5x 2 3 derivat. Hitta derivatan: algoritm och exempel på lösningar
Derivatan av en exponent är lika med exponenten själv (derivatan av e till x-potensen är lika med e till x-potensen):
(1)
(e x )′ = e x.
Derivatan av en exponentialfunktion med basen a är lika med själva funktionen multiplicerat med den naturliga logaritmen av a:
(2)
.
Härledning av formeln för derivatan av exponentialen, e till x-potensen
En exponential är en exponentiell funktion vars bas är lika med talet e, vilket är följande gräns:
.
Här kan det vara antingen ett naturligt tal eller ett reellt tal. Därefter härleder vi formel (1) för derivatan av exponentialen.
Härledning av den exponentiella derivatformeln
Betrakta exponentialen, e till x-potensen:
y = e x .
Denna funktion är definierad för alla. Låt oss hitta dess derivata med avseende på variabeln x. Per definition är derivatan följande gräns:
(3)
.
Låt oss omvandla detta uttryck för att reducera det till kända matematiska egenskaper och regler. För att göra detta behöver vi följande fakta:
A) Exponentegenskap:
(4)
;
B) Egenskapen för logaritmen:
(5)
;
I) Kontinuitet för logaritmen och egenskapen för gränser för en kontinuerlig funktion:
(6)
.
Här är en funktion som har en gräns och denna gräns är positiv.
G) Innebörden av den andra anmärkningsvärda gränsen:
(7)
.
Låt oss tillämpa dessa fakta till vår gräns (3). Vi använder egendom (4):
;
.
Låt oss göra ett byte. Sedan ;
.
.
På grund av kontinuiteten i exponentialen,
.
Därför, när , . Som ett resultat får vi:
.
Låt oss göra ett byte. Sedan .
Vid , .
.
Och vi har:
.
Låt oss tillämpa logaritmegenskapen (5): . Sedan Låt oss tillämpa egendom (6). Eftersom det finns en positiv gräns och logaritmen är kontinuerlig, då:
.
Här använde vi även den andra
anmärkningsvärd gräns
(7). Sedan
(8)
Således erhöll vi formel (1) för derivatan av exponentialen.
Härledning av formeln för derivatan av en exponentialfunktion
;
.
Nu härleder vi formeln (2) för derivatan av exponentialfunktionen med en bas av grad a. Det tror vi och . Sedan exponentialfunktionen
.
Definierat för alla.
Låt oss omvandla formel (8). För att göra detta kommer vi att använda egenskaperna för exponentialfunktionen och logaritmen.
(14)
.
(1)
.
Så vi transformerade formel (8) till följande form:
;
.
Högre ordningens derivator av e till x-potensen
.
Derivator av högre ordningar av exponentialfunktionen
Betrakta nu en exponentialfunktion med en bas av grad a:
.
Vi hittade dess första ordningens derivata:
(15)
.
Genom att differentiera (15) får vi derivator av andra och tredje ordningen:
;
.
Vi ser att varje differentiering leder till multiplikationen av den ursprungliga funktionen med . Därför har den n:e ordningens derivata följande form:
.
- Tabell över derivator av exponential- och logaritmiska funktioner
Derivater av enkla funktioner
1. Derivatan av ett tal är nollс´ = 0
Exempel:
5´ = 0
Förklaring:
Derivatan visar den hastighet med vilken värdet på en funktion ändras när dess argument ändras. Eftersom talet inte förändras på något sätt under några förhållanden, är ändringshastigheten alltid noll.
2. Derivat av en variabel lika med ett
x´ = 1
Förklaring:
Med varje ökning av argumentet (x) med ett, ökar värdet på funktionen (resultatet av beräkningen) med samma belopp. Således är förändringshastigheten i värdet av funktionen y = x exakt lika med förändringshastigheten i argumentets värde.
3. Derivatan av en variabel och en faktor är lika med denna faktor
сx´ = с
Exempel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Förklaring:
I I detta fall, varje gång funktionsargumentet ändras ( X) dess värde (y) ökar in Med en gång. Således är ändringshastigheten för funktionsvärdet i förhållande till ändringshastigheten för argumentet exakt lika med värdet Med.
