Gräns ​​för en funktion vid en punkt. Gräns ​​för en funktion - MT1205: Matematisk analys för ekonomer - Affärsinformatik

I den här artikeln kommer vi att berätta vad gränsen för en funktion är. Låt oss först förklara de allmänna punkter som är mycket viktiga för att förstå essensen av detta fenomen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Begränsa koncept

Inom matematiken är begreppet oändlighet, betecknat med symbolen ∞, fundamentalt viktigt. Det ska förstås som ett oändligt stort + ∞ eller ett oändligt litet - ∞ tal. När vi talar om oändlighet menar vi ofta båda dessa betydelser samtidigt, men notation av formen + ∞ eller - ∞ bör inte ersättas helt enkelt med ∞.

Gränsen för en funktion skrivs som lim x → x 0 f (x) . Längst ner skriver vi huvudargumentet x, och med hjälp av en pil anger vi vilket värde x0 det kommer att tendera mot. Om värdet x 0 är ett konkret reellt tal, så har vi att göra med gränsen för funktionen vid en punkt. Om värdet x 0 tenderar till oändlighet (det spelar ingen roll om ∞, + ∞ eller - ∞), då bör vi prata om gränsen för funktionen vid oändlighet.

Gränsen kan vara ändlig eller oändlig. Om det är lika med ett specifikt reellt tal, dvs. lim x → x 0 f (x) = A, då kallas det en ändlig gräns, men om lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ eller lim x → x 0 f (x) = - ∞ , sedan oändlig.

Om vi ​​inte kan fastställa vare sig ett ändligt eller ett oändligt värde betyder det att en sådan gräns inte finns. Ett exempel på detta fall skulle vara gränsen för sinus vid oändlighet.

I det här stycket kommer vi att förklara hur man hittar värdet på gränsen för en funktion vid en punkt och vid oändlighet. För att göra detta måste vi introducera grundläggande definitioner och komma ihåg vad nummersekvenser är, såväl som deras konvergens och divergens.

Definition 1

Antalet A är gränsen för funktionen f (x) som x → ∞ om sekvensen av dess värden konvergerar till A för någon oändlig stor sekvens argument (negativa eller positiva).

Att skriva gränsen för en funktion ser ut så här: lim x → ∞ f (x) = A.

Definition 2

Som x → ∞ är gränsen för en funktion f(x) oändlig om sekvensen av värden för en oändligt stor sekvens av argument också är oändligt stor (positiv eller negativ).

Posten ser ut som lim x → ∞ f (x) = ∞ .

Exempel 1

Bevisa likheten lim x → ∞ 1 x 2 = 0 med den grundläggande definitionen av gränsen för x → ∞.

Lösning

Låt oss börja med att skriva en sekvens av värden av funktionen 1 x 2 för en oändligt stor positiv sekvens av värden av argumentet x = 1, 2, 3, . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Vi ser att värdena gradvis kommer att minska och tenderar till 0. Se på bilden:

x = -1, -2, -3, . . . , - n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Här kan vi också se en monoton minskning mot noll, vilket bekräftar giltigheten av detta i jämställdhetsvillkoret:

Svar: Riktigheten av detta i jämställdhetsvillkoret bekräftas.

Exempel 2

Beräkna gräns lim x → ∞ e 1 10 x .

Lösning

Låt oss börja, som tidigare, med att skriva ner sekvenser av värden f (x) = e 1 10 x för en oändligt stor positiv sekvens av argument. Till exempel, x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 110; e 4 10; e 9 10; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Vi ser att denna sekvens är oändligt positiv, vilket betyder f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Låt oss gå vidare till att skriva värdena för en oändligt stor negativ sekvens, till exempel x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0, 90; 0,67; 0,40; 0,20; 0,08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞

Eftersom den också tenderar till noll, då f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Lösningen på problemet visas tydligt i illustrationen. Blå prickar indikerar en sekvens av positiva värden, gröna prickar indikerar en sekvens av negativa värden.

Svar: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr och x → + ∞ 0 , pr och x → - ∞ .

Låt oss gå vidare till metoden för att beräkna gränsen för en funktion vid en punkt. För att göra detta måste vi veta hur man korrekt definierar en ensidig gräns. Detta kommer också att vara användbart för oss för att hitta de vertikala asymptoterna i grafen för en funktion.

Definition 3

Talet B är gränsen för funktionen f (x) till vänster som x → a i fallet när sekvensen av dess värden konvergerar till ett givet tal för någon sekvens av argument för funktionen x n som konvergerar till a, om dess värden förblir mindre än a (x n< a).

En sådan gräns betecknas skriftligt som lim x → a - 0 f (x) = B.

Låt oss nu formulera vad gränsen för en funktion till höger är.

Definition 4

Talet B är gränsen för funktionen f (x) till höger som x → a i det fall då sekvensen av dess värden konvergerar till ett givet tal för en sekvens av argument för funktionen x n som konvergerar till a, om dess värden förblir större än a (x n > a) .

Vi skriver denna gräns som lim x → a + 0 f (x) = B .

Vi kan hitta gränsen för funktionen f (x) någon gång när den har lika stora gränser med vänster och höger sida, dvs. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Om båda gränserna är oändliga, kommer gränsen för funktionen vid startpunkten också att vara oändlig.

