), så ökar y=f(x) med (f"(x)0) Om funktionen y=f (x) är kontinuerlig på segmentet och dess derivata är negativ eller lika med 0 på intervallet (a,b), så minskar y=f(x) med (f"(x)0. )

Intervaller där funktionen inte minskar eller ökar kallas intervall av monotoni för funktionen. En funktions monotoni kan bara ändras vid de punkter i dess definitionsdomän där den första derivatans tecken ändras. Punkterna där den första derivatan av en funktion försvinner eller har en diskontinuitet kallas kritiska.

Sats 1 (första tillräckligt skick förekomsten av ett extremum).

Låt funktionen y=f(x) definieras i punkten x 0 och låt det finnas en grannskap δ>0 så att funktionen är kontinuerlig på intervallet och differentierbar på intervallet (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ), och dess derivata behåller ett konstant tecken på vart och ett av dessa intervall. Sedan om på x 0 -δ,x 0) och (x 0 , x 0 +δ) tecknen för derivatan är olika, så är x 0 en extrempunkt, och om de sammanfaller, är x 0 inte en extrempunkt . Dessutom, om, när den passerar genom punkten x0, derivatan ändrar tecken från plus till minus (till vänster om x 0 f"(x)>0 är uppfylld, då är x 0 maxpunkten; om derivatan ändrar tecken från minus till plus (till höger om x 0 utförd f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maximi- och minimumpunkterna kallas funktionens extrema punkter, och funktionens max- och minimumpunkter kallas dess extrema värden.

Sats 2 (ett nödvändigt tecken på ett lokalt extremum).

Om funktionen y=f(x) har ett extremum vid nuvarande x=x 0, så existerar inte antingen f’(x 0)=0 eller f’(x 0).
Vid ytterpunkterna för den differentierbara funktionen är tangenten till dess graf parallell med Ox-axeln.

Algoritm för att studera en funktion för extremum:

1) Hitta derivatan av funktionen.
2) Hitta kritiska punkter, d.v.s. punkter där funktionen är kontinuerlig och derivatan är noll eller inte existerar.
3) Betrakta grannskapet för varje punkt och undersök tecknet för derivatan till vänster och höger om denna punkt.
4) Bestäm koordinaterna för extrempunkterna för detta, ersätt värdena för de kritiska punkterna i denna funktion. Använd tillräckliga förhållanden för extremumet, dra lämpliga slutsatser.

Exempel 18. Undersök funktionen y=x 3 -9x 2 +24x för ett extremum

Lösning.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Genom att likställa derivatan med noll finner vi x 1 =2, x 2 =4. I detta fall definieras derivatan överallt; Det betyder att förutom de två hittade punkterna finns det inga andra kritiska punkter.
3) Tecknet för derivatan y"=3(x-2)(x-4) ändras beroende på intervallet som visas i figur 1. När man passerar genom punkten x=2 ändrar derivatan tecken från plus till minus, och när man passerar genom punkten x=4 - från minus till plus.
4) Vid punkten x=2 har funktionen ett maximum y max =20, och i punkten x=4 - ett minimum y min =16.

Sats 3. (2:a tillräckliga villkoret för existensen av ett extremum).

Låt f"(x 0) och vid punkten x 0 finns f""(x 0). Om f""(x 0)>0, då är x 0 minimipunkten, och om f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

På ett segment kan funktionen y=f(x) nå det minsta (y det minsta) eller det största (y det högsta) värdet antingen vid de kritiska punkterna för funktionen som ligger i intervallet (a;b), eller vid ändarna av segmentet.

Algoritm för att hitta de största och minsta värdena av en kontinuerlig funktion y=f(x) på segmentet:

1) Hitta f"(x).
2) Hitta de punkter där f"(x)=0 eller f"(x) inte finns, och välj från dem de som ligger inuti segmentet.
3) Beräkna värdet av funktionen y=f(x) vid de punkter som erhölls i steg 2), såväl som i slutet av segmentet och välj den största och minsta från dem: de är de största (y) det största) och det minsta (y det minsta) värdena för funktionen på intervallet.

Exempel 19. Hitta det största värdet på den kontinuerliga funktionen y=x 3 -3x 2 -45+225 på segmentet.