Varifrån följer det
(cx + b)" = c
det vill säga differentialen för den linjära funktionen y=kx+b är lika med linjens lutning (k).
4. Moduloderivata av en variabel lika med kvoten för denna variabel till dess modul
|x|"= x / |x| förutsatt att x ≠ 0
Förklaring:
Eftersom derivatan av en variabel (se formel 2) är lika med en, skiljer sig modulens derivata endast genom att värdet på funktionens förändringshastighet ändras till det motsatta när man korsar utgångspunkten (försök att rita en graf av funktionen y = |x| och se själv Detta är exakt vilket värde och returnerar uttrycket x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vill säga, för negativa värden av variabeln x, med varje ökning av argumentet, minskar värdet på funktionen med exakt samma värde, och för positiva värden, tvärtom, ökar det, men med exakt samma värde .
5. Derivata av en variabel till en potens lika med produkten av ett tal av denna potens och en variabel till effekten reducerad med ett
(x c)"= cx c-1, förutsatt att xc och cx c-1 är definierade och c ≠ 0
Exempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
För att komma ihåg formeln:
Flytta graden av variabeln nedåt som en faktor och minska sedan själva graden med en. Till exempel, för x 2 - de två var före x, och sedan gav den reducerade kraften (2-1 = 1) oss helt enkelt 2x. Samma sak hände för x 3 - vi "flyttar ner" trippeln, minskar den med en och istället för en kub har vi en kvadrat, det vill säga 3x 2. Lite "ovetenskapligt" men väldigt lätt att komma ihåg.
6.Derivata av en bråkdel 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exempel:
Eftersom en bråkdel kan representeras som en höjning till en negativ potens
(1/x)" = (x -1)", då kan du tillämpa formeln från regel 5 i derivattabellen
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2
7. Derivata av en bråkdel med en variabel av godtycklig grad i nämnaren
(1 / x c)" = - c/x c+1
Exempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Derivat av roten(derivata av variabel under kvadratroten)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Exempel:
(√x)" = (x 1/2)" betyder att du kan tillämpa formeln från regel 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Derivat av en variabel under roten av en godtycklig grad
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Datum: 2015-10-05
Hur hittar man derivatan?
Regler för differentiering.
För att hitta derivatan av en funktion behöver du bara behärska tre begrepp:
2. Regler för differentiering.
3. Derivata av en komplex funktion.
Precis i den ordningen. Det är en ledtråd.)
Naturligtvis skulle det vara trevligt att ha en idé om derivat i allmänhet). Vad ett derivat är och hur man arbetar med tabellen över derivat förklaras tydligt i föregående lektion. Här kommer vi att behandla reglerna för differentiering.
Differentiering är operationen att hitta derivatan. Det finns inget mer gömt bakom denna term. De där. uttryck "hitta derivatan av en funktion" Och "särskilja en funktion"- Det är samma.
Uttryck "differentieringsregler" syftar på att hitta derivatan från aritmetiska operationer. Denna förståelse hjälper mycket för att undvika förvirring i ditt huvud.
Låt oss koncentrera oss och komma ihåg alla, alla, alla aritmetiska operationer. Det finns fyra av dem). Addition (summa), subtraktion (skillnad), multiplikation (produkt) och division (kvot). Här är de, reglerna för differentiering:
Plattan visar fem regler om fyra aritmetiska operationer. Jag blev inte förkortad.) Det är bara att regel 4 är en elementär konsekvens av regel 3. Men den är så populär att det är vettigt att skriva (och komma ihåg!) den som en oberoende formel.
Under beteckningarna U Och V vissa (absolut vilka som helst!) funktioner är underförstådda U(x) Och V(x).
Låt oss titta på några exempel. Först - de enklaste.
