Hur man betecknar korsande linjer. Vinkel mellan korsande räta linjer - definition, exempel på fynd

Symbolik av genetik

Symbolism är en lista och förklaring av konventionella namn och termer som används inom alla vetenskapsgrenar.

Grunden till genetisk symbolism lades av Gregor Mendel, som använde alfabetisk symbolik för att beteckna egenskaper. Dominanta egenskaper betecknades med versaler i det latinska alfabetet A, B, C, etc., recessiv- med små bokstäver - a, b, c, etc. Bokstavssymbolik, föreslagen av Mendel, är i huvudsak en algebraisk form för att uttrycka lagarna för arv av egenskaper.

Följande symbolik används för att indikera korsning.

Föräldrar betecknas med den latinska bokstaven P (Föräldrar - föräldrar), sedan skrivs deras genotyper ner bredvid dem. Kvinna betecknas med symbolen ♂ (spegel av Venus), manlig- ♀ (Mars sköld och spjut). Ett "x" sätts mellan föräldrarna för att indikera korsning. Den kvinnliga genotypen skrivs på första plats och den manliga på andra plats.

Först avknä betecknad F1 (Filli - barn), den andra generationen - F2, etc. Beteckningarna på ättlingarnas genotyper ges i närheten.

Ordlista över grundläggande termer och begrepp

Alternativa tecken– ömsesidigt uteslutande, kontrasterande egenskaper.

Gameter(från grekiska " könsceller"- make) är en reproduktionscell från en växt- eller djurorganism som bär en gen från ett allelpar. Gameter bär alltid gener i "ren" form, eftersom de bildas genom meiotisk celldelning och innehåller en av ett par homologa kromosomer.

Gen(från grekiska " genos" - födelse) - en del av en DNA-molekyl, informationsbärande om den primära strukturen hos ett visst protein.

Alleliska gener– parade gener som finns i identiska regioner av homologa kromosomer.

Genotyp- en uppsättning ärftliga lutningar (gener) hos en organism.

Heterozygot(från grekiska " heteros" - annan och zygot) - en zygot som har två olika alleler för en given gen ( Aa, Bb).

Homozygot(från grekiska " homos" - identisk och zygot) - en zygot som har samma alleler av en given gen (båda dominanta eller båda recessiva).

Homologa kromosomer(från grekiska " homos" - identiska) - parade kromosomer, identiska i form, storlek, uppsättning gener. I en diploid cell är uppsättningen kromosomer alltid parad: en kromosom kommer från ett par av moderns ursprung, den andra är av faderligt ursprung.

Dominant egenskap (gen) – dominerande, manifesterande - anges med versaler i det latinska alfabetet: A, B, C osv.

Recessiv egenskap (gen) – det undertryckta tecknet indikeras av motsvarande gemener i det latinska alfabetet: A,bMed etc

Analyserar korsning– korsning av testorganismen med en annan, som är en recessiv homozygot för en given egenskap, vilket gör det möjligt att fastställa testpersonens genotyp.

Dihybrid korsning– korsning av former som skiljer sig från varandra i två par alternativa egenskaper.

Monohybrid korsning– korsning av former som skiljer sig från varandra i ett par alternativa egenskaper.

Fenotyp- helheten av alla yttre tecken och organismens egenskaper tillgängliga för observation och analys.

ü Algoritm för att lösa genetiska problem

1. Läs uppgiftsnivån noggrant.

2. Gör en kort notering av problemförhållandena.

3. Registrera genotyperna och fenotyperna för de individer som korsas.

4. Identifiera och registrera de typer av könsceller som produceras av individerna som korsas.

5. Bestäm och registrera genotyperna och fenotyperna för avkomman som erhållits från korsningen.

6. Analysera resultaten av korsningen. För att göra detta, bestäm antalet klasser av avkommor efter fenotyp och genotyp och skriv ner dem som ett numeriskt förhållande.

7. Skriv ner svaret på problemfrågan.

(När man löser problem i vissa ämnen kan sekvensen av steg ändras och deras innehåll kan ändras.)

ü Formateringsuppgifter

1. Det är vanligt att först registrera genotypen av den kvinnliga individen och sedan den manliga ( korrekt inmatning - ♀ААВВ x ♂аавв; ogiltig inmatning - ♂aavv x ♀AABB).

2. Gener av ett allelpar skrivs alltid bredvid varandra (rätt inmatning - ♀ААВВ; felaktig inmatning ♀ААВВ).

3. När du registrerar en genotyp skrivs bokstäver som betecknar egenskaper alltid i alfabetisk ordning, oavsett vilken egenskap - dominant eller recessiv - de betecknar ( korrekt inmatning - ♀ааВВ; felaktig inmatning -♀ VVaa).

4. Om endast en individs fenotyp är känd, skrivs endast de gener vars närvaro är obestridlig när genotypen registreras. En gen som inte kan bestämmas av fenotyp betecknas med ett "_"(till exempel, om den gula färgen (A) och den släta formen (B) hos ärtfrön är dominerande egenskaper, och den gröna färgen (a) och den rynkiga formen (c) är recessiva, då genotypen av en individ med gula skrynkliga frön skrivs så här: A_vv).

5. Fenotypen skrivs alltid under genotypen.

6. Gameter skrivs genom att ringa in dem (A).

7. Hos individer bestäms och registreras typerna av könsceller, inte deras antal

korrekt inmatning felaktig inmatning

♀AA ♀AA

A A A

8. Fenotyper och typer av könsceller skrivs strikt under motsvarande genotyp.

9. Framstegen med att lösa problemet registreras med motivering för varje slutsats och de resultat som erhållits.

10. Resultaten av korsning är alltid probabilistisk natur och uttrycks antingen som en procentandel eller som en bråkdel av en enhet (till exempel är sannolikheten för att producera avkomma som är mottaglig för smut 50 % eller ½. Förhållandet mellan klasser av avkomma skrivs som en segregationsformel (till exempel gult) -fröade och grönfröade växter i förhållandet 1:1).

Ett exempel på att lösa och formatera problem

Uppgift. Hos vattenmelon dominerar grön färg (A) över randig färg. Bestäm genotyperna och fenotyperna för F1 och F2 som erhålls från korsning av homozygota växter med gröna och randiga frukter.

Genetisk symbolik

Symbolism är en lista och förklaring av konventionella namn och termer som används inom alla vetenskapsgrenar.

Grunden till genetisk symbolism lades av Gregor Mendel, som använde alfabetisk symbolik för att beteckna egenskaper. Dominerande egenskaper betecknades med versaler i det latinska alfabetet A, B, C, etc., recessiva tecken - med små bokstäver - a, b, c, etc. Bokstavlig symbolism, föreslagen av Mendel, är i huvudsak en algebraisk form för att uttrycka lagarna för arv av egenskaper.

Följande symbolik används för att indikera korsning.

Föräldrar betecknas med den latinska bokstaven P (Föräldrar - föräldrar), sedan skrivs deras genotyper ner bredvid dem. Det kvinnliga könet betecknas med symbolen ♂ (Venus spegel), det manliga könet med ♀ (Mars sköld och spjut). Ett "x" sätts mellan föräldrarna för att indikera korsning. Den kvinnliga genotypen skrivs på första plats och den manliga på andra plats.

Den första generationen är betecknad F 1 (Filli - barn), andra generationen - F 2 etc. I närheten finns beteckningarna på ättlingarnas genotyper.

Ordlista över grundläggande termer och begrepp

Alleler (alleliska gener) — olika former en gen, som härrör från mutationer och lokaliserad på identiska punkter (loci) av parade homologa kromosomer.

Alternativa tecken– ömsesidigt uteslutande, kontrasterande egenskaper.

Gameter (från grekiskan "gameter" "- make) är en reproduktionscell från en växt- eller djurorganism som bär en gen från ett allelpar. Gameter bär alltid gener i en "ren" form, eftersom bildas genom meiotisk celldelning och innehåller en av ett par homologa kromosomer.

Gen (av grekiskan "genos" "- födelse) är en del av en DNA-molekyl som bär information om den primära strukturen hos ett specifikt protein.

Alleliska gener – parade gener som finns i identiska regioner av homologa kromosomer.

Genotyp - en uppsättning ärftliga lutningar (gener) hos en organism.

Heterozygot (från grekiskan "heteros" " - annan och zygot) - en zygot som har två olika alleler för en given gen ( Aa, Bb).

Heterozygotär individer som har fått olika gener från sina föräldrar. En heterozygot individ i sin avkomma producerar segregation för denna egenskap.