Nu ska vi förtydliga dessa definitioner genom att skriva ner lösningen på ett specifikt problem.

Exempel 3

Bevisa att det finns en ändlig gräns för funktionen f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 vid punkten x 0 = 2 och beräkna dess värde.

Lösning

För att lösa problemet måste vi komma ihåg definitionen av gränsen för en funktion vid en punkt. Låt oss först bevisa att den ursprungliga funktionen har en gräns till vänster. Låt oss skriva ner en sekvens av funktionsvärden som kommer att konvergera till x 0 = 2 om x n< 2:

f(-2); f (0); f (1); f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024; . . . == 8, 667; 2, 667; O, 167; - 0,958; - 1,489; -1,747; -1,874; . . . ; - 1 998; . . . → - 2

Eftersom ovanstående sekvens reduceras till - 2 kan vi skriva att lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Funktionsvärdena i denna sekvens kommer att se ut så här:

f (6); f (4); f (3); f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; -5,333; -3,833; -2,958; -2,489; -2,247; - 2, 124; . . . , - 2 001, . . . → - 2

Denna sekvens konvergerar också till - 2, vilket betyder lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Vi fann att gränserna på höger och vänster sida av denna funktion kommer att vara lika, vilket betyder att gränsen för funktionen f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 vid punkten x 0 = 2 existerar, och lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Du kan se utvecklingen av lösningen i illustrationen (gröna prickar är en sekvens av värden som konvergerar till x n< 2 , синие – к x n > 2).

Svar: Gränserna på höger och vänster sida av denna funktion kommer att vara lika, vilket betyder att gränsen för funktionen finns, och lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

För att studera teorin om gränser djupare, rekommenderar vi att du läser artikeln om kontinuiteten för en funktion vid en punkt och huvudtyperna av diskontinuitetspunkter.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Idag ska vi titta på ett urval av nya problem för att hitta en gräns vid en punkt. Låt oss börja med enkla exempel på värdesubstitution, som oftast övervägs i 11:e klass Läroplanen matematik.
Därefter kommer vi att stoppa och analysera gränser med osäkerheter, metoder för att avslöja osäkerheter, tillämpningen av den första och andra viktiga gränsen och deras konsekvenser.
Exemplen som ges kommer inte att helt täcka hela ämnet, men de kommer att klargöra många frågor.

Hitta gränsen för funktionen vid en punkt:

Exempel 46. Gränsen för en funktion vid en punkt bestäms genom substitution

Eftersom bråkets nämnare inte blir noll kan varje utexaminerad skola lösa ett sådant problem.

Exempel 47. Vi har en bråkdel av polynom, dessutom innehåller nämnaren ingen singularitet (den är inte lika med noll).
En annan uppgift, faktiskt för 11:e klass.

Exempel 48. Med hjälp av substitutionsmetoden bestämmer vi gränsen för en funktion
Det följer av villkoret att gränsen för funktionen är lika med två om variabeln tenderar till oändlighet.

Exempel 49. Direkt substitution x=2 visar att gränsen vid punkten har singulariteten (0/0) . Det betyder att både täljaren och nämnaren implicit innehåller (x-2) .
Vi bryter ner polynomen i primtalsfaktorer och reducerar sedan bråkdelen med den angivna faktorn (x-2).
Vi hittar gränsen för den bråkdel som återstår vid substitution.

Exempel 50. Gränsen för en funktion vid en punkt har en singularitet av typen (0/0).
Vi blir av med skillnaden i rötter genom att multiplicera med summan av rötterna (det konjugerade uttrycket), och utöka polynomet.
Därefter, genom att förenkla funktionen, hittar vi värdet på gränsen i enhet.

Exempel 51. Tänk på problemet med komplexa gränser.
Fram till nu har irrationalitet eliminerats genom att multiplicera med det konjugerade uttrycket.
Här, i nämnaren, har vi en kubrot, så vi måste använda formeln för skillnaden mellan kuber.
Alla andra transformationer upprepas från tillstånd till tillstånd.
Vi expanderar polynomet till primtalsfaktorer,
sedan minskar vi det med en faktor som introducerar en funktion (0)
och genom att ersätta x=-3 finner vi gränsen för funktionen vid punkten

Exempel 52. Vi avslöjar formens singularitet (0/0) med den första anmärkningsvärda gränsen och dess konsekvenser.
Först kommer vi att skriva skillnaden mellan sinus enligt den trigonometriska formeln
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Därefter kompletterar vi bråkets täljare och nämnare med uttryck som är nödvändiga för att markera viktiga gränser.
Vi går vidare till produkten av gränser och utvärderar investeringen för varje faktor.

Den första användes här underbar gräns:

och konsekvenserna av det


där a och b är godtyckliga tal.

Exempel 53. För att avslöja osäkerheten när en variabel tenderar mot noll använder vi den andra anmärkningsvärda gränsen.
För att isolera exponenten tar vi exponenten till den 2:a anmärkningsvärda gränsen, och allt annat som återstår i passagen till gränsen kommer att ge exponentens grad.