Hitta derivatan av funktionen y=sinx - x 2
Här har vi skillnad två elementära funktioner. Vi tillämpar regel 2. Vi kommer att anta att sinx är en funktion U, och x 2 är funktionen V. Vi har all rätt att skriva:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Det är bättre, eller hur?) Allt som återstår är att hitta derivatorna av sinus och kvadrat av x. Det finns en tabell över derivat för detta ändamål. Vi letar bara efter de funktioner vi behöver i tabellen ( sinx Och x 2), titta på vilka derivator de har och skriv ner svaret:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Det är allt. Regel 1 för summadifferentiering fungerar exakt likadant.
Vad händer om vi har flera termer? Inga problem.) Vi delar upp funktionen i termer och letar efter derivatan av varje term oberoende av de andra. Till exempel:
Hitta derivatan av funktionen y=sinx - x 2 +cosx - x +3
Vi skriver djärvt:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
I slutet av lektionen kommer jag att ge tips för att göra livet lättare när man särskiljer.)
1. Före differentiering, se om det är möjligt att förenkla den ursprungliga funktionen.
2. I komplicerade exempel beskriver vi lösningen i detalj, med alla parenteser och streck.
3. När vi differentierar bråk med ett konstant tal i nämnaren gör vi division till multiplikation och använder regel 4.
Datum: 2014-11-20
Vad är ett derivat?
Tabell över derivat.
Derivat är ett av huvudbegreppen inom högre matematik. I den här lektionen kommer vi att introducera detta koncept. Låt oss lära känna varandra, utan strikta matematiska formuleringar och bevis.
Denna bekantskap låter dig:
Förstå essensen av enkla uppgifter med derivator;
Lös dessa enklaste uppgifter framgångsrikt;
Förbered dig på mer seriösa lektioner om derivat.
Först - en trevlig överraskning.)
Den strikta definitionen av derivatan är baserad på teorin om gränser och saken är ganska komplicerad. Det här är upprörande. Men den praktiska tillämpningen av derivat kräver som regel inte så omfattande och djup kunskap!
För att framgångsrikt slutföra de flesta uppgifter i skolan och universitetet räcker det att veta bara några termer- att förstå uppgiften, och bara några regler- att lösa det. Det är allt. Detta gör mig lycklig.
Låt oss börja bekanta oss?)
Villkor och beteckningar.
Det finns många olika matematiska operationer i elementär matematik. Addition, subtraktion, multiplikation, exponentiering, logaritm, etc. Om du lägger till ytterligare en operation till dessa operationer blir elementär matematik högre. Denna nya operation kallas differentiering. Definitionen och innebörden av denna operation kommer att diskuteras i separata lektioner.
Det är viktigt att förstå här att differentiering helt enkelt är en matematisk operation på en funktion. Vi tar vilken funktion som helst och enligt vissa regler, förvandla den. Resultatet blir en ny funktion. Denna nya funktion kallas: derivat.
Differentiering- åtgärd på en funktion.
Derivat- resultatet av denna åtgärd.
Precis som t.ex. belopp- resultatet av tillägget. Eller privat- resultatet av division.
Genom att känna till termerna kan du åtminstone förstå uppgifterna.) Formuleringarna är följande: hitta derivatan av en funktion; ta derivatan; differentiera funktionen; beräkna derivata och så vidare. Detta är allt samma. Naturligtvis finns det också mer komplexa uppgifter, där att hitta derivatan (differentiering) bara kommer att vara ett av stegen för att lösa problemet.
Derivatan indikeras med ett streck längst upp till höger i funktionen. Så här: y" eller f"(x) eller S"(t) och så vidare.
Läsning igrek stroke, ef stroke från x, es stroke från te, ja ni förstår...)
Ett primtal kan också indikera derivatan av en viss funktion, till exempel: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Ofta betecknas derivator med differentialer, men vi kommer inte att överväga sådan notation i den här lektionen.
Låt oss anta att vi har lärt oss att förstå uppgifterna. Allt som återstår är att lära sig hur man löser dem.) Låt mig påminna dig ännu en gång: att hitta derivatan är omvandling av en funktion enligt vissa regler.Överraskande nog finns det väldigt få av dessa regler.