Homozygot (från grekiskan "homos" " - identisk och zygot) - en zygot som har samma alleler av en given gen (båda dominanta eller båda recessiva).

Homozygot kallas individer som har fått av sina föräldrar samma ärftliga böjelser (gener) för någon specifik egenskap. En homozygot individ producerar inte klyvning i sin avkomma.

Homologa kromosomer(från grekiska "homos" " - identiska) - parade kromosomer, identiska i form, storlek, uppsättning gener. I en diploid cell är uppsättningen kromosomer alltid parad: en kromosom kommer från ett par av moderns ursprung, den andra är av faderligt ursprung.

Heterozygotär individer som har fått olika gener från sina föräldrar. Således, genom genotyp, kan individer vara homozygota (AA eller aa) eller heterozygota (Aa).

Dominant egenskap (gen) – dominerande, manifesterande - anges med versaler i det latinska alfabetet: A, B, C osv.

Recessiv egenskap (gen) – det undertryckta tecknet indikeras av motsvarande gemener i det latinska alfabetet: a, b c osv.

Analyserar korsning– korsning av testorganismen med en annan, som är en recessiv homozygot för en given egenskap, vilket gör det möjligt att fastställa testpersonens genotyp.

Dihybrid korsning– korsning av former som skiljer sig från varandra i två par alternativa egenskaper.

Monohybrid korsning– korsning av former som skiljer sig från varandra i ett par alternativa egenskaper.

Rena linjer - organismer som är homozygota för en eller flera egenskaper och inte producerar manifestationer av en alternativ egenskap hos sin avkomma.

Hårtork är ett tecken.

Fenotyp - helheten av alla yttre tecken och egenskaper hos en organism som är tillgängliga för observation och analys.

Algoritm för att lösa genetiska problem

1. Läs uppgiftsnivån noggrant.
2. Gör en kort notering av problemförhållandena.
3. Registrera genotyperna och fenotyperna för de korsade individerna.
4. Identifiera och registrera de typer av könsceller som produceras av individerna som korsas.
5. Bestäm och registrera genotyperna och fenotyperna för avkomman som erhållits från korsningen.
6. Analysera resultaten av korsningen. För att göra detta, bestäm antalet klasser av avkommor efter fenotyp och genotyp och skriv ner dem som ett numeriskt förhållande.
7. Skriv ner svaret på frågan i uppgiften.

(När man löser problem i vissa ämnen kan sekvensen av steg ändras och deras innehåll kan ändras.)

Formateringsuppgifter

1. Det är vanligt att först registrera den kvinnliga genotypen och sedan den manliga (korrekt inmatning - ♀ААВВ x ♂аавв; ogiltig inmatning- ♂ aavv x ♀AABB).
2. Gener av ett allelpar skrivs alltid bredvid varandra(rätt inmatning - ♀ААВВ; felaktig inmatning ♀ААВВ).
3. När du registrerar en genotyp skrivs bokstäver som betecknar egenskaper alltid i alfabetisk ordning, oavsett vilken egenskap - dominant eller recessiv - de betecknar (korrekt inmatning - ♀ааВВ;felaktig inmatning -♀ VVaa).
4. Om endast en individs fenotyp är känd, skrivs endast de gener vars närvaro är obestridlig ned när genotypen registreras.En gen som inte kan bestämmas av fenotyp betecknas med ett "_"(till exempel, om den gula färgen (A) och den släta formen (B) hos ärtfrön är dominerande egenskaper, och den gröna färgen (a) och den rynkiga formen (c) är recessiva, då är genotypen för en individ med gula skrynkliga frön skrivs så här: A_vv).
5. Fenotypen skrivs alltid under genotypen.
6. Gameter skrivs genom att ringa in dem.(A).
7. Hos individer bestäms och registreras typerna av könsceller, inte deras antal

Oändlighet.J. Wallis (1655).

Fanns först i avhandlingen av den engelske matematikern John Valis "On Conic Sections".

Basen för naturliga logaritmer. L. Euler (1736).

Matematisk konstant, transcendentalt tal. Detta nummer kallas ibland icke-fjädrad för att hedra skotsken vetenskapsmannen Napier, författare till verket "Description of the Amazing Table of Logarithms" (1614). För första gången är konstanten tyst närvarande i bilagan till översättningen till engelska språket det förutnämnda verket av Napier, publicerat 1618. Själva konstanten beräknades först av den schweiziske matematikern Jacob Bernoulli samtidigt som man löste problemet med ränteinkomsternas gränsvärde.

2,71828182845904523...

Den första kända användningen av denna konstant, där den betecknades med bokstaven b, som finns i Leibniz brev till Huygens, 1690-1691. Brev e Euler började använda den 1727, och den första publikationen med detta brev var hans verk "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically" 1736. Respektive, e brukar kallas Euler nummer. Varför valdes denna bokstav? e, exakt okänd. Kanske beror det på att ordet börjar med det exponentiell("indikativ", "exponentiell"). Ett annat antagande är att bokstäverna a, b, c Och d har redan använts ganska brett för andra ändamål, och e var det första "fria" brevet.

Förhållandet mellan omkretsen och diametern. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematisk konstant, irrationellt tal. Siffran "pi", det gamla namnet är Ludolphs nummer. Liksom alla irrationella tal representeras π som ett oändligt icke-periodiskt decimaltal:

π =3,141592653589793...

För första gången användes beteckningen av detta nummer med den grekiska bokstaven π av den brittiske matematikern William Jones i boken "A New Introduction to Mathematics", och den blev allmänt accepterad efter Leonhard Eulers arbete. Denna beteckning kommer från begynnelsebokstaven i de grekiska orden περιφερεια - cirkel, periferi och περιμετρος - omkrets. Johann Heinrich Lambert bevisade irrationaliteten av π 1761, och Adrienne Marie Legendre bevisade irrationaliteten av π 2 1774. Legendre och Euler antog att π kunde vara transcendental, dvs. kan inte tillfredsställa någon algebraisk ekvation med heltalskoefficienter, vilket så småningom bevisades 1882 av Ferdinand von Lindemann.

Fantasifull enhet. L. Euler (1777, i tryck - 1794).

Det är känt att ekvationen x 2 = 1 har två rötter: 1 Och -1 . Den imaginära enheten är en av ekvationens två rötter x 2 = -1, betecknad med en latinsk bokstav i, en annan rot: -jag. Denna beteckning föreslogs av Leonhard Euler, som tog den första bokstaven i det latinska ordet för detta ändamål imaginarius(imaginär). Han utökade också alla standardfunktioner till den komplexa domänen, d.v.s. uppsättning siffror representerade som a+ib, Var a Och b- riktiga nummer. Termen "komplext tal" introducerades i utbredd användning av den tyske matematikern Carl Gauss 1831, även om termen tidigare hade använts i samma betydelse av den franske matematikern Lazare Carnot 1803.

Enhetsvektorer. W. Hamilton (1853).

Enhetsvektorer är ofta associerade med koordinataxlarna för ett koordinatsystem (i synnerhet axlarna för ett kartesiskt koordinatsystem). Enhetsvektor riktad längs axeln X, betecknad i, enhetsvektor riktad längs axeln Y, betecknad j, och enhetsvektorn riktad längs axeln Z, betecknad k. Vektorer i, j, k kallas enhetsvektorer, de har enhetsmoduler. Termen "ort" introducerades av den engelske matematikern och ingenjören Oliver Heaviside (1892), och notationen i, j, k- Den irländska matematikern William Hamilton.

Heltalsdel av talet, antie. K. Gauss (1808).

Heltalsdelen av talet [x] i talet x är det största heltal som inte överstiger x. Så, =5, [-3,6]=-4. Funktionen [x] kallas också "antier av x". Hela funktionssymbolen introducerades av Carl Gauss 1808. Vissa matematiker föredrar att istället använda notationen E(x), som föreslogs 1798 av Legendre.

Parallellitetsvinkel. N.I. Lobatsjovskij (1835).

På Lobachevsky-planet - vinkeln mellan den raka linjenb, passerar genom punktenHANDLA OMparallellt med linjena, som inte innehåller en punktHANDLA OM, och vinkelrät frånHANDLA OM på a. α - längden på denna vinkelrät. När punkten flyttas bortHANDLA OM från den raka linjen aparallellitetsvinkeln minskar från 90° till 0°. Lobatsjovskij gav en formel för parallellismens vinkelP( α )=2arctg e - α /q , Var q— någon konstant förknippad med krökningen av Lobachevsky-rymden.