Här använde vi en följd från den andra anmärkningsvärda gränsen:

Beräkna gränsen för en funktion vid en punkt:

Exempel 54. Vi måste hitta gränsen för en funktion vid en punkt. En enkel substitution av värdet visar att vi har division av nollor.
För att avslöja det faktoriserar vi polynomen till primtalsfaktorer och utför en reduktion med faktorn som introducerar särdraget (x+2).
Däremot innehåller täljaren ytterligare (x+2) , vilket betyder att vid x=-2 är gränsen noll.

Exempel 55. Vi har bråkfunktion- i täljaren finns en skillnad på rötter, i nämnaren - en logga.
Direkt substitution ger en singularitet av formen (0/0) .
Variabeln tenderar till minus ett, vilket betyder att vi bör leta efter och göra oss av med drag i formen (x+1).
För att göra detta blir vi av med irrationalitet genom att multiplicera med summan av rötterna och dekomponera den kvadratiska funktionen i enkla faktorer.
Efter alla reduktioner bestämmer vi gränsen för funktionen vid punkten för substitutionsmetoden

Exempel 56. Från uppkomsten av sublimit-funktionen kan man felaktigt dra slutsatsen att den första gränsen måste tillämpas, men beräkningar har visat att allt är mycket enklare.
Låt oss först skriva ner summan av sinus i nämnaren sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Därefter skriver vi tg(2x) , och sinus för dubbelvinkeln sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Vi förenklar sinusen och använder substitutionsmetoden för att beräkna bråkets gräns

Exempel 57. Uppgift om förmågan att använda den andra underbara gränsen:
Poängen är att du ska markera den del som ger exponenten.
Resten som blir kvar i exponenten i passagen till gränsen kommer att ge graden av exponentialen.


Analysen av problem om gränserna för funktioner och sekvenser slutar inte här.
För närvarande mer än 150 färdiga svar till gränserna för funktioner, så studera och dela länkar till material med klasskamrater.

Fungera y = f (x)är en lag (regel) enligt vilken varje element x i mängden X är associerat med ett och endast ett element y i mängden Y.

Element x ∈ X kallad funktionsargument eller oberoende variabel.
Element y ∈ Y kallad funktionsvärde eller beroende variabel.

Mängden X kallas funktionens domän.
Uppsättning element y ∈ Y, som har förbilder i uppsättningen X, kallas område eller uppsättning funktionsvärden.

Den faktiska funktionen kallas begränsad uppifrån (underifrån), om det finns ett tal M så att olikheten gäller för alla:
.
Nummerfunktionen anropas begränsad, om det finns ett nummer M så att för alla:
.

Överkant eller exakt övre gräns En verklig funktion kallas det minsta talet som begränsar dess värdeintervall ovanifrån. Det vill säga, detta är ett tal s för vilket, för alla och för alla, det finns ett argument vars funktionsvärde överstiger s′: .
Den övre gränsen för en funktion kan betecknas på följande sätt:
.

Respektive nederkant eller exakt nedre gräns En verklig funktion kallas det största talet som begränsar dess värdeintervall underifrån. Det vill säga, detta är ett tal i för vilket, för alla och för alla, det finns ett argument vars funktionsvärde är mindre än i′: .
Infimum för en funktion kan betecknas som följer:
.

Bestämma gränsen för en funktion

Bestämning av gränsen för en funktion enligt Cauchy

Finita gränser för en funktion vid ändpunkter

Låt funktionen definieras i något område av slutpunkten, med möjliga undantag för själva punkten. vid en punkt om för någon det finns något sådant, beroende på , att för alla x för vilka , gäller ojämlikheten
.
Gränsen för en funktion anges på följande sätt:
.
Eller vid .

Med hjälp av de logiska symbolerna för existens och universalitet kan definitionen av gränsen för en funktion skrivas på följande sätt:
.

Ensidiga gränser.
Vänster gräns vid en punkt (vänstersidig gräns):
.
Höger gräns vid en punkt (höger gräns):
.
Vänster och höger gränser betecknas ofta på följande sätt:
; .

Finita gränser för en funktion vid punkter i oändligheten

Gränser vid punkter vid oändligheten bestäms på liknande sätt.
.
.
.
De kallas ofta för:
; ; .

Använda begreppet grannskap av en punkt

Om vi ​​introducerar konceptet med en punkterad grannskap av en punkt, så kan vi ge en enhetlig definition av den ändliga gränsen för en funktion vid ändliga och oändligt avlägsna punkter:
.
Här för slutpunkter
; ;
.
Varje grannskap av punkter i oändligheten punkteras:
; ; .

Oändliga funktionsgränser

Definition
Låt funktionen definieras i någon punkterad omgivning av en punkt (ändlig eller oändlig). Funktionsgräns f (x) som x → x 0 är lika med oändlighet, om för någon, godtyckligt stort antal M > 0 , det finns ett nummer δ M > 0 , beroende på M, att för alla x som hör till den punkterade δ M - grannskapet av punkten: , gäller följande olikhet:
.
Den oändliga gränsen betecknas som följer:
.
Eller vid .

Med hjälp av de logiska symbolerna för existens och universalitet kan definitionen av den oändliga gränsen för en funktion skrivas på följande sätt:
.

Du kan också introducera definitioner av oändliga gränser för vissa tecken lika med och:
.
.

