En metod för att beräkna rörelsemängden för ett mekaniskt system. Sats om förändringen i rörelsemängd i ett mekaniskt system

§1. Systemmomentum (systemimpuls)

Mängd rörelse (kroppsimpuls) – vektorfysisk kvantitet lika med produkten av en kropps massa och dess hastighet:

Impuls (mängd rörelse) är en av de mest grundläggande egenskaperna för rörelsen hos en kropp eller ett system av kroppar.

Låt oss skriva II Newtons lag i en annan form, med tanke på den accelerationen Då alltså

Produkten av en kraft och tiden för dess verkan är lika med ökningen av kroppens rörelsemängd:

Var- en kraftimpuls, som visar att resultatet av kraften beror inte bara på dess värde, utan också på varaktigheten av dess verkan.

Mängden rörelse hos systemet (impuls) kommer att kallas vektormängden , lika med den geometriska summan (huvudvektorn) av mängden rörelse (impulser) för alla punkter i systemet (Fig.2):

Det framgår av ritningen att, oavsett värdena på hastigheterna för systemets punkter (om inte dessa hastigheter är parallella), vektornkan anta alla värden och till och med vara lika med noll när en polygon konstruerad från vektorer, kommer att stängas. Därför i storlekdet är omöjligt att helt bedöma karaktären av systemets rörelse.

Fig.2. Systemrörelsekvantitet

§2. Sats om förändringen i momentum (momentum)

Låt en kraft verka på en kropp med massa m under en viss kort tidsperiod Δt Under påverkan av denna kraft förändras kroppens hastighet med Följaktligen, under tiden Δt, rörde sig kroppen med acceleration:

Från dynamikens grundläggande lag(Newtons andra lag) följer:

§3. Lagen om bevarande av momentum (lagen om bevarande av momentum)

Från satsen om förändringen i ett systems rörelsemängd kan följande viktiga följder erhållas:

1) Låt summan av alla yttre krafter som verkar på ett slutet system vara lika med noll:

Sedan från Eq. det följer att Q = = konst. Således, om summan av alla yttre krafter som verkar på ett slutet system är lika med noll, kommer vektorn för rörelsemängd (momentum) för systemet att vara konstant i storlek och riktning.

2) Låt de yttre krafterna som verkar på systemet vara sådana att summan av deras projektioner på någon axel (t.ex. HANDLA OM x ) är lika med noll:

Sedan från Eq.härav följer att i detta fallQx= konst. Om summan av projektionerna av alla verkande yttre krafter på någon axel är lika med noll, så är projektionen av systemets rörelsemängd (momentum) på denna axel ett konstant värde.

Dessa resultat uttrycker lagen om bevarande av systemets rörelsemängd: för vilken typ av interaktion som helst mellan kroppar som bildar ett slutet system, förblir vektorn för detta systems totala rörelsemängd konstant hela tiden.

Det följer av dem att inre krafter inte kan förändra systemets totala rörelsemängd.

Lagen om bevarande av total fart i ett isolerat system är en universell naturlag. I det mer allmänna fallet, när systemet inte är stängt, fråndet följer att den totala rörelsemängden för ett system med öppen slinga inte förblir konstant. Dess förändring per tidsenhet är lika med den geometriska summan av alla yttre krafter.

Låt oss titta på några exempel:

a) Fenomenet rekyl eller rekyl. Om vi ​​betraktar geväret och kulan som ett system, kommer trycket från pulvergaserna under ett skott att vara en intern kraft. Denna kraft kan inte ändra systemets totala momentum. Men eftersom pulvergaserna, som verkar på kulan, ger den en viss rörelse riktad framåt, måste de samtidigt ge geväret samma rörelse i motsatt riktning. Detta kommer att göra att geväret rör sig bakåt, d.v.s. den så kallade avkastningen. Ett liknande fenomen uppstår när man avfyrar en pistol (rollback).

b) Drift av propellern (propellern). Propellern ger rörelse till en viss mängd luft (eller vatten) längs propellerns axel och kastar denna massa tillbaka. Om vi ​​betraktar den kastade massan och flygplanet (eller fartyget) som ett system, så kan inte krafterna för samverkan mellan propellern och omgivningen, som interna, förändra den totala mängden rörelse i detta system. Därför, när en massa av luft (vatten) kastas tillbaka, får flygplanet (eller fartyget) en motsvarande hastighet framåt, så att den totala mängden rörelse för det aktuella systemet förblir lika med noll, eftersom det var noll före rörelsen började.