Okända eller varierande mängder. R. Descartes (1637).

I matematik är en variabel en kvantitet som kännetecknas av den uppsättning värden den kan ta. Detta kan betyda både en verklig fysisk storhet, tillfälligt betraktad isolerad från sitt fysiska sammanhang, och någon abstrakt kvantitet som inte har några analoger i verkliga världen. Begreppet variabel uppstod på 1600-talet. till en början under inflytande av naturvetenskapens krav, som aktualiserade studiet av rörelse, processer och inte bara tillstånd. Detta koncept krävde nya former för sitt uttryck. Sådana nya former var bokstavsalgebra och analytisk geometri René Descartes. Först rektangulärt system koordinater och notationer x, y introducerades av Rene Descartes i hans arbete "Discourse on Method" 1637. Pierre Fermat bidrog också till utvecklingen av koordinatmetoden, men hans verk publicerades först efter hans död. Descartes och Fermat använde koordinatmetoden endast på planet. Koordinatmetoden för tredimensionell rymd användes först av Leonhard Euler redan på 1700-talet.

Vektor. O. Cauchy (1853).

Redan från början förstås en vektor som ett objekt som har en magnitud, en riktning och (valfritt) en appliceringspunkt. Början av vektorkalkyl dök upp tillsammans med den geometriska modellen av komplexa tal i Gauss (1831). Hamilton publicerade utvecklade operationer med vektorer som en del av sin quaternion kalkyl (vektorn bildades av de imaginära komponenterna i quaternion). Hamilton föreslog termen vektor(från det latinska ordet vektor, bärare) och beskrev några operationer vektoranalys. Maxwell använde denna formalism i sina arbeten om elektromagnetism, och uppmärksammade därmed forskarna på den nya kalkylen. Snart kom Gibbs Elements of Vector Analysis (1880-talet), och sedan gav Heaviside (1903) vektoranalys modernt utseende. Själva vektortecknet togs i bruk av den franske matematikern Augustin Louis Cauchy 1853.

Addition, subtraktion. J. Widman (1489).

Plus- och minustecknen uppfanns tydligen i den tyska matematiska skolan för "kossister" (det vill säga algebraister). De används i Jan (Johannes) Widmanns lärobok A Quick and Pleasant Account for All Merchants, utgiven 1489. Tidigare betecknades tillägg med bokstaven sid(från latin plus"mer") eller latinskt ord et(konjunktion "och"), och subtraktion - bokstav m(från latin minus"mindre, mindre") För Widmann ersätter plussymbolen inte bara addition, utan också konjunktionen "och." Ursprunget till dessa symboler är oklart, men troligen har de tidigare använts i handelsverksamhet som tecken på vinst och förlust. Båda symbolerna blev snart vanliga i Europa – med undantag för Italien, som fortsatte att använda de gamla beteckningarna i ungefär ett sekel.

Multiplikation. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Multiplikationstecknet i form av ett snett kors introducerades 1631 av engelsmannen William Oughtred. Före honom användes brevet oftast M, även om andra beteckningar också föreslogs: rektangelsymbolen (den franska matematikern Erigon, 1634), asterisken (den schweiziske matematikern Johann Rahn, 1659). Senare ersatte Gottfried Wilhelm Leibniz korset med en prick (slutet av 1600-talet) för att inte förväxla det med bokstaven x; före honom återfanns sådan symbolik bland den tyske astronomen och matematikern Regiomontanus (1400-talet) och den engelske vetenskapsmannen Thomas Herriot (1560 -1621).

Division. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Oughtred använde ett snedstreck / som ett divisionstecken. Gottfried Leibniz började beteckna division med ett kolon. Före dem användes också ofta brevet D. Från och med Fibonacci används också fraktionens horisontella linje, som användes av Heron, Diophantus och i arabiska verk. I England och USA blev symbolen ÷ (obelus), som föreslogs av Johann Rahn (möjligen med deltagande av John Pell) 1659, utbredd. Ett försök från American National Committee on Mathematical Standards ( Nationella kommittén för matematiska krav) att ta bort obelus från praktiken (1923) misslyckades.

Procent. M. de la Porte (1685).

En hundradel av en helhet, taget som en enhet. Själva ordet "procent" kommer från latinets "pro centum", som betyder "per hundra". År 1685 publicerades boken "Manual of Commercial Arithmetic" av Mathieu de la Porte i Paris. På ett ställe pratade man om procentsatser, som då betecknades ”cto” (förkortning för cento). Men sättaren misstog detta "cto" för en bråkdel och tryckte "%". Så på grund av ett stavfel kom denna skylt i bruk.

Grader. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Den moderna notationen för exponenten introducerades av Rene Descartes i hans " Geometri"(1637), dock endast för naturliga krafter med exponenter större än 2. Senare utvidgade Isaac Newton denna form av notation till negativa och bråkdelar exponenter (1676), vars tolkning redan hade föreslagits vid denna tidpunkt: den flamländska matematikern och ingenjör Simon Stevin, den engelske matematikern John Wallis och den franske matematikern Albert Girard.

Aritmetisk rot n-te potensen av ett reellt tal A≥0, - icke-negativt tal n-th grad som är lika med A. Den aritmetiska roten av 2:a graden kallas kvadratrot och kan skrivas utan att ange graden: √. En aritmetisk rot av 3:e graden kallas kubrot. Medeltida matematiker (till exempel Cardano) betecknade kvadratroten med symbolen R x (från latin Radix, rot). Den moderna notationen användes först av den tyske matematikern Christoph Rudolf, från den kossistiska skolan, 1525. Denna symbol kommer från den stiliserade första bokstaven i samma ord radix. Till en början fanns det ingen linje ovanför det radikala uttrycket; det introducerades senare av Descartes (1637) för ett annat syfte (istället för parenteser), och detta drag slogs snart samman med rottecknet. På 1500-talet betecknades kubroten på följande sätt: R x .u.cu (från lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) började använda den välbekanta notationen för en rot av en godtycklig grad. Detta format etablerades tack vare Isaac Newton och Gottfried Leibniz.

Logaritm, decimallogaritm, naturlig logaritm. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Termen "logaritm" tillhör den skotske matematikern John Napier ( "Beskrivning av den fantastiska tabellen med logaritmer", 1614); det uppstod från en kombination av de grekiska orden λογος (ord, relation) och αριθμος (tal). J. Napiers logaritm är ett hjälptal för att mäta förhållandet mellan två tal. Den moderna definitionen av logaritm gavs först av den engelske matematikern William Gardiner (1742). Per definition logaritmen för ett tal b baserat på a (a ≠ 1, a > 0) - exponent m, till vilken siffran bör höjas a(kallas logaritmbasen) för att få b. Utsedda logga a b. Så, m = logga a b, Om a m = b.

De första tabellerna med decimallogaritmer publicerades 1617 av Oxfords matematikprofessor Henry Briggs. Därför kallas decimallogaritmer utomlands ofta för Briggs logaritmer. Termen "naturlig logaritm" introducerades av Pietro Mengoli (1659) och Nicholas Mercator (1668), även om Londons matematiklärare John Spidell sammanställde en tabell över naturliga logaritmer redan 1619.

Innan sent XIXårhundradet fanns det ingen allmänt accepterad notation för logaritmen, basen a visas till vänster och ovanför symbolen logga, sedan ovanför den. Till slut kom matematiker till slutsatsen att den mest bekväma platsen för basen är under linjen, efter symbolen logga. Logaritmtecknet - resultatet av en förkortning av ordet "logaritm" - finns i olika typer nästan samtidigt med uppkomsten av de första logaritmtabellerna, till exempel Logga- av I. Kepler (1624) och G. Briggs (1631), logga- av B. Cavalieri (1632). Beteckning ln ty den naturliga logaritmen infördes av den tyske matematikern Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, cosinus, tangent, cotangens. W. Outred (mitten av 1600-talet), I. Bernoulli (1700-talet), L. Euler (1748, 1753).

Förkortningarna för sinus och cosinus introducerades av William Oughtred i mitten av 1600-talet. Förkortningar för tangent och cotangens: tg, ctg introducerades av Johann Bernoulli på 1700-talet, blev de utbredda i Tyskland och Ryssland. I andra länder används namnen på dessa funktioner solbränna, spjälsäng föreslagit av Albert Girard ännu tidigare, i början av 1600-talet. Leonhard Euler (1748, 1753) förde teorin om trigonometriska funktioner till sin moderna form, och vi är skyldiga honom den för konsolideringen av verklig symbolism.Termen "trigonometriska funktioner" introducerades av den tyske matematikern och fysikern Georg Simon Klügel 1770.