Universell definition av gränsen för en funktion

Med hjälp av begreppet en punkts grannskap kan vi ge en universell definition av den ändliga och oändliga gränsen för en funktion, tillämplig för både finita (tvåsidiga och ensidiga) och oändligt avlägsna punkter:
.

Bestämning av gränsen för en funktion enligt Heine

Låt funktionen definieras på någon uppsättning X: .
Talet a kallas gränsen för funktionen vid punkt:
,
om för någon sekvens som konvergerar till x 0 :
,
vars element tillhör mängden X: ,
.

Låt oss skriva denna definition med hjälp av de logiska symbolerna för existens och universalitet:
.

Om vi ​​tar det vänstersidiga grannskapet av punkten x som en mängd X 0 , då får vi definitionen av vänstergränsen. Om det är högerhänt får vi definitionen av rätt gräns. Om vi ​​tar grannskapet av en punkt i oändligheten som en mängd X, får vi definitionen av gränsen för en funktion i oändligheten.

Sats
Cauchy och Heines definitioner av gränsen för en funktion är ekvivalenta.
Bevis

Egenskaper och satser för gränsen för en funktion

Vidare antar vi att funktionerna i fråga är definierade i motsvarande grannskap av punkten, vilket är ett ändligt tal eller en av symbolerna: . Det kan också vara en ensidig gränspunkt, det vill säga ha formen eller . Grannskapet är tvåsidigt för en dubbelsidig gräns och ensidigt för en ensidig gräns.

Grundläggande egenskaper

Om värdena för funktionen f (x)ändra (eller göra odefinierat) ett ändligt antal punkter x 1, x 2, x 3, ... x n, då kommer denna förändring inte att påverka existensen och värdet av gränsen för funktionen vid en godtycklig punkt x 0 .

Om det finns en ändlig gräns, så finns det en punkterad grannskap av punkten x 0 , på vilken funktionen f (x) begränsad:
.

Låt funktionen ha vid punkt x 0 ändlig icke-noll gräns:
.
Sedan, för vilket tal c som helst från intervallet , finns det en sådan punkterad grannskap av punkten x 0 Varför då,
, Om ;
, Om .

Om, på någon punkterad omgivning av punkten, , är en konstant, då .

Om det finns ändliga gränser och och på någon punkterad grannskap av punkten x 0
,
Den där .

Om , och på något område av punkten
,
Den där .
Särskilt om i något område av en punkt
,
sedan om , då och ;
om , då och .

Om på något punkterat område av punkt x 0 :
,
och det finns ändliga (eller oändliga av ett visst tecken) lika gränser:
, Den där
.

Bevis på de viktigaste egenskaperna finns på sidan
"Grundläggande egenskaper för gränserna för en funktion."

Aritmetiska egenskaper för gränsen för en funktion

Låt funktionerna och definieras i någon punkterad omgivning av punkten. Och låt det finnas ändliga gränser:
Och .
Och låt C vara en konstant, det vill säga ett givet tal. Sedan
;
;
;
, Om .

Om då.

Bevis på aritmetiska egenskaper ges på sidan
"Aritmetiska egenskaper för en funktions gränser".

Cauchy kriterium för förekomsten av en gräns för en funktion

Sats
För att en funktion ska definieras på något punkterat område av en ändlig eller oändligt avlägsen punkt x 0 , hade en ändlig gräns vid denna punkt, är det nödvändigt och tillräckligt att för alla ε > 0 det fanns en sådan punkterad grannskap av punkten x 0 , att för alla punkter och från detta grannskap gäller följande ojämlikhet:
.

Gräns ​​för en komplex funktion

Gränssats komplex funktion
Låt funktionen ha en gräns och mappa en punkterad omgivning av en punkt till en punkterad omgivning av en punkt. Låt funktionen definieras på denna stadsdel och ha en gräns för den.
Här är de sista eller oändligt avlägsna punkterna: . Områden och deras motsvarande gränser kan vara antingen tvåsidiga eller ensidiga.
Sedan finns det en gräns för en komplex funktion och den är lika med:
.

Gränssatsen för en komplex funktion tillämpas när funktionen inte är definierad vid en punkt eller har ett värde som skiljer sig från gränsen. För att tillämpa detta teorem måste det finnas en punkterad grannskap av punkten där uppsättningen av värden för funktionen inte innehåller punkten:
.

Om funktionen är kontinuerlig vid punkt , kan gränstecknet appliceras på argumentet för den kontinuerliga funktionen:
.
Följande är en sats som motsvarar detta fall.

Sats om gränsen för en kontinuerlig funktion av en funktion
Låt det finnas en gräns för funktionen g (t) som t → t 0 , och det är lika med x 0 :
.
Här är punkt t 0 kan vara ändlig eller oändligt avlägsen: .
Och låt funktionen f (x)är kontinuerlig vid punkt x 0 .
Sedan finns det en gräns för den komplexa funktionen f (g(t)), och det är lika med f (x0):
.

Bevis på satserna ges på sidan
"Begränsning och kontinuitet för en komplex funktion".

Oändligt små och oändligt stora funktioner

Infinitesimala funktioner

Definition
En funktion sägs vara infinitesimal if
.

Summa, skillnad och produkt av ett ändligt antal infinitesimala funktioner vid är en infinitesimal funktion vid .