För att hitta derivatan av en funktion behöver du bara veta tre saker. Tre pelare som all differentiering står på. Dessa är de tre pelarna:
1. Tabell över derivat (differentieringsformler).
3. Derivata av en komplex funktion.
Låt oss börja i ordning. I den här lektionen kommer vi att titta på tabellen över derivat.
Tabell över derivat.
Det finns ett oändligt antal funktioner i världen. Bland denna uppsättning finns funktioner som är viktigast för praktisk användning. Dessa funktioner finns i alla naturlagar. Från dessa funktioner, som från tegelstenar, kan du konstruera alla andra. Denna klass av funktioner kallas elementära funktioner. Det är dessa funktioner som studeras i skolan - linjär, kvadratisk, hyperbel, etc.
Differentiering av funktioner "från grunden", d.v.s. Baserat på definitionen av derivat och teorin om gränser är detta en ganska arbetsintensiv sak. Och matematiker är människor också, ja, ja!) Så de förenklade sitt (och oss) liv. De beräknade derivatorna av elementära funktioner före oss. Resultatet är en tabell över derivat, där allt är klart.)
Här är den, denna platta för de mest populära funktionerna. Vänster - elementär funktion, till höger är dess derivata.
| Fungera y |
Derivata av funktion y y" |
|
| 1 | C (konstant värde) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - valfritt tal) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | synd x | (sin x)" = cosx |
| för x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | båge x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | logga a x |  |
| ln x ( a = e) |
Jag rekommenderar att du uppmärksammar den tredje gruppen av funktioner i denna tabell över derivator. Derivatan av en potensfunktion är en av de vanligaste formlerna, om inte den vanligaste! Förstår du tipset?) Ja, det är lämpligt att kunna tabellen över derivator utantill. Förresten, det här är inte så svårt som det kan verka. Försök att lösa fler exempel, själva tabellen kommer att komma ihåg!)
Att hitta tabellvärdet för derivatan, som du förstår, är inte den svåraste uppgiften. Därför finns det mycket ofta i sådana uppgifter ytterligare marker. Antingen i uppgiftens ordalydelse eller i den ursprungliga funktionen, som inte verkar finnas i tabellen...
Låt oss titta på några exempel:
1. Hitta derivatan av funktionen y = x 3
Det finns ingen sådan funktion i tabellen. Men det finns en derivata av maktfunktionen i allmän syn(tredje gruppen). I vårt fall n=3. Så vi byter ut tre istället för n och skriver noggrant ner resultatet:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Det är allt.
Svar: y" = 3x 2
2. Hitta värdet på derivatan av funktionen y = sinx i punkten x = 0.
Denna uppgift innebär att du först måste hitta derivatan av sinus och sedan ersätta värdet x = 0 i samma derivata. Precis i den ordningen! Annars händer det att de omedelbart ersätter noll i den ursprungliga funktionen... Vi uppmanas att hitta inte värdet på den ursprungliga funktionen, utan värdet dess derivat. Låt mig påminna dig om att derivatan är en ny funktion.
Med hjälp av surfplattan hittar vi sinus och motsvarande derivata:
y" = (sin x)" = cosx
Vi ersätter noll i derivatan:
y"(0) = cos 0 = 1
Detta kommer att vara svaret.
3. Differentiera funktionen:
Vad inspirerar det?) Det finns ingen sådan funktion i tabellen över derivator.
Låt mig påminna dig om att att differentiera en funktion helt enkelt är att hitta derivatan av denna funktion. Om du glömmer elementär trigonometri är det ganska besvärligt att leta efter derivatan av vår funktion. Bordet hjälper inte...
Men om vi ser att vår funktion är dubbel vinkel cosinus, då blir allt bättre direkt!
Jaja! Kom ihåg att omvandla den ursprungliga funktionen före differentiering helt acceptabelt! Och det råkar göra livet mycket lättare. Med hjälp av dubbelvinkel-kosinusformeln:
De där. vår knepiga funktion är inget annat än y=cosx. Och det här är en tabellfunktion. Vi får genast:
Svar: y" = - sin x.