Indiska matematiker kallade ursprungligen sinuslinjen "arha-jiva"("halvsträng", det vill säga ett halvt ackord), sedan ordet "archa" kasserades och sinuslinjen började kallas helt enkelt "jiva". Arabiska översättare översatte inte ordet "jiva" Arabiska ord "vatar", som betecknar en bågsträng och ett ackord, och transkriberades med arabiska bokstäver och började kalla sinuslinjen "jiba". Eftersom på arabiska är korta vokaler inte markerade, utan långa "i" i ordet "jiba" betecknad på samma sätt som halvvokalen "th", började araberna uttala namnet på sinuslinjen "gipp", som bokstavligen betyder "ihålig", "sinus". När de översatte arabiska verk till latin översatte europeiska översättare ordet "gipp" latinska ord sinus, har samma betydelse.Termen "tangent" (från lat.tangenter- rörande) introducerades av den danske matematikern Thomas Fincke i sin bok The Geometry of the Round (1583).

Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Inversa trigonometriska funktioner är matematiska funktioner som är inversen av trigonometriska funktioner. Namnet på den inversa trigonometriska funktionen bildas från namnet på motsvarande trigonometriska funktion genom att lägga till prefixet "båge" (från lat. båge- båge).De omvända trigonometriska funktionerna inkluderar vanligtvis sex funktioner: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) och arccosecant (arccosec). Särskilda symboler för inversa trigonometriska funktioner användes först av Daniel Bernoulli (1729, 1736).Sätt att beteckna inversa trigonometriska funktioner med hjälp av ett prefix båge(från lat. arcus, arc) dök upp med den österrikiske matematikern Karl Scherfer och konsoliderades tack vare den franske matematikern, astronomen och mekanikern Joseph Louis Lagrange. Det menades att till exempel en vanlig sinus gör att man kan hitta ett ackord som spänner det längs en cirkelbåge, och den omvända funktionen löser det motsatta problemet. Fram till slutet av 1800-talet föreslog de engelska och tyska matematiska skolorna andra beteckningar: synd -1 och 1/sin, men de används inte i stor utsträckning.

Hyperbolisk sinus, hyperbolisk sinus. V. Riccati (1757).

Historiker upptäckte det första uppträdandet av hyperboliska funktioner i verk av den engelske matematikern Abraham de Moivre (1707, 1722). En modern definition och en detaljerad studie av dem utfördes av italienaren Vincenzo Riccati 1757 i hans verk "Opusculorum", han föreslog också deras beteckningar: sh,kap. Riccati började med att överväga enhetens hyperbel. En oberoende upptäckt och ytterligare studie av egenskaperna hos hyperboliska funktioner utfördes av den tyske matematikern, fysikern och filosofen Johann Lambert (1768), som etablerade den breda parallelliteten mellan formlerna för vanlig och hyperbolisk trigonometri. N.I. Lobatsjovskij använde därefter denna parallellism i ett försök att bevisa överensstämmelsen hos icke-euklidisk geometri, där vanlig trigonometri ersätts med hyperbolisk.

Precis som trigonometrisk sinus och cosinus är koordinaterna för en punkt på koordinatcirkeln, är den hyperboliska sinus och cosinus koordinaterna för en punkt på en hyperbel. Hyperboliska funktioner uttrycks genom en exponentiell och är nära besläktade med trigonometriska funktioner: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). I analogi med trigonometriska funktioner definieras hyperbolisk tangens och cotangens som förhållandet mellan hyperbolisk sinus och cosinus, cosinus respektive sinus.

Differentiell. G. Leibniz (1675, utgiven 1684).

Den huvudsakliga, linjära delen av funktionen ökar.Om funktionen y=f(x) en variabel x har kl x=x 0derivata och inkrementΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funktioner f(x) kan representeras i formenΔy=f"(x0)Δx+R(Δx) , var är medlemmen R oändligt liten jämfört medΔx. Första medlemdy=f"(x0)Δxi denna expansion och kallas funktionens differential f(x) vid punktenx 0. I verk av Gottfried Leibniz, Jacob och Johann Bernoulli ordet"skillnad"användes i betydelsen "ökning", det betecknades av I. Bernoulli till Δ. G. Leibniz (1675, publicerad 1684) använde notationen för den "oändliga skillnaden"d- första bokstaven i ordet"differentiell", bildad av honom från"skillnad".

Obestämd integral. G. Leibniz (1675, utgiven 1686).

Ordet "integral" användes först i tryck av Jacob Bernoulli (1690). Kanske kommer termen från latinet heltal- hel. Enligt ett annat antagande var grunden det latinska ordet integro- föra till sitt tidigare tillstånd, återställa. Tecknet ∫ används för att representera en integral i matematik och är en stiliserad representation av den första bokstaven i det latinska ordet summa - belopp. Den användes först av den tyske matematikern och grundaren av differential- och integralkalkyl, Gottfried Leibniz, i slutet av 1600-talet. En annan av grundarna av differential- och integralkalkylen, Isaac Newton, föreslog inte en alternativ symbolik för integralen i sina verk, även om han försökte olika alternativ: ett vertikalt streck ovanför en funktion, eller en kvadratisk symbol som föregår eller gränsar till en funktion. Obestämd integral för en funktion y=f(x)är mängden av alla antiderivator av en given funktion.

Definitiv integral. J. Fourier (1819-1822).

Definitiv integral av en funktion f(x) med en nedre gräns a och övre gräns b kan definieras som skillnaden F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Var F(x)- någon antiderivata av en funktion f(x) . Definitiv integral a ∫ b f(x)dx numeriskt lika med arean av figuren som begränsas av x-axeln och räta linjer x=a Och x=b och grafen för funktionen f(x). Utformningen av en bestämd integral i den form vi är bekant med föreslogs av den franske matematikern och fysikern Jean Baptiste Joseph Fourier i tidiga XIXårhundrade.

Derivat. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivata är det grundläggande konceptet för differentialkalkyl, som karakteriserar förändringshastigheten för en funktion f(x) när argumentet ändras x . Det definieras som gränsen för förhållandet mellan ökningen av en funktion och ökningen av dess argument, eftersom ökningen av argumentet tenderar till noll, om en sådan gräns finns. En funktion som någon gång har en ändlig derivata kallas differentierbar vid den punkten. Processen att beräkna derivatan kallas differentiering. Den omvända processen är integration. I klassiskt differentialkalkyl derivatan definieras oftast genom begreppen gränsteorin, men historiskt dök gränsteorin upp senare än differentialkalkyl.

Termen "derivat" introducerades av Joseph Louis Lagrange 1797, beteckningen av ett derivat med en stroke används också av honom (1770, 1779), och dy/dx- Gottfried Leibniz 1675. Sättet att beteckna tidsderivatan med en punkt över en bokstav kommer från Newton (1691).Den ryska termen "derivata av en funktion" användes först av en rysk matematikerVasilij Ivanovitj Viskovatov (1779-1812).

Partiell derivat. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

För funktioner av många variabler definieras partiella derivator - derivator med avseende på ett av argumenten, beräknade under antagandet att de återstående argumenten är konstanta. Beteckningar ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y introducerad av den franske matematikern Adrien Marie Legendre 1786; fx",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ y- partiella derivator av andra ordningen - tysk matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Skillnad, ökning. I. Bernoulli (slutet av 1600-talet - första hälften av 1700-talet), L. Euler (1755).

Beteckningen inkrement med bokstaven Δ användes först av den schweiziske matematikern Johann Bernoulli. Deltasymbolen kom till allmän användning efter Leonhard Eulers arbete 1755.

Belopp. L. Euler (1755).

Summa är resultatet av att addera kvantiteter (tal, funktioner, vektorer, matriser, etc.). För att beteckna summan av n tal a 1, a 2, ..., a n används den grekiska bokstaven "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 ett i. Σ-tecknet för summan introducerades av Leonhard Euler 1755.

Arbete. K. Gauss (1812).

En produkt är resultatet av multiplikation. För att beteckna produkten av n tal a 1, a 2, ..., a n används den grekiska bokstaven pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Till exempel, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Π-tecknet för en produkt introducerades av den tyske matematikern Carl Gauss 1812. I rysk matematisk litteratur möttes termen "produkt" först av Leonty Filippovich Magnitsky 1703.

Faktoriell. K. Crump (1808).