En liknande effekt uppnås genom verkan av åror eller skovelhjul.

c) Jetframdrivning. I en raket skjuts bränslets gasformiga förbränningsprodukter ut med hög hastighet från en öppning i raketens bakdel (från jetmotorns munstycke). Tryckkrafterna som verkar i detta fall kommer att vara interna krafter, och de kan inte ändra den totala mängden rörelse hos raketsystemet - bränsleförbränningsprodukter. Men eftersom de utströmmande gaserna har en viss rörelse bakåtriktad får raketen motsvarande hastighet framåt.

Självtestfrågor:

Hur formuleras satsen om förändringen i momentum i ett system?

Skriv ner det matematiska uttrycket för satsen om förändringen i momentum hos ett mekaniskt system i differential- och integralform.

I vilket fall ändras inte rörelsemängden i ett mekaniskt system?

Hur bestäms en impuls av variabel kraft över en begränsad tidsperiod? Vad kännetecknar en kraftimpuls?

Vilka är projektionerna av konstanta och variabla kraftimpulser på koordinataxlarna?

Vad är den resulterandes impuls?

Hur förändras rörelsemängden för en punkt som rör sig jämnt runt en cirkel?

Vad är rörelsemängden i ett mekaniskt system?

Vad är rörelsemängden för ett svänghjul som roterar runt en fast axel som passerar genom dess tyngdpunkt?

Under vilka förhållanden förändras inte rörelsemängden i ett mekaniskt system? Under vilka förhållanden förändras inte dess projektion på en viss axel?

Varför rullar pistolen tillbaka när den avfyras?

Kan interna krafter ändra rörelsemängden i ett system eller rörelsemängden hos en del av det?

Vilka faktorer bestämmer hastigheten för fri rörelse hos en raket?

Beror den slutliga hastigheten på en raket på bränslets förbränningstid?

Se: den här artikeln har lästs 23264 gånger

Pdf Välj språk... Ryska Ukrainska engelska

Kort recension

Hela materialet laddas ner ovan, efter val av språk

Mekaniskt system av materialpunkter eller kroppar är en sådan samling av dem där positionen och rörelsen för varje punkt (eller kropp) beror på de andras position och rörelse.
En materiell kropp betraktas som ett system av materiella punkter (partiklar) som bildar denna kropp.
Av yttre krafterär de krafter som verkar på punkter eller kroppar i ett mekaniskt system från punkter eller kroppar som inte tillhör detta system.
Av inre krafter, är de krafter som verkar på punkter eller kroppar i ett mekaniskt system från punkter eller kroppar i samma system, dvs. med vilka punkterna eller kropparna i ett givet system interagerar med varandra.
Systemets yttre och inre krafter kan i sin tur vara aktiva och reaktiva
Systemviktär lika med den algebraiska summan av massorna av alla punkter eller kroppar i systemet i ett enhetligt gravitationsfält, för vilket vikten av någon partikel i kroppen är proportionell mot dess massa. Därför kan fördelningen av massor i en kropp bestämmas av läget för dess tyngdpunkt - den geometriska punkten MED, vars koordinater kallas massacentrum eller tröghetscentrum för ett mekaniskt system
Sats om rörelsen av ett mekaniskt systems masscentrum: masscentrum för ett mekaniskt system rör sig som en materialpunkt, vars massa är lika med systemets massa och på vilken alla yttre krafter som verkar på systemet appliceras
Slutsatser:

1. Ett mekaniskt system eller en styv kropp kan betraktas som en materiell punkt beroende på arten av dess rörelse, och inte på dess storlek.
2. Inre krafter beaktas inte av satsen om masscentrums rörelse.
3. Satsen om masscentrums rörelse karakteriserar inte rotationsrörelsen hos ett mekaniskt system, utan endast det translationella systemet

Lag om bevarande av rörelse för systemets masscentrum:
1. Om summan av externa krafter (huvudvektorn) ständigt är lika med noll, är det mekaniska systemets masscentrum i vila eller rör sig likformigt och rätlinjigt.
2. Om summan av projektionerna av alla yttre krafter på någon axel är lika med noll, så är projektionen av hastigheten för systemets masscentrum på samma axel ett konstant värde.

Teorem om förändringen i momentum.