Produkt av en funktion begränsad på någon punkterad grannskap av punkten, till en infinitesimal vid är en infinitesimal funktion vid.

För att en funktion ska ha en ändlig gräns är det nödvändigt och tillräckligt att
,
var - oändligt liten funktion kl.

"Egenskaper för infinitesimala funktioner".

Oändligt stora funktioner

Definition
En funktion sägs vara oändligt stor if
.

Summan eller skillnaden mellan en begränsad funktion, i någon punkterad grannskap av punkten, och en oändligt stor funktion vid är oändlig jättebra funktion kl.

Om funktionen är oändligt stor för , och funktionen är begränsad till någon punkterad grannskap av punkten
.

Om funktionen , på någon punkterad grannskap av punkten , uppfyller olikheten:
,
och funktionen är oändlig vid:
, och (på något punkterat område av punkten), alltså
.

Bevis på fastigheterna presenteras i avsnitt
"Egenskaper för oändligt stora funktioner".

Samband mellan oändligt stora och oändligt små funktioner

Av de två föregående egenskaperna följer sambandet mellan oändligt stora och oändligt små funktioner.

Om en funktion är oändligt stor vid , då är funktionen oändligt liten vid .

Om en funktion är oändligt liten för , och , då är funktionen oändligt stor för .

Relationen mellan en infinitesimal och en oändligt stor funktion kan uttryckas symboliskt:
, .

Om en infinitesimal funktion har ett visst tecken vid , det vill säga den är positiv (eller negativ) på någon punkterad omgivning av punkten , kan detta faktum uttryckas på följande sätt:
.
På samma sätt, om en oändligt stor funktion har ett visst tecken vid , så skriver de:
.

Sedan den symboliska kopplingen mellan infinitesimals och oändligt fantastiska funktioner kan kompletteras med följande relationer:
, ,
, .

Ytterligare formler för oändlighetssymboler finns på sidan
"Pekar på oändligheten och deras egenskaper."

Gränser för monotona funktioner

Definition
En funktion definierad på någon uppsättning reella tal X kallas strikt ökande, om för alla sådana att följande ojämlikhet gäller:
.
Följaktligen, för strikt minskande funktion gäller följande ojämlikhet:
.
För icke-minskande:
.
För icke-ökande:
.

Därav följer att en strikt ökande funktion också är icke-minskande. En strikt minskande funktion är också icke-ökande.

Funktionen kallas monoton, om den är icke-minskande eller icke-ökande.

Sats
Låt inte funktionen minska på intervallet där .
Om det är begränsat ovanför av talet M: så finns det en ändlig gräns. Om inte begränsat från ovan, då .
Om det begränsas underifrån av talet m: så finns det en ändlig gräns. Om inte begränsat underifrån, då .

Om punkterna a och b är i oändlighet, så betyder gränstecknen i uttrycken att .
Denna sats kan formuleras mer kompakt.

Låt inte funktionen minska på intervallet där . Sedan finns det ensidiga gränser vid punkterna a och b:
;
.

Ett liknande teorem för en icke-ökande funktion.

Låt inte funktionen öka på intervallet där . Sedan finns det ensidiga gränser:
;
.

Beviset för satsen presenteras på sidan
"Gränser för monotona funktioner".

Referenser:
L.D. Kudryavtsev. Kurs i matematisk analys. Volym 1. Moskva, 2003.
CENTIMETER. Nikolsky. Kurs i matematisk analys. Volym 1. Moskva, 1983.

Idag i klassen ska vi titta på strikt sekvensering Och strikt definition av gränsen för en funktion, och även lära sig att lösa relevanta problem av teoretisk karaktär. Artikeln är främst avsedd för förstaårsstudenter i naturvetenskap och ingenjörsspecialiteter som började studera teorin om matematisk analys och stötte på svårigheter att förstå denna del av högre matematik. Dessutom är materialet ganska tillgängligt för gymnasieelever.

Under de år som sajten funnits har jag fått ett dussintal brev med ungefär följande innehåll: "Jag förstår inte matematisk analys bra, vad ska jag göra?", "Jag förstår inte matematik alls, jag är funderar på att sluta studera” osv. Och visst är det matan som ofta gallrar ut elevgruppen efter första passet. Varför är det så här? För att ämnet är ofattbart komplext? Inte alls! Teorin om matematisk analys är inte så svår som den är egendomlig. Och du måste acceptera och älska henne för den hon är =)

Låt oss börja med det svåraste fallet. Det första och viktigaste är att du inte behöver ge upp dina studier. Förstå rätt, du kan alltid sluta;-) Självklart, om du efter ett eller två år känner dig sjuk av din valda specialitet, så ja, du ska tänka på det (och bli inte arg!) om byte av verksamhet. Men nu är det värt att fortsätta. Och snälla glöm frasen "Jag förstår ingenting" - det händer inte att du inte förstår någonting ALLS.