Faktorialen för ett tal n (betecknad n!, uttalas "en factorial") är produkten av alla naturliga tal upp till n inklusive: n! = 1·2·3·...·n. Till exempel 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Per definition antas 0! = 1. Faktorialen definieras endast för icke-negativa heltal. Faktorialen för n är lika med antalet permutationer av n element. Till exempel 3! = 6, verkligen,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Alla sex och endast sex permutationer av tre element.

Termen "faktoriell" introducerades av den franske matematikern och politikern Louis Francois Antoine Arbogast (1800), beteckningen n! - Franske matematikern Christian Crump (1808).

Modul, absolut värde. K. Weierstrass (1841).

Det absoluta värdet av ett reellt tal x är ett icke-negativt tal definierat enligt följande: |x| = x för x ≥ 0, och |x| = -x för x ≤ 0. Till exempel |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modulen för ett komplext tal z = a + ib är ett reellt tal lika med √(a 2 + b 2).

Man tror att termen "modul" föreslogs av den engelske matematikern och filosofen, Newtons student, Roger Cotes. Gottfried Leibniz använde också denna funktion, som han kallade "modul" och betecknade: mol x. Den allmänt accepterade notationen för absolut magnitud infördes 1841 av den tyske matematikern Karl Weierstrass. För komplexa tal introducerades detta begrepp av de franska matematikerna Augustin Cauchy och Jean Robert Argan i början av 1800-talet. 1903 använde den österrikiske vetenskapsmannen Konrad Lorenz samma symbolik för längden på en vektor.

Norm. E. Schmidt (1908).

En norm är en funktion som definieras på ett vektorrum och generaliserar begreppet längden av en vektor eller modul för ett tal. Tecknet "norm" (från det latinska ordet "norma" - "regel", "mönster") introducerades av den tyske matematikern Erhard Schmidt 1908.

Begränsa. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), många matematiker (fram till början av 1900-talet)

Gräns ​​är ett av grundbegreppen matematisk analys, vilket betyder att ett visst variabelvärde i processen för dess förändring under övervägande på obestämd tid närmar sig ett visst konstant värde. Begreppet gräns användes intuitivt under andra hälften av 1600-talet av Isaac Newton, liksom av 1700-talsmatematiker som Leonhard Euler och Joseph Louis Lagrange. De första rigorösa definitionerna av sekvensgränsen gavs av Bernard Bolzano 1816 och Augustin Cauchy 1821. Symbolen lim (de första 3 bokstäverna från det latinska ordet limes - gräns) dök upp 1787 av den schweiziska matematikern Simon Antoine Jean Lhuillier, men dess användning liknade ännu inte moderna. Uttrycket lim i en mer välbekant form användes först av den irländska matematikern William Hamilton 1853.Weierstrass introducerade en beteckning nära den moderna, men istället för den välbekanta pilen använde han ett likhetstecken. Pilen dök upp i början av 1900-talet bland flera matematiker samtidigt - till exempel den engelske matematikern Godfried Hardy 1908.

Zeta-funktion, d Riemann zeta funktion. B. Riemann (1857).

Analytisk funktion av en komplex variabel s = σ + it, för σ > 1, bestämd absolut och enhetligt av en konvergent Dirichlet-serie:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

För σ > 1 är representationen i form av Euler-produkten giltig:

ζ(s) = Π sid (1-p -s) -s,

där produkten tas över all prime sid. Zeta-funktionen spelar en stor roll i talteorin.Som en funktion av en reell variabel introducerades zeta-funktionen 1737 (publicerad 1744) av L. Euler, som angav dess expansion till en produkt. Denna funktion övervägdes sedan av den tyske matematikern L. Dirichlet och, särskilt framgångsrikt, av den ryske matematikern och mekanikern P.L. Chebyshev när han studerade distributionslagen primtal. De mest djupgående egenskaperna hos zetafunktionen upptäcktes dock senare, efter den tyske matematikern Georg Friedrich Bernhard Riemanns arbete (1859), där zetafunktionen betraktades som en funktion av en komplex variabel; Han introducerade också namnet "zeta-funktion" och beteckningen ζ(s) 1857.

Gammafunktion, Euler Γ funktion. A. Legendre (1814).

Gamma-funktionen är en matematisk funktion som utvidgar begreppet faktorial till fältet komplexa tal. Betecknas vanligtvis med Γ(z). G-funktionen introducerades först av Leonhard Euler 1729; det bestäms av formeln:

Γ(z) = limn→∞ n!·nz/z(z+1)...(z+n).

Uttryckt genom G-funktionen stort antal integraler, oändliga produkter och summor av serier. Används i stor utsträckning inom analytisk talteori. Namnet "Gamma-funktion" och notationen Γ(z) föreslogs av den franske matematikern Adrien Marie Legendre 1814.

Betafunktion, B-funktion, Euler B-funktion. J. Binet (1839).

En funktion av två variabler p och q, definierade för p>0, q>0 av likheten:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Betafunktionen kan uttryckas genom Γ-funktionen: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Precis som gammafunktionen för heltal är en generalisering av faktorial, är betafunktionen på sätt och vis en generalisering av binomialkoefficienter.

Betafunktionen beskriver många egenskaperelementarpartiklar deltar i stark interaktion. Denna funktion uppmärksammades av den italienske teoretiska fysikernGabriele Venezianoår 1968. Detta markerade början strängteorin.

Namnet "betafunktion" och beteckningen B(p, q) introducerades 1839 av den franske matematikern, mekanikern och astronomen Jacques Philippe Marie Binet.

Laplace-operatör, Laplacian. R. Murphy (1833).

Linjär differentialoperator Δ, som tilldelar funktionerna φ(x 1, x 2, ..., x n) av n variabler x 1, x 2, ..., x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

I synnerhet för en funktion φ(x) av en variabel sammanfaller Laplace-operatorn med operatorn för 2:a derivatan: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Ekvationen Δφ = 0 brukar kallas Laplaces ekvation; Det är härifrån namnen "Laplace-operatör" eller "Laplacian" kommer ifrån. Beteckningen Δ infördes av den engelske fysikern och matematikern Robert Murphy 1833.

Hamilton operatör, nabla operatör, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).

Vector differentialoperatör av formuläret

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,

Var i, j, Och k- koordinatenhetsvektorer. De grundläggande funktionerna för vektoranalys, liksom Laplace-operatorn, uttrycks på ett naturligt sätt genom Nabla-operatorn.

År 1853 introducerade den irländska matematikern William Rowan Hamilton denna operator och myntade symbolen ∇ för den som en inverterad grekisk bokstav Δ (delta). I Hamilton pekade symbolens spets åt vänster senare, i verk av den skotske matematikern och fysikern Peter Guthrie Tate, fick symbolen sin moderna form. Hamilton kallade denna symbol "atled" (ordet "delta" läses baklänges). Senare började engelska forskare, inklusive Oliver Heaviside, att kalla denna symbol "nabla", efter namnet på bokstaven ∇ i det feniciska alfabetet, där den förekommer. Ursprunget till brevet är förknippat med musik instrument typ av harpa, ναβλα (nabla) betyder "harpa" på antik grekiska. Operatören kallades Hamilton-operatören, eller nabla-operatören.

Fungera. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematiskt koncept, vilket återspeglar förhållandet mellan elementen i uppsättningar. Vi kan säga att en funktion är en "lag", en "regel" enligt vilken varje element i en uppsättning (kallad definitionsdomän) är associerad med något element i en annan uppsättning (kallad värdedomän). Det matematiska konceptet för en funktion uttrycker den intuitiva idén om hur en kvantitet helt bestämmer värdet av en annan kvantitet. Ofta hänvisar termen "funktion" till en numerisk funktion; det vill säga en funktion som sätter vissa nummer i överensstämmelse med andra. Under lång tid specificerade matematiker argument utan parentes, till exempel så här - φх. Denna notation användes första gången av den schweiziske matematikern Johann Bernoulli 1718.Parenteser användes endast i fallet med flera argument eller om argumentet var ett komplext uttryck. Ekon från den tiden är de inspelningar som fortfarande används idagsin x, log xetc. Men så småningom blev användningen av parentes, f(x) allmän regel. Och huvudkrediten för detta tillhör Leonhard Euler.

Jämlikhet. R. Uppteckning (1557).