Mängden rörelse för en materialpunkt och är en vektorkvantitet som är lika med produkten av en punkts massa och dess hastighetsvektor.
Måttenheten för momentum är (kg m/s).
Mekaniskt system momentum- en vektorkvantitet lika med den geometriska summan (huvudvektorn) av rörelsemängden för alla punkter i systemet eller rörelsemängden i systemet är lika med produkten av hela systemets massa och hastigheten för dess massa
När en kropp (eller ett system) rör sig så att dess masscentrum är stationärt är kroppens rörelsemängd lika med noll (till exempel kroppens rotation runt en fast axel som passerar genom masscentrumet på kroppen).
Om kroppens rörelse är komplex, kommer den inte att karakterisera den roterande delen av rörelsen när den roterar runt massans centrum. Det vill säga att mängden rörelse karakteriserar endast systemets translationella rörelse (tillsammans med masscentrum).
Impulskraft kännetecknar en krafts verkan under en viss tidsperiod.
Kraftimpulsen för en begränsad tidsperiod definieras som integralsumman av motsvarande elementära impulser
Sats om förändringen i momentum för en materiell punkt:
(i differentialform): derivatan över tiden av en materialpunkts rörelsemängd är lika med den geometriska summan av de krafter som verkar på punkterna
(i integralform): Förändringen i rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med den geometriska summan av impulserna av krafter som appliceras på en punkt under samma tidsperiod.

Sats om förändringen i rörelsemängd i ett mekaniskt system
(i differentialform): Tidsderivatan av systemets rörelsemängd är lika med den geometriska summan av alla yttre krafter som verkar på systemet.
(i integralform): Förändringen i systemets rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med den geometriska summan av de impulser som verkar på systemet av yttre krafter under samma tidsperiod.
Teoremet tillåter att man utesluter uppenbart okända inre krafter från övervägande.
Satsen om rörelsemängdsförändringen i ett mekaniskt system och satsen om masscentrums rörelse är två i olika former ett teorem.
Lagen om bevarande av ett systems momentum.

1. Om summan av alla yttre krafter som verkar på systemet är lika med noll, kommer vektorn för systemets rörelsemängd att vara konstant i riktning och storlek.
2. Om summan av projektionerna av alla verkande yttre krafter på någon godtycklig axel är lika med noll, så är projektionen av rörelsemängden på denna axel ett konstant värde.

Bevarandelagar indikerar att inre krafter inte kan förändra systemets totala rörelsemängd.

1. Klassificering av krafter som verkar på ett mekaniskt system
2. Egenskaper inre krafter
3. Systemmassa. Masscentrum
4. Differentialekvationer rörelse av ett mekaniskt system
5. Sats om rörelsen av ett mekaniskt systems masscentrum
6. Lag om bevarande av rörelse hos ett systems masscentrum
7. Momentum change theorem
8. Lagen om bevarande av ett systems momentum

Språk: ryska, ukrainska

Storlek: 248K

Räkneexempel på en cylindrisk växel
Ett exempel på beräkning av en cylindrisk växel. Materialval, beräkning av tillåtna spänningar, beräkning av kontakt och böjhållfasthet har utförts.

Ett exempel på att lösa ett balkböjningsproblem
I exemplet konstruerades diagram över tvärkrafter och böjmoment, en farlig sektion hittades och en I-balk valdes. Problemet analyserade konstruktionen av diagram med hjälp av differentiella beroenden och genomförde en jämförande analys av olika tvärsnitt av balken.

Ett exempel på att lösa ett axeltorsionsproblem
Uppgiften är att testa hållfastheten hos en stålaxel vid en given diameter, material och tillåten spänning. Under lösningen konstrueras diagram över vridmoment, skjuvspänningar och vridvinklar. Skaftets egenvikt tas inte med i beräkningen

Ett exempel på att lösa ett problem med spänningskompression av en stav
Uppgiften är att testa hållfastheten hos en stålstång vid specificerade tillåtna spänningar. Under lösningen konstrueras diagram längsgående krafter, normal stress och rörelser. Spöets egenvikt tas inte med i beräkningen

Tillämpning av satsen om bevarande av kinetisk energi
Ett exempel på att lösa ett problem med hjälp av satsen om bevarande av kinetisk energi i ett mekaniskt system

Bestämma hastigheten och accelerationen för en punkt med hjälp av givna rörelseekvationer
Ett exempel på att lösa ett problem för att bestämma hastigheten och accelerationen för en punkt med hjälp av givna rörelseekvationer

Bestämning av hastigheter och accelerationer av punkter i en stel kropp under planparallell rörelse
Ett exempel på att lösa ett problem för att bestämma punkters hastigheter och accelerationer fast i planparallell rörelse

Mängden rörelse i systemet kalla den geometriska summan av rörelsemängderna för alla materialpunkter i systemet

Att få reda på fysisk mening(70) låt oss beräkna derivatan av (64)

. (71)

Att lösa (70) och (71) tillsammans får vi

. (72)

Således, rörelsemängdsvektorn för ett mekaniskt system bestäms av produkten av systemets massa och hastigheten för dess masscentrum.