1) Vi har y"=3x 2 -6x-45 på segmentet
2) Derivatan y" finns för alla x. Låt oss hitta punkterna där y"=0; vi får:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
xl = -3; x 2 = 5
3) Beräkna värdet på funktionen vid punkterna x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmentet innehåller endast punkten x=5. Det största av de funna värdena för funktionen är 225, och det minsta är talet 50. Så, y max = 225, y min = 50.

Studie av en funktion om konvexitet

Figuren visar grafer för två funktioner. Den första av dem är konvex uppåt, den andra är konvex nedåt.

Funktionen y=f(x) är kontinuerlig på ett intervall och differentierbar i intervallet (a;b), kallas konvex uppåt (nedåt) på detta intervall om, för axb, dess graf inte ligger högre (inte lägre) än tangent dragen vid valfri punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), där axb.

Sats 4. Låt funktionen y=f(x) ha en andraderivata vid valfri inre punkt x i segmentet och vara kontinuerlig i ändarna av detta segment. Om sedan olikheten f""(x)0 håller på intervallet (a;b), så är funktionen konvex nedåt på intervallet ; om olikheten f""(x)0 håller på intervallet (a;b), är funktionen konvex uppåt på .

Sats 5. Om funktionen y=f(x) har en andraderivata på intervallet (a;b) och om den ändrar tecken när den passerar genom punkten x 0, så är M(x 0 ;f(x 0)) en böjningspunkt.

Regel för att hitta böjningspunkter:

1) Hitta de punkter där f""(x) inte finns eller försvinner.
2) Undersök tecknet f""(x) till vänster och höger om varje punkt som finns i det första steget.
3) Dra en slutsats utifrån sats 4.

Exempel 20. Hitta extremumpunkterna och inflexionspunkterna för grafen för funktionen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Vi har f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Uppenbarligen är f"(x)=0 när x 1 =0, x 2 =1. När den passerar genom punkten x=0 ändrar derivatan tecken från minus till plus, men när den passerar genom punkten x=1 ändrar den inte tecken. Detta betyder att x=0 är minimipunkten (y min =12), och det finns inget extremum vid punkten x=1. Därefter hittar vi . Den andra derivatan försvinner vid punkterna x 1 =1, x 2 =1/3. Andraderivatans tecken ändras enligt följande: På strålen (-∞;) har vi f""(x)>0, på intervallet (;1) har vi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Därför är x= böjningspunkten för funktionsgrafen (övergång från konvexitet nedåt till konvexitet uppåt) och x=1 är också böjningspunkten (övergång från konvexitet uppåt till konvexitet nedåt). Om x=, då y=; om, då x=1, y=13.

Algoritm för att hitta asymptoten i en graf

I. Om y=f(x) som x → a, så är x=a en vertikal asymptot.
II. Om y=f(x) som x → ∞ eller x → -∞, så är y=A en horisontell asymptot.
III. För att hitta den sneda asymptoten använder vi följande algoritm:
1) Beräkna . Om gränsen finns och är lika med b, så är y=b en horisontell asymptot; om , gå sedan till det andra steget.
2) Beräkna . Om denna gräns inte finns, så finns det ingen asymptot; om det finns och är lika med k, gå sedan till det tredje steget.
3) Beräkna . Om denna gräns inte finns, så finns det ingen asymptot; om det finns och är lika med b, gå sedan till det fjärde steget.
4) Skriv ner ekvationen för den sneda asymptoten y=kx+b.

Exempel 21: Hitta asymptoten för en funktion

1)
2)
3)
4) Ekvationen för den sneda asymptoten har formen

Schema för att studera en funktion och konstruera dess graf

I. Hitta definitionsdomänen för funktionen.
II. Hitta skärningspunkterna för funktionens graf med koordinataxlarna.
III. Hitta asymptoter.
IV. Hitta möjliga extrema punkter.
V. Hitta kritiska punkter.
VI. Utforska tecknet för första och andra derivatan med hjälp av hjälpfiguren. Bestäm områden med ökande och minskande funktion, hitta grafens konvexitetsriktning, extrema punkter och böjningspunkter.
VII. Konstruera en graf med hänsyn till den forskning som utförts i punkterna 1-6.