Vad ska man göra om teorin är dålig? Detta gäller för övrigt inte bara för matematisk analys. Om teorin är dålig, måste du först på allvar fokusera på praktiken. I det här fallet löses två strategiska uppgifter samtidigt:

– För det första uppstod en betydande del av teoretisk kunskap genom praktiken. Och det är därför många människor förstår teorin genom... – det stämmer! Nej, nej, det tänker du inte på =)

– Och för det andra kommer praktiska färdigheter med största sannolikhet att "dra" dig genom provet, även om... men låt oss inte bli så exalterade! Allt är verkligt och allt kan "höjas" på ganska kort tid. Matematisk analys är mitt favoritavsnitt inom högre matematik, och därför kunde jag helt enkelt inte låta bli att ge dig en hjälpande hand:

I början av 1:a terminen täcks vanligtvis sekvensgränser och funktionsbegränsningar. Förstår du inte vad dessa är och vet inte hur man löser dem? Börja med artikeln Funktionsbegränsningar, där själva konceptet undersöks "på fingrarna" och de enklaste exemplen analyseras. Arbeta sedan igenom andra lektioner om ämnet, inklusive en lektion om inom sekvenser, som jag faktiskt redan har formulerat en strikt definition på.

Vilka symboler förutom ojämlikhetstecken och modul känner du till?

– en lång vertikal pinne lyder så här: "sådant", "sånt där", "sånt där" eller "sådant", i vårt fall talar vi uppenbarligen om ett nummer - därför "sådant";

– för alla "en" större än ;

– modultecknet betyder avstånd, dvs. den här posten talar om för oss att avståndet mellan värdena är mindre än epsilon.

Tja, är det dödligt svårt? =)

Efter att ha bemästrat övningen ser jag fram emot att se dig i nästa stycke:

Och faktiskt, låt oss fundera lite - hur formulerar man en strikt definition av sekvens? ...Det första som kommer att tänka på i världen praktisk lektion: "gränsen för en sekvens är antalet som medlemmarna i sekvensen närmar sig oändligt."

Okej, låt oss skriva ner det efterföljande :

Det är inte svårt att förstå det efterföljande närma sig siffran –1 och jämna numrerade termer oändligt nära - till en".

Eller kanske det finns två gränser? Men varför kan inte någon sekvens ha tio eller tjugo av dem? Du kan gå långt på det här sättet. I detta avseende är det logiskt att anta det om en sekvens har en gräns så är den den enda.

Notera : sekvensen har ingen gräns, men två undersekvenser kan särskiljas från den (se ovan), som var och en har sin egen gräns.

Ovanstående definition visar sig således vara ohållbar. Ja, det fungerar för fall som (som jag inte använde helt korrekt i förenklade förklaringar av praktiska exempel), men nu måste vi hitta en strikt definition.

Försök två: "gränsen för en sekvens är det antal som ALLA medlemmar i sekvensen närmar sig, utom kanske deras slutlig kvantiteter." Detta är närmare sanningen, men fortfarande inte helt korrekt. Så till exempel sekvensen hälften av termerna närmar sig inte noll alls - de är helt enkelt lika med det =) Förresten, det "blinkande ljuset" tar i allmänhet två fasta värden.

Formuleringen är inte svår att klargöra, men då uppstår en annan fråga: hur man skriver definitionen i matematiska symboler? Den vetenskapliga världen kämpade med detta problem under lång tid tills situationen var löst berömd maestro, som i huvudsak formaliserade klassisk matematisk analys i all sin stringens. Cauchy föreslog operation miljö , vilket avsevärt avancerade teorin.

Tänk på en punkt och dess slumpmässig-miljö:

Värdet av "epsilon" är alltid positivt, och dessutom, vi har rätt att välja det själva. Låt oss anta att det finns många medlemmar i det här området (inte nödvändigtvis alla) någon sekvens. Hur skriver man ner det faktum att till exempel tionde terminen är i grannskapet? Låt det vara på höger sida av det. Då bör avståndet mellan punkterna och vara mindre än "epsilon": . Men om "x tiondel" är placerad till vänster om punkt "a", kommer skillnaden att vara negativ, och därför måste tecknet läggas till det modul: .

Definition: ett tal kallas gränsen för en sekvens if för alla dess omgivning (förvalt) det finns ett naturligt tal SÅDAN ALLT medlemmar i sekvensen med högre nummer kommer att finnas i grannskapet:

Eller kort sagt: om

Med andra ord, oavsett hur litet "epsilon"-värde vi tar, kommer den "oändliga svansen" av sekvensen förr eller senare HELT att hamna i detta grannskap.

Till exempel den "oändliga svansen" av sekvensen kommer HELT att gå in i valfri godtyckligt liten omgivning av punkten. Så detta värde är gränsen för sekvensen per definition. Låt mig påminna dig om att en sekvens vars gräns är noll kallas oändligt liten.

Det bör noteras att för en sekvens är det inte längre möjligt att säga "ändlös svans" kommer in”- medlemmar med udda tal är i själva verket lika med noll och ”gå inte någonstans” =) Därför används verbet ”kommer att dyka upp” i definitionen. Och, naturligtvis, medlemmarna i en sekvens som denna "går ingenstans". Kontrollera förresten om antalet är dess gräns.

Nu ska vi visa att sekvensen inte har någon gräns. Tänk till exempel ett område av punkten. Det är helt klart att det inte finns något sådant nummer efter vilket ALLA termer kommer att hamna i ett givet område - udda termer kommer alltid att "hoppa ut" till "minus ett". Av en liknande anledning finns det ingen gräns på punkten.