Likhetstecknet föreslogs av den walesiske läkaren och matematikern Robert Record 1557; symbolens kontur var mycket längre än den nuvarande, eftersom den imiterade bilden av två parallella segment. Författaren förklarade att det inte finns något mer lika i världen än två parallella segment av samma längd. Innan detta betecknades jämlikhet verbalt i antik och medeltida matematik (till exempel est egale). På 1600-talet började Rene Descartes använda æ (från lat. aequalis), och han använde det moderna likhetstecknet för att indikera att koefficienten kan vara negativ. François Viète använde likhetstecknet för att beteckna subtraktion. Rekordsymbolen blev inte utbredd direkt. Spridningen av Record-symbolen hämmades av det faktum att sedan urminnes tider användes samma symbol för att indikera parallelliteten mellan raka linjer; Till slut beslutades det att göra parallellitetssymbolen vertikal. På kontinentala Europa introducerades "="-tecknet av Gottfried Leibniz först vid 1600-talets början till 1700-talet, det vill säga mer än 100 år efter Robert Records död, som först använde det för detta ändamål.

Ungefär lika, ungefär lika. A.Gunther (1882).

Skylt " ≈ " togs i bruk som en symbol för förhållandet "ungefär lika" av den tyske matematikern och fysikern Adam Wilhelm Sigmund Günther 1882.

Mer mindre. T. Harriot (1631).

Dessa två tecken introducerades i bruk av den engelske astronomen, matematikern, etnografen och översättaren Thomas Harriot 1631, innan dess användes orden "mer" och "mindre".

Jämförbarhet. K. Gauss (1801).

Jämförelse är ett förhållande mellan två heltal n och m, vilket betyder att skillnaden n-m av dessa tal divideras med ett givet heltal a, som kallas jämförelsemodulen; det skrivs: n≡m(mod а) och lyder "talen n och m är jämförbara modulo a". Till exempel, 3≡11(mod 4), eftersom 3-11 är delbart med 4; siffrorna 3 och 11 är jämförbara modulo 4. Kongruenser har många egenskaper som liknar likheternas. Således kan en term som finns i en del av jämförelsen överföras med motsatt tecken till en annan del, och jämförelser med samma modul kan adderas, subtraheras, multipliceras, båda delarna av jämförelsen kan multipliceras med samma tal osv. . Till exempel,

3≡9+2(mod 4) och 3-2≡9(mod 4)

Samtidigt sanna jämförelser. Och från ett par korrekta jämförelser 3≡11(mod 4) och 1≡5(mod 4) följer följande:

3+1≡11+5 (mod 4)

3-1≡11-5 (mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

Inom talteorin övervägs metoder för att lösa olika jämförelser, d.v.s. metoder för att hitta heltal som uppfyller jämförelser av en eller annan typ. Modulo-jämförelser användes först av den tyske matematikern Carl Gauss i hans 1801 bok Arithmetic Studies. Han föreslog också symbolik för jämförelser som etablerades i matematik.

Identitet. B. Riemann (1857).

Identitet är likheten mellan två analytiska uttryck, giltiga för alla tillåtna värden för bokstäverna som ingår i den. Likheten a+b = b+a är giltig för alla numeriska värden av a och b, och är därför en identitet. För att registrera identiteter har i vissa fall sedan 1857 tecknet "≡" (läs "identiskt lika") använts, vars författare i denna användning är den tyske matematikern Georg Friedrich Bernhard Riemann. Du kan skriva ner a+b ≡ b+a.

Vinkelräthet. P. Erigon (1634).

Vinkelvinkel är den relativa positionen för två räta linjer, plan, eller en rät linje och ett plan, där de angivna figurerna bildar en rät vinkel. Tecknet ⊥ för att beteckna vinkelräthet introducerades 1634 av den franske matematikern och astronomen Pierre Erigon. Begreppet vinkelräthet har ett antal generaliseringar, men alla åtföljs som regel av tecknet ⊥.

Parallellism. W. Outred (postum upplaga 1677).

Parallellism är ett förhållande mellan vissa geometriska former; till exempel rak. Definieras olika beroende på olika geometrier; till exempel i Euklids geometri och i Lobachevskys geometri. Tecknet på parallellism har varit känt sedan urminnes tider, det användes av Heron och Pappus av Alexandria. Till en början liknade symbolen det nuvarande likhetstecknet (endast mer utökat), men med tillkomsten av det senare, för att undvika förvirring, vändes symbolen vertikalt ||. Det dök upp i denna form för första gången i den postuma utgåvan av den engelske matematikern William Oughtreds verk 1677.

Korsning, förbund. J. Peano (1888).

Skärningen av mängder är en mängd som innehåller de och endast de element som samtidigt tillhör alla givna mängder. En union av uppsättningar är en uppsättning som innehåller alla element i de ursprungliga uppsättningarna. Korsning och förening kallas också operationer på uppsättningar som tilldelar nya uppsättningar till vissa enligt reglerna som anges ovan. Betecknas med ∩ respektive ∪. Till exempel om

A= (♠ ♣ ) Och B= (♣ ♦),

Den där

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Innehåller, innehåller. E. Schroeder (1890).

Om A och B är två mängder och det inte finns några element i A som inte tillhör B, så säger de att A finns i B. De skriver A⊂B eller B⊃A (B innehåller A). Till exempel,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Symbolerna "innehåller" och "innehåller" dök upp 1890 av den tyske matematikern och logikern Ernst Schroeder.

Anslutning. J. Peano (1895).

Om a är ett element i mängden A, skriv sedan a∈A och läs "a tillhör A." Om a inte är ett element i mängden A, skriv a∉A och läs "a tillhör inte A." Först särskiljdes inte relationerna "innehålls" och "hör till" ("är ett element"), men med tiden krävde dessa begrepp differentiering. Symbolen ∈ användes första gången av den italienske matematikern Giuseppe Peano 1895. Symbolen ∈ kommer från den första bokstaven grekiska ordεστι - att vara.

Kvantifierare av universalitet, kvantifierare av existens. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kvantifierare är ett allmänt namn för logiska operationer som indikerar sanningsdomänen för ett predikat (matematiskt påstående). Filosofer har länge uppmärksammat logiska operationer som begränsar ett predikats sanningsdomän, men har inte identifierat dem som en separat klass av operationer. Även om kvantifieringslogiska konstruktioner används i stor utsträckning i både vetenskapligt och dagligt tal, skedde deras formalisering först 1879, i boken av den tyske logikern, matematikern och filosofen Friedrich Ludwig Gottlob Frege "The Calculus of Concepts". Freges notation såg ut som krångliga grafiska konstruktioner och accepterades inte. Därefter föreslogs många fler framgångsrika symboler, men de notationer som blev allmänt accepterade var ∃ för den existentiella kvantifieraren (läs "finns", "det finns"), föreslog av den amerikanske filosofen, logikern och matematikern Charles Peirce 1885, och ∀ för den universella kvantifieraren (läs "alla", "varje", "alla"), bildad av den tyske matematikern och logikern Gerhard Karl Erich Gentzen 1935 i analogi med symbolen för tillvarons kvantifierare (omvända första bokstäver i de engelska orden Existens (existens) och Vilken som helst (vilken som helst). Till exempel spela in

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

lyder så här: "för alla ε>0 finns δ>0 så att för alla x som inte är lika med x 0 och som uppfyller olikheten |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Tom uppsättning. N. Bourbaki (1939).

En uppsättning som inte innehåller ett enda element. Tecknet på den tomma uppsättningen introducerades i Nicolas Bourbakis böcker 1939. Bourbaki är den samlade pseudonymen för en grupp franska matematiker som skapades 1935. En av medlemmarna i Bourbaki-gruppen var Andre Weil, författaren till Ø-symbolen.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

I matematik förstås bevis som en sekvens av resonemang som bygger på vissa regler, som visar att ett visst påstående är sant. Sedan renässansen har slutet på ett bevis betecknats av matematiker med förkortningen "Q.E.D.", från det latinska uttrycket "Quod Erat Demonstrandum" - "Det som krävdes för att bevisas." När man skapade datorlayoutsystemet ΤΕΧ 1978 använde den amerikanske professorn i datavetenskap Donald Edwin Knuth en symbol: en fylld kvadrat, den så kallade "Halmos-symbolen", uppkallad efter den ungerskfödde amerikanske matematikern Paul Richard Halmos. Idag indikeras slutförandet av ett bevis vanligtvis med Halmos-symbolen. Som ett alternativ används andra tecken: en tom kvadrat, en rätvinklig triangel, // (två snedstreck), såväl som den ryska förkortningen "ch.t.d."