Exempel 22: Konstruera en graf över funktionen enligt ovanstående diagram

Lösning.
I. En funktions domän är mängden av alla reella tal utom x=1.
II. Eftersom ekvationen x 2 +1=0 inte har några reella rötter, har grafen för funktionen inga skärningspunkter med Ox-axeln, utan skär Oy-axeln i punkten (0;-1).
III. Låt oss klargöra frågan om förekomsten av asymptoter. Låt oss studera funktionens beteende nära diskontinuitetspunkten x=1. Eftersom y → ∞ som x → -∞, y → +∞ som x → 1+, så är den räta linjen x=1 den vertikala asymptoten i grafen för funktionen.
Om x → +∞(x → -∞), då y → +∞(y → -∞); därför har grafen ingen horisontell asymptot. Vidare, från förekomsten av gränser

När vi löser ekvationen x 2 -2x-1=0 får vi två möjliga extrema punkter:
x 1 =1-√2 och x 2 =1+√2

V. För att hitta de kritiska punkterna, beräknar vi den andra derivatan:

Eftersom f""(x) inte försvinner finns det inga kritiska punkter.
VI. Låt oss undersöka tecknet för första och andra derivatan. Möjliga extrema punkter att beakta: x 1 =1-√2 och x 2 =1+√2, dela upp funktionens existensdomän i intervall (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) och (1+√2;+∞).

I vart och ett av dessa intervall behåller derivatan sitt tecken: i det första - plus, i det andra - minus, i det tredje - plus. Teckensekvensen för den första derivatan kommer att skrivas enligt följande: +,-,+.
Vi finner att funktionen ökar vid (-∞;1-√2), minskar vid (1-√2;1+√2), och ökar igen vid (1+√2;+∞). Extremumpunkter: maximum vid x=1-√2, och f(1-√2)=2-2√2 minimum vid x=1+√2, och f(1+√2)=2+2√2. Vid (-∞;1) är grafen konvex uppåt och vid (1;+∞) är den konvex nedåt.
VII Låt oss göra en tabell över de erhållna värdena

VIII Baserat på erhållna data konstruerar vi en skiss av grafen för funktionen

Instruktioner

Hitta funktionens domän. Till exempel är funktionen sin(x) definierad över hela intervallet från -∞ till +∞, och funktionen 1/x definieras från -∞ till +∞, förutom punkten x = 0.

Identifiera områden av kontinuitet och punkter av diskontinuitet. Typiskt är en funktion kontinuerlig i samma region där den är definierad. För att upptäcka diskontinuiteter måste man räkna när argumentet närmar sig isolerade punkter inom definitionsdomänen. Till exempel tenderar funktionen 1/x till oändlighet när x→0+, och till minus oändlighet när x→0-. Detta betyder att den vid punkten x = 0 har en diskontinuitet av det andra slaget.
Om gränserna vid diskontinuitetspunkten är ändliga, men inte lika, så är detta en diskontinuitet av det första slaget. Om de är lika anses funktionen vara kontinuerlig, även om den inte är definierad i en isolerad punkt.

Hitta vertikala asymptoter, om några. Beräkningarna från föregående steg kommer att hjälpa dig här, eftersom den vertikala asymptoten nästan alltid är belägen vid diskontinuitetspunkten för det andra slaget. Ibland är det dock inte enskilda punkter som utesluts från definitionsdomänen, utan hela intervall av punkter, och då kan de vertikala asymptoterna placeras vid kanterna av dessa intervall.

Kontrollera om funktionen har speciella egenskaper: jämn, udda och periodisk.
Funktionen blir även om för valfritt x i domänen f(x) = f(-x). Till exempel är cos(x) och x^2 jämna funktioner.

Periodicitet är en egenskap som säger att det finns ett visst tal T, kallat en period, som för valfri x f(x) = f(x + T). Till exempel är alla grundläggande trigonometriska funktioner (sinus, cosinus, tangens) periodiska.

Hitta poängen. För att göra detta, beräkna derivatan av den givna funktionen och hitta de värden på x där det blir noll. Till exempel har funktionen f(x) = x^3 + 9x^2 -15 en derivata g(x) = 3x^2 + 18x, som försvinner vid x = 0 och x = -6.

För att bestämma vilka extrema punkter som är maxima och vilka som är minima, spåra förändringen i derivatans tecken vid de hittade nollorna. g(x) ändrar tecken från plus i punkten x = -6, och i punkten x = 0 tillbaka från minus till plus. Följaktligen har funktionen f(x) ett minimum vid den första punkten och ett minimum vid den andra.