Låt oss konsolidera materialet med övning:

Exempel 1

Bevisa att gränsen för sekvensen är noll. Ange numret efter vilket alla medlemmar i sekvensen garanterat kommer att vara i valfri godtyckligt liten omgivning av punkten.

Notera : För många sekvenser beror det nödvändiga naturliga talet på värdet - därav notationen .

Lösning: överväga slumpmässig finns det några nummer – så att ALLA medlemmar med högre nummer kommer att finnas i det här området:

För att visa förekomsten av det nödvändiga numret uttrycker vi det genom .

Eftersom för alla värden på "en" kan modultecknet tas bort:

Vi använder "skola" åtgärder med ojämlikheter som jag upprepade i klassen Linjära ojämlikheter Och Funktionsdomän. I det här fallet är en viktig omständighet att "epsilon" och "en" är positiva:

Eftersom vi pratar om naturliga tal till vänster, och höger sida i allmänhet är bråktal, måste den avrundas:

Notera : ibland läggs en enhet till till höger för att vara på den säkra sidan, men i verkligheten är detta överdrivet. Relativt sett, om vi försvagar resultatet genom att avrunda nedåt, kommer det närmaste lämpliga talet (”tre”) fortfarande att tillfredsställa den ursprungliga olikheten.

Nu tittar vi på ojämlikhet och minns vad vi först ansåg slumpmässig-grannskap, d.v.s. "epsilon" kan vara lika med någon ett positivt tal.

Slutsats: för varje godtyckligt liten -grannskap till en punkt hittades värdet . Således är ett tal gränsen för en sekvens per definition. Q.E.D.

Förresten, från det erhållna resultatet ett naturligt mönster är tydligt synligt: ​​ju mindre grannskap, desto större antal, varefter ALLA medlemmar i sekvensen kommer att finnas i denna grannskap. Men oavsett hur liten "epsilon" är, kommer det alltid att finnas en "oändlig svans" inuti och utanför - även om den är stor, dock slutlig antal medlemmar.

Hur är dina intryck? =) Jag håller med om att det är lite konstigt. Men strikt! Vänligen läs igen och tänk på allt igen.

Låt oss titta på ett liknande exempel och bekanta oss med andra tekniska tekniker:

Exempel 2

Lösning: per definition av en sekvens är det nödvändigt att bevisa det (Säg det högt!!!).

Låt oss överväga slumpmässig- grannskapet till punkten och checken, finns det naturligt tal – så att för alla större tal gäller följande olikhet:

För att visa existensen av en sådan måste du uttrycka "en" genom "epsilon". Vi förenklar uttrycket under modultecknet:

Modulen förstör minustecknet:

Nämnaren är positiv för alla "en", därför kan pinnarna tas bort:

Blanda:

Nu måste vi extrahera kvadratroten, men haken är att för vissa "epsilon" kommer den högra sidan att vara negativ. För att undvika detta problem låt oss stärka ojämlikhet efter modul:

Varför kan detta göras? Om det relativt sett visar sig att , så kommer även villkoret att vara uppfyllt. Modulen kan bara ökaönskat nummer, och det passar oss också! Grovt sett, om den hundrade är lämplig, så är den tvåhundrade också lämplig! Enligt definitionen måste du visa själva faktumet av numrets existens(åtminstone några), varefter alla medlemmar i sekvensen kommer att finnas i -grannskapet. Förresten, det är därför vi inte är rädda för den slutliga avrundningen av högersidan uppåt.

Extrahera roten:

Och runda resultatet:

Slutsats: därför att värdet "epsilon" valdes godtyckligt, sedan för varje godtyckligt litet område av punkten värdet hittades , så att ojämlikheten gäller för alla större tal . Således, a-priory. Q.E.D.

jag rekomenderar framförallt förståelse för förstärkning och försvagning av ojämlikheter är en typisk och mycket vanlig teknik inom matematisk analys. Det enda du behöver övervaka är riktigheten av den här eller den åtgärden. Så till exempel ojämlikhet under inga omständigheter är det möjligt lossa, subtrahera, säg, en:

Återigen, villkorligt: ​​om numret passar exakt, kanske det föregående inte längre passar.

Följande exempel för en oberoende lösning:

Exempel 3

Använd definitionen av en sekvens, bevisa det

En kort lösning och svar i slutet av lektionen.

Om sekvensen oändligt stor, då är definitionen av en gräns formulerad på ett liknande sätt: en punkt kallas en gräns för en sekvens om någon, så stor som du vill antal, det finns ett antal så att för alla större tal kommer ojämlikheten att uppfyllas. Numret är uppringt närheten av punkten "plus oändlighet":

Med andra ord, vad som helst stor betydelse Oavsett vad kommer den "oändliga svansen" av sekvensen definitivt att gå in i -grannskapet av punkten, vilket bara lämnar ett ändligt antal termer till vänster.

Standardexempel:

Och förkortad notation: , if

För fallet, skriv ner definitionen själv. Rätt version finns i slutet av lektionen.