Exempel för avancerade akademiker och studenter:
4. Hitta derivatan av funktionen:
Det finns naturligtvis ingen sådan funktion i derivattabellen. Men om du kommer ihåg elementär matematik, operationer med potenser... Då är det fullt möjligt att förenkla denna funktion. Så här:
Och x till en tiondels makt är redan en tabellfunktion! Tredje gruppen, n=1/10. Vi skriver direkt enligt formeln:
Det är allt. Detta kommer att vara svaret.
Jag hoppas att allt är klart med den första pelaren av differentiering - tabellen över derivat. Det återstår att ta itu med de två återstående valarna. I nästa lektion kommer vi att lära oss reglerna för differentiering.
Att lösa fysiska problem eller exempel i matematik är helt omöjligt utan kunskap om derivatan och metoder för att beräkna den. Derivat är ett av de viktigaste begreppen matematisk analys. Vi bestämde oss för att ägna dagens artikel till detta grundläggande ämne. Vad är ett derivat, vad är dess fysiska och geometrisk betydelse hur beräknar man derivatan av en funktion? Alla dessa frågor kan kombineras till en: hur förstår man derivatan?
Geometrisk och fysisk betydelse av derivata
Låt det finnas en funktion f(x) , specificerad i ett visst intervall (a, b) . Punkterna x och x0 hör till detta intervall. När x ändras ändras själva funktionen. Ändra argumentet - skillnaden i dess värden x-x0 . Denna skillnad skrivs som delta x och kallas argumentökning. En förändring eller ökning av en funktion är skillnaden mellan värdena för en funktion vid två punkter. Definition av derivat:
Derivatan av en funktion vid en punkt är gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen vid en given punkt och ökningen av argumentet när det senare tenderar till noll.
Annars kan det skrivas så här:
Vad är poängen med att hitta en sådan gräns? Och här är vad det är:
derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för vinkeln mellan OX-axeln och tangenten till grafen för funktionen i en given punkt.
Fysisk mening derivat: derivatan av banan med avseende på tid är lika med hastigheten för rätlinjig rörelse.
Sedan skoltiden vet alla att hastighet är en speciell väg x=f(t) och tid t . Medelhastighet under en viss tidsperiod:
För att ta reda på rörelsehastigheten vid ett ögonblick i tiden t0 du måste beräkna gränsen:
Regel ett: sätt en konstant
Konstanten kan tas ut ur derivattecknet. Dessutom måste detta göras. När du löser exempel i matematik, ta det som regel - Om du kan förenkla ett uttryck, se till att förenkla det .
Exempel. Låt oss beräkna derivatan:
Regel två: derivata av summan av funktioner
Derivatan av summan av två funktioner är lika med summan av derivatan av dessa funktioner. Detsamma gäller för derivatan av skillnaden mellan funktioner.
Vi kommer inte att ge ett bevis för denna sats, utan snarare överväga ett praktiskt exempel.
Hitta derivatan av funktionen:
Regel tre: derivata av produkten av funktioner
Derivatan av produkten av två differentierbara funktioner beräknas med formeln:
Exempel: hitta derivatan av en funktion:
Lösning: 
Det är viktigt att prata om att beräkna derivator av komplexa funktioner här. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av denna funktion med avseende på det mellanliggande argumentet och derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.
I exemplet ovan stöter vi på uttrycket:
I det här fallet är det mellanliggande argumentet 8x i femte potensen. För att beräkna derivatan av ett sådant uttryck, beräknar vi först derivatan av den externa funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet och multiplicerar sedan med derivatan av själva det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.
Regel fyra: derivata av kvoten av två funktioner
Formel för att bestämma derivatan av kvoten av två funktioner:
Vi försökte prata om derivat för dummies från grunden. Det här ämnet är inte så enkelt som det verkar, så var varning: det finns ofta fallgropar i exemplen, så var försiktig när du beräknar derivator.
Vid frågor om detta och andra ämnen kan du kontakta studenttjänsten. På kort tid hjälper vi dig att lösa det svåraste testet och förstå uppgifterna, även om du aldrig tidigare gjort derivatberäkningar.