Kursen använder geometriskt språk, sammansatt av notationer och symboler som antagits i en matematikkurs (särskilt i den nya geometrikursen på gymnasiet).

Hela variationen av beteckningar och symboler, såväl som kopplingarna mellan dem, kan delas in i två grupper:

grupp I - beteckningar på geometriska figurer och relationer mellan dem;

grupp II beteckningar på logiska operationer som utgör den syntaktiska grunden för det geometriska språket.

Nedan finns en komplett lista över matematiska symboler som används i denna kurs. Särskild uppmärksamhet ägnas åt symbolerna som används för att indikera projektioner av geometriska figurer.

Grupp I

SYMBOLER SOM INDGERAR GEOMETRISKA FIGURER OCH RELATIONER MELLAN DEM

A. Beteckning på geometriska figurer

1. En geometrisk figur betecknas - F.

2. Punkter indikeras med versaler i det latinska alfabetet eller arabiska siffror:

A, B, C, D, ..., L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Linjer som är godtyckligt placerade i förhållande till projektionsplanen betecknas med små bokstäver i det latinska alfabetet:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Nivålinjer är betecknade: h - horisontell; f- fram.

Följande beteckningar används också för raka linjer:

(AB) - en rät linje som går genom punkterna A och B;

[AB) - stråle med början vid punkt A;

[AB] - ett rakt linjesegment som begränsas av punkterna A och B.

4. Ytor betecknas med små bokstäver i det grekiska alfabetet:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

För att understryka hur en yta definieras bör de geometriska elementen som den definieras med anges, till exempel:

α(a || b) - planet α bestäms av parallella linjer a och b;

β(d 1 d 2 gα) - ytan β bestäms av styrningarna d 1 och d 2, generatorn g och parallellitetsplanet α.

5. Vinklar anges:

∠ABC - vinkel med vertex vid punkt B, samt ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Vinkel: värdet (gradmått) indikeras av tecknet, som är placerat ovanför vinkeln:

Storleken på vinkeln ABC;

Storleken på vinkeln φ.

En rät vinkel markeras med en kvadrat med en prick inuti

7. Avstånden mellan geometriska figurer anges med två vertikala segment - ||.

Till exempel:

|AB| - avståndet mellan punkterna A och B (längden på segment AB);

|Aa| - avstånd från punkt A till linje a;

|Aα| - avstånd från punkt A till yta α;

|ab| - avståndet mellan linjerna a och b;

|αβ| avståndet mellan ytorna α och β.

8. För projektionsplan accepteras följande beteckningar: π 1 och π 2, där π 1 är det horisontella projektionsplanet;

π 2 - frontalprojektionsplan.

Vid byte av projektionsplan eller införande av nya plan betecknas de senare π 3, π 4, etc.

9. Projektionsaxlarna är betecknade: x, y, z, där x är abskissaxeln; y - ordinataaxel; z - applikationsaxel.

Monges konstanta räta linjediagram betecknas med k.

10. Projektioner av punkter, linjer, ytor, alla geometriska figurer indikeras med samma bokstäver (eller siffror) som originalet, med tillägg av en upphöjd skrift som motsvarar det projektionsplan på vilket de erhölls:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horisontella projektioner av punkter; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontala projektioner av punkter; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horisontella projektioner av linjer; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n", ... frontala projektioner av linjer; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horisontella projektioner av ytor; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontala projektioner av ytor.

11. Spår av plan (ytor) betecknas med samma bokstäver som horisontella eller frontala, med tillägg av sänkningen 0α, vilket understryker att dessa linjer ligger i projektionsplanet och tillhör planet (ytan) α.

Så: h 0α - horisontellt spår av planet (ytan) α;

f 0α - frontal spår av planet (ytan) α.

12. Spår av räta linjer (linjer) indikeras med versaler, med vilka orden börjar som definierar namnet (på latinsk transkription) på det projektionsplan som linjen skär, med en sänkning som indikerar anknytningen till linjen.

Till exempel: H a - horisontellt spår av en rät linje (linje) a;

F a - frontal spår av rät linje (linje) a.

13. Sekvensen av punkter, linjer (valfri figur) är markerad med sänkta 1,2,3,..., n:

Ai, A2, A3,..., A n;

ai, a2, a3,...,a n;

ai, a2, a3,...,an;

Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n, etc.

Hjälpprojektionen av en punkt, erhållen som ett resultat av transformation för att erhålla det faktiska värdet av en geometrisk figur, betecknas med samma bokstav med en nedsänkt 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Axonometriska projektioner

14. Axonometriska projektioner av punkter, linjer, ytor betecknas med samma bokstäver som naturen med tillägg av en upphöjd 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundära projektioner indikeras genom att lägga till en upphöjd 1:

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

För att göra det lättare att läsa ritningarna i läroboken används flera färger vid utformningen av illustrationsmaterialet, som var och en har en viss semantisk betydelse: svarta linjer (prickar) indikerar originaldata; grön färg används för linjer av extra grafiska konstruktioner; röda linjer (prickar) visar resultaten av konstruktioner eller de geometriska element som särskild uppmärksamhet bör ägnas.

B. Symboler som anger samband mellan geometriska figurer

nr av por.	Beteckning	Innehåll	Exempel på symbolisk notation
1	≡	Match	(AB)≡(CD) - en rät linje som går genom punkterna A och B, sammanfaller med linjen som går genom punkterna C och D
2	≅	Kongruent	∠ABC≅∠MNK - vinkel ABC är kongruent med vinkel MNK
3	∼	Liknande	ΔАВС∼ΔMNK - trianglar АВС och MNK är lika
4	||	Parallell	α||β - planet α är parallellt med planet β
5	⊥	Vinkelrät	a⊥b - räta linjer a och b är vinkelräta
6		Blandras	c d - raka linjer c och d skär varandra
7		Tangenter	t l - linje t är tangent till linje l. βα - plan β som tangerar ytan α
8	→	Visas	F 1 →F 2 - figur F 1 är mappad på figur F 2
9	S	Projektionscenter. Om projektionscentret är en felaktig punkt, sedan indikeras dess position med en pil, anger projektionsriktningen	-
10	s	Projektionsriktning	-
11	P	Parallell projektion	р s α Parallell projektion - parallell projektion på α-planet i s-riktningen

B. Mängdteoretisk notation

nr av por.	Beteckning	Innehåll	Exempel på symbolisk notation	Exempel på symbolisk notation i geometri
1	M,N	Uppsättningar	-	-
2	A,B,C,...	Delar av uppsättningen	-	-
3	{ ... }	Innefattar...	Ф(A, B, C,...)	Ф(A, B, C,...) - figur Ф består av punkterna A, B, C, ...
4	∅	Tom uppsättning	L - ∅ - set L är tomt (innehåller inga element)	-
5	∈	Tillhör, är ett element	2∈N (där N är mängden naturliga tal) - siffran 2 tillhör mängden N	A ∈ a - punkt A hör till linje a (punkt A ligger på rad a)
6	⊂	Inkluderar, innehåller	N⊂M - mängd N är en del (delmängd) av mängden M av alla rationella tal	a⊂α - rät linje a tillhör planet α (förstått i betydelsen: uppsättningen av punkter på linjen a är en delmängd av punkterna i planet α)
7	∪	En förening	C = A U B - mängd C är en förening av mängder A och B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - streckad linje, ABCD är kombinera segment [AB], [BC],
8	∩	Skärning av många	M=K∩L - mängden M är skärningspunkten mellan mängderna K och L (innehåller element som hör till både mängden K och mängden L). M ∩ N = ∅ - skärningspunkten mellan mängderna M och N är den tomma mängden (mängder M och N har inte gemensamma element)	a = α ∩ β - rät linje a är skärningspunkten planen α och β a ∩ b = ∅ - räta linjer a och b skär inte varandra (har inga gemensamma poäng)