Låt oss beräkna derivatan av (72)

. (73)

Att lösa (73) och (67) tillsammans får vi

. (74)

Ekvation (74) uttrycker följande sats.

Sats: Tidsderivatan av systemets rörelsemängdsvektor är lika med den geometriska summan av alla yttre krafter i systemet.

Vid problemlösning måste ekvation (74) projiceras på koordinataxlarna:

. (75)

Från analysen av (74) och (75) följer följande: lagen om bevarande av ett systems momentum: Om summan av alla krafter i systemet är noll, behåller dess rörelsemängdsvektor sin storlek och riktning.

Om
, Den där
,F = konst . (76)

I ett särskilt fall kan denna lag uppfyllas längs en av koordinataxlarna.

Om
, Den där, F z = konst. (77)

Det är tillrådligt att använda satsen om förändringen i momentum i de fall där systemet inkluderar vätske- och gaskroppar.

Sats om förändringen i rörelsemängd för ett mekaniskt system

Mängden rörelse kännetecknar endast den translationella komponenten av rörelse. För att karakterisera en kropps rotationsrörelse har konceptet med systemets huvudsakliga rörelsemängd i förhållande till ett givet centrum (kinetiskt moment) introducerats.

Systemets kinetiska moment i förhållande till ett givet centrum är den geometriska summan av momenten av rörelsemängderna för alla dess punkter i förhållande till samma centrum

. (78)

Genom att projicera (22) på koordinataxlarna kan vi få ett uttryck för det kinetiska momentet relativt koordinataxlarna

. (79)

Kroppens kinetiska moment i förhållande till axlarna lika med produkten av kroppens tröghetsmoment i förhållande till denna axel och kroppens vinkelhastighet

. (80)

Av (80) följer att det kinetiska momentet endast karaktäriserar rörelsens rotationskomponent.

Ett kännetecken för en krafts rotationsverkan är dess moment i förhållande till rotationsaxeln.

Satsen om förändringen i rörelsemängd fastställer förhållandet mellan egenskapen för rotationsrörelse och kraften som orsakar denna rörelse.

Sats: Tidsderivatan av vektorn för systemets rörelsemängd i förhållande till något centrum är lika med den geometriska summan av momenten av alla yttre krafter i systemet i förhållande tillsamma centrum

. (81)

Vid lösning av tekniska problem (81) är det nödvändigt att designa på koordinataxlarna

Deras analys av (81) och (82) innebär lagen om bevarande av rörelsemängd: Om summan av momenten för alla yttre krafter i förhållande till centrum (eller axeln) är lika med noll, så behåller systemets kinetiska moment i förhållande till detta centrum (eller axeln) sin storlek och riktning.

,

eller

Det kinetiska momentet kan inte ändras genom verkan av systemets inre krafter, men på grund av dessa krafter är det möjligt att ändra tröghetsmomentet, och därför vinkelhastigheten.

Bestående av n materiella poäng. Låt oss välja en viss punkt från detta system Mj med massa m j. Som bekant verkar yttre och inre krafter på denna punkt.

Låt oss tillämpa det på sak Mj resultatet av alla inre krafter F j i och resultatet av alla yttre krafter F j e(Figur 2.2). För en vald materialpunkt Mj(som för en fri poäng) skriver vi satsen om förändringen i momentum i differentialform (2.3):

Låt oss skriva liknande ekvationer för alla punkter i det mekaniska systemet (j=1,2,3,…,n).

Figur 2.2

Låt oss lägga ihop det hela bit för bit n ekvationer:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Här ∑m j ×V j =Q– Mängden rörelse hos det mekaniska systemet;
∑F j e = R e– huvudvektorn för alla yttre krafter som verkar på det mekaniska systemet.
∑Fjj = Ri =0– huvudvektorn för systemets inre krafter (enligt egenskapen hos interna krafter är den lika med noll).

Slutligen, för det mekaniska systemet vi får

dQ/dt = R e. (2.11)

Uttryck (2.11) är ett teorem om förändringen i rörelsemängd hos ett mekaniskt system i differentialform (i vektoruttryck): tidsderivatan av rörelsemängdsvektorn för ett mekaniskt system är lika med huvudvektorn för alla yttre krafter som verkar på systemet.