Således har du också hittat monotoniska regioner: f(x) ökar monotont i intervallet -∞;-6, minskar monotont på -6;0 och ökar igen på 0;+∞.

Hitta andraderivatan. Dess rötter kommer att visa var grafen för en given funktion kommer att vara konvex och var den kommer att vara konkav. Till exempel kommer andraderivatan av funktionen f(x) att vara h(x) = 6x + 18. Den går till noll vid x = -3, och ändrar tecken från minus till plus. Följaktligen kommer grafen för f(x) före denna punkt att vara konvex, efter den - konkav, och denna punkt i sig kommer att vara en böjningspunkt.

En funktion kan ha andra asymptoter förutom vertikala, men bara om dess definitionsdomän inkluderar . För att hitta dem, beräkna gränsen för f(x) när x→∞ eller x→-∞. Om den är finit har du hittat den horisontella asymptoten.

Den sneda asymptoten är en rät linje av formen kx + b. För att hitta k, beräkna gränsen för f(x)/x som x→∞. För att hitta b - gränsen (f(x) – kx) för samma x→∞.

Rita en graf över funktionen baserat på de beräknade data. Märk eventuella asymptoter. Markera extremumpunkterna och funktionsvärdena vid dem. För större grafnoggrannhet, beräkna funktionsvärdena vid flera mellanliggande punkter. Studien är avslutad.

Studiet av en funktion utförs enligt ett tydligt schema och kräver att studenten har gedigna kunskaper om grundläggande matematiska begrepp som definitions- och värdeområdet, funktionens kontinuitet, asymptoter, extrema punkter, paritet, periodicitet, etc. . Eleven ska kunna differentiera funktioner fritt och lösa ekvationer som ibland kan vara mycket komplexa.

Det vill säga, denna uppgift testar ett betydande lager av kunskap, varje lucka i vilken kommer att bli ett hinder för att få den korrekta lösningen. Särskilt ofta uppstår svårigheter med att konstruera grafer över funktioner. Detta misstag är omedelbart märkbart för läraren och kan i hög grad skada ditt betyg, även om allt annat gjordes korrekt. Här kan du hitta onlinefunktionsforskningsproblem: studieexempel, ladda ner lösningar, beställa uppdrag.

Utforska en funktion och rita en graf: exempel och lösningar online

Vi har förberett mycket åt dig färdiga funktionsstudier, både betald i lösningsboken och gratis i sektionen Exempel på funktionsstudier. Utifrån dessa lösta uppgifter kommer du att kunna bekanta dig i detalj med metodiken för att utföra liknande uppgifter, och utföra din forskning analogt.

Vi erbjuder färdiga exempel på komplett forskning och plottning av funktioner av de vanligaste typerna: polynom, bråk-rationella, irrationella, exponentiella, logaritmiska, trigonometriska funktioner. Varje löst problem åtföljs av en färdig graf med markerade nyckelpunkter, asymptoter, maxima och minima lösningen utförs enligt; funktionsforskningsalgoritm.

I vilket fall som helst kommer de lösta exemplen att vara till stor hjälp för dig eftersom de täcker de mest populära typerna av funktioner. Vi erbjuder dig hundratals redan lösta problem, men, som du vet, finns det ett oändligt antal matematiska funktioner i världen, och lärare är stora experter på att hitta på allt mer kluriga uppgifter för fattiga elever. Så, kära studenter, kvalificerad hjälp kommer inte att skada er.

Lösa problem med anpassad funktionsforskning

I det här fallet kommer våra partners att erbjuda dig en annan tjänst - full funktionsforskning online att beställa. Uppgiften kommer att slutföras för dig i enlighet med alla krav för en algoritm för att lösa sådana problem, vilket mycket kommer att glädja din lärare.

Vi kommer att göra en fullständig studie av funktionen åt dig: vi kommer att hitta definitionsdomänen och värdedomänen, undersöka kontinuitet och diskontinuitet, fastställa paritet, kontrollera din funktion för periodicitet och hitta skärningspunkterna med koordinataxlarna . Och, naturligtvis, vidare med hjälp av differentialkalkyl: vi kommer att hitta asymptoter, beräkna extrema, böjningspunkter och konstruera själva grafen.