Grupp II SYMBOLER SOM INDIKERAR LOGISKA FUNKTIONER

nr av por.	Beteckning	Innehåll	Exempel på symbolisk notation
1	∧	Konjunktion av meningar; motsvarar konjunktionen "och". En mening (p∧q) är sann om och endast om p och q båda är sanna	α∩β = (К:K∈α∧K∈β) Skärningspunkten mellan ytorna α och β är en uppsättning punkter (linje), bestående av alla dessa och endast de punkter K som tillhör både ytan α och ytan β
2	∨	Disjunktion av meningar; matchar konjunktionen "eller". Mening (p∨q) sant när minst en av meningarna p eller q är sann (det vill säga antingen p eller q, eller båda).	-
3	⇒	Implikation är en logisk konsekvens. Meningen p⇒q betyder: "om p, då q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Om två linjer är parallella med en tredje, så är de parallella med varandra
4	⇔	Meningen (p⇔q) förstås i betydelsen: "om p, då också q, då också p"	А∈α⇔А∈l⊂α. En punkt tillhör ett plan om den tillhör någon linje som hör till detta plan. Det omvända påståendet är också sant: om en punkt tillhör en viss linje, tillhör planet, då tillhör det planet självt
5	∀	Den allmänna kvantifieraren lyder: för alla, för alla, för vem som helst. Uttrycket ∀(x)P(x) betyder: "för varje x: egenskapen P(x) gäller"	∀(ΔАВС)( = 180°) För vilken som helst (för vilken) triangel, summan av värdena på dess vinklar vid hörn är lika med 180°
6	∃	Den existentiella kvantifieraren lyder: existerar. Uttrycket ∃(x)P(x) betyder: "det finns ett x som har egenskapen P(x)"	(∀α)(∃a). För vilket plan α som helst finns det en rät linje a som inte hör till planet α och parallellt med planet a
7	∃1	Kvantifieraren av det unika i tillvaron lyder: det finns bara en (-i, -th)... Uttrycket ∃1(x)(Рх) betyder: "det finns bara ett (endast ett) x, har fastigheten Px"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) För två olika punkter A och B finns det en unik rät linje a, passerar genom dessa punkter.
8	(Px)	Negation av påståendet P(x)	ab(∃α)(α⊃a, b). Om linjerna a och b skär varandra, så finns det inget plan a som innehåller dem
9	\	Negation av tecknet	≠ -segment [AB] är inte lika med segment .a?b - linje a är inte parallell med linje b

En punkt är ett abstrakt objekt som inte har några mätegenskaper: ingen höjd, ingen längd, ingen radie. Inom ramen för uppgiften är endast dess placering viktig

Punkten indikeras med en siffra eller en latinsk stor (versal) bokstav. Flera prickar - med olika siffror eller olika bokstäver så att de kan urskiljas

punkt A, punkt B, punkt C

A B C

punkt 1, punkt 2, punkt 3

1 2 3

Du kan rita tre prickar "A" på ett papper och bjuda barnet att dra en linje genom de två prickarna "A". Men hur ska man förstå genom vilka? A A A

En linje är en uppsättning punkter. Endast längden mäts. Den har ingen bredd eller tjocklek

Indikeras med små (små) latinska bokstäver

linje a, linje b, linje c

a b c

Linjen kan vara

1. stängd om dess början och slut är på samma punkt,
2. öppen om dess början och slut inte är sammankopplade

stängda linjer

öppna linjer

Du lämnade lägenheten, köpte bröd i affären och gick tillbaka till lägenheten. Vilken linje fick du? Just det, stängt. Du är tillbaka till din utgångspunkt. Du lämnade lägenheten, köpte bröd i affären, gick in i entrén och började prata med din granne. Vilken linje fick du? Öppen. Du har inte återvänt till din utgångspunkt. Du lämnade lägenheten och köpte bröd i affären. Vilken linje fick du? Öppen. Du har inte återvänt till din utgångspunkt.

1. självkorsande
2. utan självkorsningar

självkorsande linjer

linjer utan självkorsningar

1. hetero
2. bruten
3. krokig

raka linjer

brutna linjer

böjda linjer

En rät linje är en linje som inte är böjd, som varken har början eller slut, den kan fortsättas oändligt i båda riktningarna

Även när en liten del av en rät linje är synlig, antas det att den fortsätter i oändlighet i båda riktningarna

Indikeras med en liten (liten) latinsk bokstav. Eller två versaler (versaler) latinska bokstäver - punkter som ligger på en rak linje

rak linje a

a

rät linje AB

B A

Direkt kan vara

1. korsar varandra om de har en gemensam poäng. Två linjer kan skära varandra endast vid en punkt.
   • vinkelräta om de skär varandra i räta vinklar (90°).
2. Parallellt, om de inte skär varandra, har inte en gemensam punkt.

parallella linjer

korsande linjer

vinkelräta linjer

En stråle är en del av en rät linje som har en början men inget slut den kan fortsätta i oändlighet i endast en riktning

Ljusstrålen i bilden har sin utgångspunkt som solen.

Sol

En punkt delar en rät linje i två delar - två strålar A A

Strålen betecknas med en gemen (liten) latinsk bokstav. Eller två versaler (versaler) latinska bokstäver, där den första är den punkt från vilken strålen börjar och den andra är den punkt som ligger på strålen

ray a

a

balk AB

B A

Strålarna sammanfaller om

1. ligger på samma räta linje
2. börja vid ett tillfälle
3. riktad åt ett håll

strålar AB och AC sammanfaller

strålarna CB och CA sammanfaller

C B A

Ett segment är en del av en linje som är begränsad av två punkter, det vill säga har både en början och ett slut, vilket innebär att dess längd kan mätas. Längden på ett segment är avståndet mellan dess start- och slutpunkt

Genom en punkt kan du rita valfritt antal linjer, inklusive raka linjer

Genom två punkter - ett obegränsat antal kurvor, men bara en rak linje

krökta linjer som går genom två punkter

B A

rät linje AB

B A

En bit "skars av" från den raka linjen och ett segment återstod. Från exemplet ovan kan du se att dess längd är det kortaste avståndet mellan två punkter. ✂ B A ✂

Ett segment betecknas med två latinska versaler (versaler), där den första är punkten där segmentet börjar och den andra är punkten där segmentet slutar

segment AB

B A

Problem: var är linjen, strålen, segmentet, kurvan?

En streckad linje är en linje som består av på varandra följande anslutna segment som inte har en vinkel på 180°

Ett långt segment "bröts" i flera korta

Länkarna i en bruten linje (liknande länkarna i en kedja) är de segment som utgör den brutna linjen. Intilliggande länkar är länkar där slutet av en länk är början på en annan. Intilliggande länkar bör inte ligga på samma räta linje.

Spåren på en streckad linje (liknande toppen av berg) är punkten från vilken den streckade linjen börjar, punkterna där segmenten som bildar den streckade linjen är sammankopplade och punkten där den streckade linjen slutar.

En streckad linje anges genom att lista alla dess hörn.

bruten linje ABCDE

toppunkt på polylinje A, toppunkt på polylinje B, toppunkt på polylinje C, toppunkt på polylinje D, toppunkt på polylinje E

trasig länk AB, trasig länk BC, trasig länk CD, trasig länk DE

länk AB och länk BC ligger intill varandra

länk BC och länk CD ligger intill

länk-CD och länk DE ligger intill varandra

A B C D E 64 62 127 52

Längden på en streckad linje är summan av längderna på dess länkar: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Uppgift: vilken streckad linje är längre, A som har fler hörn? Den första raden har alla länkar av samma längd, nämligen 13 cm. Den andra raden har alla länkar av samma längd, nämligen 49 cm. Den tredje raden har alla länkar av samma längd, nämligen 41 cm.

En polygon är en sluten polygonal linje

Polygonens sidor (uttrycken hjälper dig att komma ihåg: "gå åt alla fyra hållen", "spring mot huset", "vilken sida av bordet ska du sitta på?") är länkarna till en bruten linje. Intilliggande sidor av en polygon är angränsande länkar av en streckad linje.

En polygons hörn är hörnen på en streckad linje. Intilliggande hörn är ändpunkterna på en sida av polygonen.

En polygon betecknas genom att lista alla dess hörn.

sluten polylinje utan självkorsning, ABCDEF

polygon ABCDEF

polygon vertex A, polygon vertex B, polygon vertex C, polygon vertex D, polygon vertex E, polygon vertex F

vertex A och vertex B ligger intill varandra

vertex B och vertex C ligger intill varandra

vertex C och vertex D ligger intill varandra

vertex D och vertex E ligger intill varandra

vertex E och vertex F ligger intill varandra

vertex F och vertex A ligger intill varandra

polygonsida AB, polygonsida BC, polygonsida CD, polygonsida DE, polygonsida EF

sida AB och sida BC ligger intill varandra

sidan BC och sidan CD ligger intill

CD-sidan och DE-sidan ligger intill

sida DE och sida EF ligger intill varandra

sida EF och sida FA är angränsande

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Omkretsen av en polygon är längden på den streckade linjen: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

En polygon med tre hörn kallas en triangel, med fyra - en fyrhörning, med fem - en femhörning, etc.