Genom att projicera vektorlikheten (2.11) på de kartesiska koordinataxlarna får vi uttryck för satsen om förändringen i rörelsemängden för ett mekaniskt system i koordinatuttryck (skalärt):

dQ x/dt = R x e;

dQ y/dt = R y e;

dQz/dt = Rz e, (2.12)

de där. tidsderivatan av projektionen av ett mekaniskt systems rörelsemängd på vilken axel som helst är lika med projektionen på denna axel av huvudvektorn av alla yttre krafter som verkar på detta mekaniska system.

Multiplicera båda sidor av jämlikhet (2,12) med dt, får vi satsen i en annan differentialform:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

de där. differentialmomentet för ett mekaniskt system är lika med den elementära impulsen för huvudvektorn (summan av elementära impulser) av alla yttre krafter som verkar på systemet.

Integrering av jämlikhet (2.13) inom tidsändringen från 0 till t, får vi ett teorem om förändringen i rörelsemängden hos ett mekaniskt system i slutlig (integral) form (i vektoruttryck):

Q - Qo = S e,

de där. förändringen i ett mekaniskt systems rörelsemängd över en begränsad tidsperiod är lika med den totala impulsen från huvudvektorn (summan av de totala impulserna) av alla yttre krafter som verkar på systemet under samma tidsperiod.

Genom att projicera vektorlikheten (2.14) på ​​de kartesiska koordinataxlarna får vi uttryck för satsen i projektioner (i ett skalärt uttryck):

de där. förändringen i projektionen av ett mekaniskt systems rörelsemängd på vilken axel som helst under en begränsad tidsperiod är lika med projektionen på samma axel av den totala impulsen av huvudvektorn (summan av de totala impulserna) av alla yttre krafter verkar på det mekaniska systemet under samma tidsperiod.

Följande följder följer av den övervägda satsen (2.11) – (2.15):

1. Om R e = ∑F j e = 0, Den där Q = konst– vi har lagen om bevarande av rörelsemängdsvektorn för ett mekaniskt system: om huvudvektorn R e av alla yttre krafter som verkar på ett mekaniskt system är lika med noll, då förblir detta systems rörelsemängdsvektor konstant i storlek och riktning och lika med dess initiala värde Q 0, dvs. Q = Q 0.
2. Om R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Den där Q x = konst– vi har lagen om bevarande av projektionen på ett mekaniskt systems rörelsemängdsaxel: om projektionen av huvudvektorn av alla krafter som verkar på ett mekaniskt system på någon axel är noll, då projektionen på samma axel av rörelsemängdsvektorn för detta system kommer att vara ett konstant värde och lika med projektionen på denna axels initiala rörelsemängdsvektor, dvs. Q x = Q 0x.

Differentialformen av satsen om förändringen i momentum i ett materialsystem har viktiga och intressanta tillämpningar inom kontinuummekanik. Från (2.11) kan vi få Eulers teorem.

Systemets rörelsemängd kommer att kallas vektorkvantiteten Q, lika med den geometriska summan (huvudvektorn) av rörelsemängderna för alla punkter i systemet (Fig. 288):

Med hjälp av denna definition kommer vi att hitta en formel med hjälp av vilken det är mycket lättare att beräkna värdet på Q, såväl som att förstå dess betydelse. Av jämlikhet (D) följer att

Om vi ​​tar tidsderivatan från båda sidor får vi

Härifrån finner vi det

det vill säga systemets rörelsemängd är lika med produkten av hela systemets massa och hastigheten för dess masscentrum.

Detta resultat är särskilt bekvämt att använda vid beräkning av rörelsemängden hos stela kroppar.

Från formel (19) är det tydligt att om en kropp (eller ett system) rör sig på ett sådant sätt att masscentrum förblir orörligt, så är kroppens rörelsemängd lika med noll. Till exempel kommer rörelsemängden för en kropp som roterar runt en fast axel som passerar genom dess masscentrum att vara noll.

Om kroppens rörelse är komplex, kommer värdet på Q inte att bero på dess rotationsrörelse runt massans centrum. Till exempel, för ett rullande hjul, oavsett hur hjulet roterar runt dess masscentrum C.

Sålunda kan mängden rörelse betraktas som ett kännetecken för den translationella rörelsen hos ett system (kropp), och i komplex rörelse - som en egenskap hos den translationella delen av rörelsen tillsammans med masscentrum.