Efter att du har fått tag på praktiska exempel och har listat ut definitionen av gränsen för en sekvens, kan du vända dig till litteraturen om matematisk analys och/eller din föreläsningsanteckningsbok. Jag rekommenderar att du laddar ner volym 1 av Bohan (enklare - för korrespondensstudenter) och Fichtenholtz (mer detaljerat och detaljerat). Bland andra författare rekommenderar jag Piskunov, vars kurs riktar sig till tekniska universitet.

Försök att samvetsgrant studera de satser som rör sekvensens gräns, deras bevis, konsekvenser. Till en början kan teorin verka "molnig", men det här är normalt - du behöver bara vänja dig vid det. Och många kommer till och med få smaka på det!

Rigorös definition av gränsen för en funktion

Låt oss börja med samma sak – hur formulerar man detta koncept? Den verbala definitionen av gränsen för en funktion är formulerad mycket enklare: "ett tal är gränsen för en funktion om med "x" tenderar att (både vänster och höger), motsvarande funktionsvärden tenderar att » (se ritning). Allt verkar vara normalt, men ord är ord, mening är mening, en ikon är en ikon och det finns inte tillräckligt med strikta matematiska notationer. Och i andra stycket kommer vi att bekanta oss med två metoder för att lösa denna fråga.

Låt funktionen definieras på ett visst intervall, eventuellt med undantag för punkten. I utbildningslitteratur det är allmänt accepterat att funktionen finns där Inte definierad:

Detta val betonar kärnan i gränsen för en funktion: "x" oändligt nära tillvägagångssätt och motsvarande funktionsvärden är oändligt nära Till . Med andra ord, begreppet en gräns innebär inte "exakt inställning" till poäng, utan nämligen oändligt nära approximation

, spelar det ingen roll om funktionen är definierad vid punkten eller inte.

Den första definitionen av gränsen för en funktion, inte överraskande, formuleras med hjälp av två sekvenser. För det första är begreppen relaterade, och för det andra studeras funktionsgränser vanligtvis efter sekvensgränser. Tänk på sekvensen poäng(inte på ritningen) , som hör till intervallet och till skillnad från , som konvergerar

Till . Då bildar motsvarande funktionsvärden också en numerisk sekvens, vars medlemmar är placerade på ordinataaxeln. för alla Gräns ​​för en funktion enligt Heine sekvenser av punkter(tillhör och skiljer sig från)

, som konvergerar till punkten, konvergerar motsvarande sekvens av funktionsvärden till .

Eduard Heine är en tysk matematiker. ...Och det finns ingen anledning att tänka något sådant, det finns bara en gay i Europa - Gay-Lussac =) Den andra definitionen av gränsen skapades... ja, ja, du har rätt. Men låt oss först titta på dess design. Betrakta en godtycklig grannskap av punkten. Utifrån föregående stycke innebär posten att något värde funktionen är belägen i området "epsilon".

Nu hittar vi det -kvarter som motsvarar det givna -kvarteret (rita mentalt svarta prickade linjer från vänster till höger och sedan uppifrån och ned). Observera att värdet är valt längs med det mindre segmentets längd, in I detta fall– längs med det kortare vänstra segmentet. Dessutom kan "hallon" -grannskapet till en punkt till och med reduceras, eftersom i följande definition själva existensen är viktig denna stadsdel. Och på liknande sätt betyder notationen att ett visst värde ligger inom "delta"-området.

Gräns ​​för cauchyfunktion: ett tal kallas gränsen för en funktion vid en punkt if för alla förvalt grannskap (så liten som du vill), existerar- punktens grannskap, SÅDAN, att: SOM ENDAST värden (tillhör) ingår i detta område: (röda pilar)– SÅ OMEDELBART kommer motsvarande funktionsvärden garanterat att komma in i -grannskapet: (blå pilar).

Jag måste varna dig för att jag för tydlighetens skull improviserade lite, så överanvänd inte =)

Kort post: , if

Vad är kärnan i definitionen? Bildligt talat, genom att oändligt minska -grannskapet, "följer" vi funktionsvärdena till deras gräns, vilket ger dem inget alternativ till att närma sig någon annanstans. Ganska ovanligt, men återigen strikt! För att helt förstå idén, läs om formuleringen igen.

! Uppmärksamhet: om du bara behöver formulera dig Heines definition eller bara Cauchy definition snälla glöm inte bort signifikant preliminära kommentarer: "Tänk på en funktion som är definierad på ett visst intervall, med eventuellt undantag för en punkt". Jag sa detta en gång i början och upprepade det inte varje gång.

Enligt motsvarande teorem för matematisk analys är definitionerna av Heine och Cauchy likvärdiga, men det andra alternativet är det mest kända (gör det fortfarande!), som också kallas "språkgränsen":

Exempel 4

Använd definitionen av limit, bevisa det

Lösning: funktionen är definierad på hela tallinjen utom punkten. Med hjälp av definitionen bevisar vi att det finns en gräns vid en given punkt.

Notera : värdet på "delta"-kvarteret beror på "epsilon", därav beteckningen

Låt oss överväga slumpmässig-miljö. Uppgiften är att använda detta värde för att kontrollera om finns det-miljö, SÅDAN, som från ojämlikheten ojämlikhet följer .

Om vi ​​antar att vi transformerar den sista ojämlikheten:
(utvidgade kvadrattrinomialet)